Instruments contemporains et apprentissage des math

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Instruments contemporains etapprentissage des
mathématiques

• Luc TROUCHE
• IREM LIRDEF
• Université Montpellier II
• Séminaire REHSEIS
• 14-15 juin 2004

Typus arithmeticae (Bibliothèque municipale,
Rouen)
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Entrée en matière
 Van Gogh utilise des roseaux, taillés comme une
plume doie. Le roseau devient linstrument de
ses dessins. Il lui donne la possibilité de
creuser ses feuilles et de forcer les contours.
Cet outil lui permet dimiter le geste large des
peintres japonais, qui nutilisent pas le roseau,
mais le pinceau. Particulièrement souple, le
roseau donne naissance à une manière de faire,
que traduit tout un vocabulaire de signes 
pointillés, hachurés, arrondis et surtout les
tourbillons qui deviennent une des techniques
majeures du peintre  (Exposition Van Gogh 2003,
Arles)
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Plan

• Les outils dans lenseignement et lapprentissage
  des mathématiques, influence et résistances
• Des artefacts aux instruments du travail
  mathématique, les genèses instrumentales
• Une prise en compte didactique nécessaire

  Le mot instrument vient du latin instrumentum,
qui signifie matériel, outillage ou ressource et
qui dérive du verbe instruere. Ce verbe, francisé
en enstruire, correspond à disposer, outiller et
équiper. Ainsi les mots instrument et instruire
renvoient lun à lautre . (Barbin 2004)
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Influence et résistance Mathématiques, calculs
et outils

•  Le calcul est une composante essentielle des
  mathématiques à tous les niveaux, inséparable des
  raisonnements qui le guident ou en sens inverse
  quil outille .
• (Kahane 2002)

Mathematical Cuneiform Texts (Neugebauer Sachs
1945)
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Influence et résistance Evolutions récentes des
outils

• La combinaison de plusieurs outils, une
  caractéristique ancienne du travail mathématique
• Des évolutions notables avec les outils
  informatiques
• le regroupement des outils dans une même
  enveloppe 
• des outils de poche
• la multiplication des images
• le changement de paradigme (de la flèche au
  filet)

Une nécessité encore plus grande de coordination
et de contrôle des outils du travail mathématique
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Influence et résistance Influence sur les
apprentissages

• Effets sur la production
•  La géométrie du compas 
• Effets sur les programmes détude
• De la plume doie à la plume de fer (Lavoie 1994)
• Effets sur les modes de travail des élèves
• Le phénomène de pêche (Artigue 1998)
• Effets sur la conceptualisation

 Une droite est dautant plus tangente à un
cercle quelle a plus de points communs avec
lui  . (Trouche 1996)
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Influence et résistance Résistances des
professeurs

• outils secondaires
• Ponctuels, transitoires,
• mais non problématiques
• 1970 outils refoulés
• Mathématiques modernes
• Peu doutils, période de transition
• 1980 outils prescrits
• Plan Informatique pour Tous
• Irruption des calculatrices
• Accélération technologique, importation dans les
  classes par les élèves
• Difficultés renforcées

Des outils de plus en plus présents Des outils de
plus en plus complexes Une appropriation rapide
par les élèves Les difficultés des professeurs
 Pour le professeur formé aux rigueurs de la
discipline mathématique, lintroduction de la
règle à calcul dès les classes moyennes peut
poser un vrai cas de conscience . Aristo,
Bulletin dinformation pour le corps enseignant
(Bieber 1971)
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Influence et résistance Résistances des
professeurs
Utilisation des tableurs par les professeurs de
math. (IREM, Université Montpellier II, 2004)
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Les genèses instrumentales Détour épistémologique

• Une double tradition
• le travail abstrait de lesprit (Hegel)
• - le faire industrieux (Descartes, Diderot,
  Marx).
• Héritier de cette tradition, Vygotski situe tout
  apprentissage dans un monde de culture où les
  instruments (matériels et psychologiques) jouent
  un rôle essentiel.

Nec manus, nisi intellectus, sibi permissus,
multum valent instrumentis et auxiliis res
perfectur (Francis Bacon 1600)  La main et
l'intelligence, privées des outils nécessaires,
restent assez impuissantes ce qui renforce leur
puissance, ce sont les outils et les auxiliaires
offerts par la culture .
 Lellipse est une ligne courbe que jai vu
dessiner par les jardiniers dans leurs parterres,
où ils la décrivent dune façon fort grossière,
mais qui fait mieux comprendre sa nature . La
Dioptrique, Discours VIII (Descartes 1637)
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Les genèses instrumentales La notion de schème

• Un schème lorganisation invariante de la
  conduite pour une classe de situations (Piaget
  1936, Vergnaud 1996)
• Il contient
• des buts et des anticipations
• des règles daction
• des invariants opératoires.

 Par approximations successives, la main trouve
le geste juste. Lesprit enregistre les résultats
et en tire peu à peu le schème efficace .
(Tchouang-Tseu, in Billeter 2002)
Aspect instrumenté et social des schèmes
(Rabardel 1995)
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Les genèses instrumentales De lartefact à
linstrument

• Les artefacts, des propositions
• (Béguin Rabardel 2000)

• Les instruments
•  un mixte stable dhumain et de naturel 
  (Simondon 1989) 
•  une entité mixte composée dune partie de
  lartefact et des schèmes dutilisation .
  (Rabardel 1995)

• Deux processus duaux
• instrumentation
• instrumentalisation.

De lartefact à un instrument
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Les genèses instrumentales Les processus
dinstrumentation
Un artefact instrumente le sujet, préstructure,
relativement, son activité Comprendre ce
processus suppose létude des contraintes de
lartefact, liées aux contraintes matérielles et
aux choix du concepteur
 Avoir une limite infinie suppose, pour une
fonction, dêtre croissante à partir dun certain
moment  (Trouche 2000)
Autre exemple calculatrices au Sénégal
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Les genèses instrumentales La transposition
informatique
La transposition informatique   Ce travail sur
la connaissance qui en permet une représentation
symbolique et la mise en œuvre par un dispositif
informatique . (Balacheff 1994)

• Une typologie des contraintes
• contraintes internes
• contraintes de commande
• contraintes dorganisation (cf. les
  calculatrices graphiques)

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Les genèses instrumentales Présentation et
représentation
Un même objet, différentes représentations
Un contrôle complexe à exercer
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Les genèses instrumentales Les processus
dinstrumentalisation
Linstrumentalisation est un processus de
différentiation des artefacts. Exemple des
calculatrices stockage de jeux, de théorèmes,
dessins, modification de la barre de menus
Il peut être considéré comme un détournement, ou
comme une contribution de lusager au processus
même de conception de linstrument.
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Les genèses instrumentales Vers des systèmes
dinstruments
Artefact symbolique ou artefact
matériel ? Justiciables de lapproche
instrumentale, mais des différences profondes 1
artefact ? 1 instrument ? Praxéologies et usages

Environnement(s)

• Schèmes sociaux ?
• Habitus (Bourdieu 1979)

Environnement(s) ? Régimes daction (Boltanski
1990) Les systèmes dinstruments Un enjeu
didactique
Artefacts et instruments
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Les genèses instrumentales Extraordinaire
variété des genèses
Calculez la dérivée nième de
Pouvoir saisir les données Savoir analyser
linformation Savoir organiser linformation
Savoir coordonner et comparer Savoir faire appel
à des connaissances antérieures Savoir
inférer Savoir prouver Savoir contrôler un
résultat
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Les genèses instrumentales Extraordinaire
variété des genèses
Artefacts plus complexes, quelle évolution des
instruments ?

• Développement des instruments, enrichissement
  et articulation...
• ou affaiblissement des instruments,
• appauvrissement et cloisonnement.

1) Plus lenvironnement est complexe, plus les
écarts entre les instruments sont importants
2) Grande sensibilité des modes de travail à
certains  dispositifs  didactiques institués
par le professeur
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Les genèses instrumentales Un point de vue
neuronal

• Deux réseaux neuronaux 
•  un réseau de traitement composé de processeurs
  parallèles en compétition 
•  un réseau dédié aux fonctions de supervision
• Le fonctionnement à léconomie 
• En présence dune multiplicité dinformations,
  cest la perception dont le traitement est le
  plus rapide qui peut être sélectionnée (Houdé
  2004)
• La productivité des réseaux cognitifs
  intercérébraux
•  Cest par () léchange de représentations, de
  concepts et de points de vue que surgit
  brusquement ce que Hadamard appelle une
  illumination  (Changeux 2002)

Une remise en cause du modèle modulariste du
fonctionnement cérébral. Traitement parallèle et
interactif de linformation par des aires
cérébrales différentes. (Changeux, Dehaine, Houdé)
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Une prise en compte didactique Des praxéologies
à construire

• Nouvelles organisations mathématiques 
•  nouvelles tâches 
• nouvelles techniques 
• nouvelles technologies.
• Juste distance entre lancien et le nouveau.

Abrégé darithmétique à lusage des pensionnaires
et des écoles chrétiennes (Silvestre 1810)
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Une prise en compte didactique Un ensemble
dingénieries à concevoir

• Ingénieries des objets informatiques
• les EIAH (Environnements Informatiques pour
  lApprentissage Humain) Cabri-Géomètre,
  Aplusix, etc.
• les environnements informatisés dapprentissage
  (Basque et Doré 1998) Systèmes de Calcul
  Formel, tableurs
• Ingénieries didactiques
•  Intégration et viabilité des objets
  informatiques, le problème de lingénierie
  didactique  (Chevallard 1992)
• Les niveaux du hardware et du software
  didactiques et la nécessité de penser leur
  intégration

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Une prise en compte didactique Les
orchestrations instrumentales
Agencement systématique par un agent intentionnel
des éléments (artefacts et humains) dun
environnement en vue de mettre en œuvre une
situation donnée et de générer certains résultats
(aspects sociaux des schèmes, articulation
individuelle des systèmes dinstruments).

• Dans un groupe de jazz, une improvisation
  musicale émerge dun va-et-vient continu entre
  chaque musicien, dans un jeu dajustements
  réciproques permanents, le chef dorchestre ayant
  un rôle de mise en forme, en phase de lensemble.
• (Bril 2002)

Interne ou externe ? Dialectique
gestes-invariants Individuel ou social ? Double
aspect des schèmes
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Une prise en compte didactique Orchestrations,
zoom out
Une orchestration sapplique à un environnement
et à une situation donnés
Elle sinsère dans un scénario dexploitation
didactique
Elle vise lévolution de lenvironnement, du
point de vue des systèmes dinstruments

• Dispositif dexploitation didactique

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Une prise en compte didactique Orchestrations,
zoom in
Remarques générales Diversité des configurations,
de leurs combinaisons et des modes
dexploitation Nécessaire adaptabilité, pour
ajuster à des situations et des environnements
différents Agencer, cest nécessairement modifier
lensemble des artefacts Nécessaire travail sur
les traces de lactivité Nécessaire prise en
compte du temps, une variable essentielle ( Time
to think )
Des configurations suivant deux axes Laxe du
temps de la genèse, laxe artefact-sujet
Exemple 1 Configuration de lartefact
Exemple 2 Configuration liée aux modes daction
des artefacts
Exemple 3 Configuration liée aux méthodes
réflexives dauto-analyse de lactivité

• Différents types de configurations

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Une prise en compte didactique Orchestrations,
précisions
Orchestrations, conception ? Equipes
pluri-disciplinaires Plusieurs types
dingénierie Orchestrations, mise en oeuvre
? Différents  stades  de mise en
œuvre Scénarios dusage, dispositifs Communauté
s de pratique Environnements dapprentissage,
environnements denseignement

• Dispositif dexploitation didactique

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Une prise en compte didactique Orchestrations,
discussion

Des points de vue sur la conceptualisation en
mathématique Complexité et variété des processus
de conceptualisation The situated, the activity
based, the experiential can contain within it the
seeds for something more general (Noss Hoyles
1996) A process of connection rather than
ascension (idem), notion de transcontextualisation
(Laborde 1998)
Situer les orchestrations par rapport à dautres
concepts dagencements
Apprentissage des techniques (skills) Domaine et
situations indépendant Conçu indépendamment de la
construction active des élèves
Etendre la métaphore de Vygotsky aux
environnements informatiques, lordinateur jouant
le rôle assigné normalement à un tuteur humain
Champs conceptuels (Vergnaud) Domaines,
situations et artefacts dépendant Compréhension
émergeant des connexions réalisées par lélève au
cours de son activité
Scaffolding étayage (Hoyles Noss 1987, Kutzler
1994)
Webbing connecting, weaving, threading (Noss
Hoyles 1996)
Orchestrations
le rôle du professeur, rôle indispensable des
agencements conçus et construits par linstitution
Connexion et ascension
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Une prise en compte didactique Orchestrations,
perspectives
Conception de ressources pédagogiques
mathématiques intégrant les TICE Scénarios
dusage et ressources vivantes
Conception de dispositifs de formation continue
des maîtres Accompagnement et mutualisation
Conception des artefacts Rigidité et souplesse,
contraindre et intégrer les usages

• Un modèle de ressource pédagogique
• (Guin, Joab Trouche 2002)

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Instruments contemporains etapprentissage des
mathématiques

• Vygotski L.S., 1934,
• Pensée et langage
• Editions Sociales (1985)
• Rabardel P., 1995,
• Les hommes et les technologies, approche
  cognitive des instruments contemporains, Armand
  Colin
• Guin D. Trouche L. (eds.), 2002,
• Calculatrices symboliques transformer
• un outil en un instrument du travail
  mathématique, un problème didactique
• Editions La Pensée Sauvage