CAO et Infographie

1
CAO et Infographie
Master SdI Spécialité MISOrientation
 Robotique  Productique UE MIS-RP-304G

• Nabil ANWER
• LURPA - ENS Cachan
• Univ. Paris Nord Villetaneuse
• anwer_at_lurpa.ens-cachan.fr
• anwer_at_iutsd.univ-paris13.fr

2
Présentation du module

• Ce module a pour objectif de proposer des outils
  et des méthodes pour la modélisation géométrique
  des courbes, des surfaces et des solides à la
  base de la caractérisation des pièces mécaniques,
  pièces prototypes, prothèses, uvres dart,
  images de synthèse tout en intégrant des
  connaissances métier et à travers la définition
  et la manipulation de différentes représentations
  associées aux maquettes numériques.

3
Organisation

• Modélisation géométrique et Infographie (24h)
• Modélisation des solides aspects topologiques
  et différentiels
• Reconstruction de courbes et de surfaces
• Modélisation par entités, intégration des
  connaissances
• Modélisation à base dentités fonctionnelles
• Modélisations paramétriques, variationnelles et
  déclaratives
• Approches algébriques (algèbre géométrique)
• Techniques de modélisation pour la synthèse
  dimages
• Applications sur un logiciel de CAO (CATIA V5)
  (4h)
• Évaluation (3h)
• Bilan et synthèse (1h)

4
Intervenants

• Nabil ANWER
• MCF, Univ. Paris Nord Villetaneuse, ENS Cachan
• 1.a 1.c 1.f 1.g 3 4
• Pierre BOURDET
• PU, ENS Cachan
• 1.d
• Claire LARTIGUE
• PU, Univ. Paris Sud Orsay, ENS Cachan
• 1.b
• Philippe SERRE
• MCF, SUPMECA
• 1.e
• Bruno SOULIER
• MCF, ENS Cachan
• 2

5
Déroulement
6
Modélisation des solides

• Taxonomies de représentations
• Aspects topologiques
• Aspects différentiels

7
Objectifs et applications

• Exprimer la nature des objets 3D pour des besoins
  de
• Conception Assistée par Ordinateur
• Fabrication Assistée par Ordinateur
• Infographie
• Vision par ordinateur
• Répondre à des calculs algorithmiques à partir
  dun système informatique
• Calcul de volumes, centre de gravité, inerties
• Calcul dintersections et dunions entre
  primitives géométriques
• Création de trajectoires sur des surfaces
  (usinage de poches)
• Création de liaisons cinématiques entre solides

8
Aspects formels pour la modélisation des solides

• 3 espaces
• Espace physique (P)
• Espace mathématique (M)
• Espace de représentation (R)

Objet mathématique
Objet représenté
Objet physique
M
R
P
B-rep CSG Décomposition
Solide
Topologie
9
Propriétés dune représentation

• (Requicha 1980)
• Généralité
• Le domaine de définitions des solides doit être
  suffisamment général pour couvrir une grande
  variété dobjets.
• Validité ou intégrité
• Chaque solide défini doit être valide
  (interdiction des solides absurdes).

10
Propriétés dune représentation

• Non ambiguïté
• Toute représentation correspond a au plus un
  objet.
• Complétude
• Tout solide doit être représenté avec
  suffisamment dinformations pour se prêter aux
  calculs géométriques (calcul de normale, etc ).

11
Propriétés dune représentation

• Unicité
• Il existe une seule façon de coder un objet.
• Complexité
• Facilité dengendrer des objets complexes.

12
Taxonomies de représentations

• 2 familles de représentations
• Modèles volumiques
• Par construction
• modélisation par demi-espaces
• modélisation par composition dinstances de
  solides primitifs CSG (Constructive Solid
  Geometry)
• Par décomposition
• Modélisation par décomposition spatiale
• Décomposition cellulaire (maillages)
• Modèles par frontières
• Modélisation par une enveloppe, ie. collection
  de surfaces cousues entre elles. Chacune de ces
  surfaces est délimitée par une courbe.

13
Modélisation par demi-espaces
Demi-espace
14
Modélisation CSG

• Constructive Solid Geometry
• Opérations booléennes sur des primitives Pi
  (demi-espaces)
• Union ?
• Intersection ?
• Soustraction
• Structure arborescente
• Donne lieu à des représentations non uniques.

Arbre CSG
15
Modélisation CSG

• Primitives de base
• 6 primitives standard
• Cube
• Prisme triangulaire
• Sphère
• Cylindre
• Cône.
• Une fois instanciées, ces primitives peuvent
  nécessiter des transformations géométriques
  (translations, rotations, changements déchelles).

16
Besoin dopérations régulières

• Les opérations booléennes appliquées sur des
  solides ne
• donnent pas forcément des solides ? opérations
  régulières()

17
Modélisation par décomposition spatiale

• Principe
• Structure hiérarchique
• Division de lespace en sous-régions
• Récursivité

18
Quadtree (2D)
1 parent, 4 enfants Analogie pixels
2
1
1
2
3
4
3
4
19
Quadtree (2D) suite
2.1
2.2
1
1
4
2.3
2.4
4
3.1
3.2
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1
3.4
3.3
3.2
3.3
3.4
20
Opérations booléennes

• 4 opérations booléennes
• Union
• Intersection
• Soustraction
• Complémentarité

Complémentarité
Union
21
Opérations booléennes






Intersection






-

-


-
Soustraction
-

-

-

-

22
Octree (3D)
1 parent, 8 enfants Analogie voxels
0
1
2
3
4
5
6
7
23
Octree (3D)
24
Octree (3D) exemple
25
Décomposition cellulaire ou maillage
26
Modélisation BRep

• Boundary Representation ou représentation par
  faces frontières

27
Modélisation BRep

• Modèle vef (Structure hiérarchique)
• 3 éléments de base
• Sommet (vertex)
• Arête (edge)
• Face (face).

e
v
v
e
f
v
f
f
28
Modèle hiérarchique simplifié
Composé de
Composé de
29
Modèle hiérarchique complet
30
Validité du modèle

• Les faces du modèle ne peuvent sintersecter
  quen des arêtes communes ou sommets communs.
• La frontière dune face est constituée de
  contours fermés ne sintersectant pas.

Frontière valide
Frontière non valide
31
Euler-Poincaré
Critère de base pour la caractérisation des
solides Condition nécessaire mais pas
suffisante Caractéristique dEuler
2 parties disjointes
Formule dEuler-Poincaré
Trou traversant
Avec v . de sommets (vertices) e
. darêtes (edges) f . de faces
(faces) s . de parties disjointes
(shells) h . de trous traversants
(holes) r . de faces trouées ou
boucles internes (rings)
Face trouée
32
Euler-Poincaré
Formule simplifiée v e f 2
v 2, e 3, f 3
v 1, e 0, f 1
v 4, e 6, f 4
v 8, e 12, f 6
v 24, e 36, f 15
h 1, s 1, r 3
v - e f 24 36 15 3
2(s - h) r 3
v e f 2(s h) r
v 10, e 15, f 7
33
Opérateurs dEuler

• A partir dun solide valide, modifier le nombre
  de faces, de sommets ou darêtes peut conduire à
  un solide non valide.
• Les opérateurs dEuler garantissent la validité
  du solide produit
• Forme générale MxKy, avec
• M Make (opérateur de construction)
• K Kill (opérateur de destruction)
• et x et y combinaison des types
• Vertex
• Edge
• Face
• Shell
• Hole
• Ring

34
Opérateurs dEuler
35
Création de solide
36
Modification de solide
KFMRH
MEF
37
Différentes représentations
38
Orientation des surfaces

• Une surface est dite non orientable, si en
  plaçant une figure (lettre R ) et en la déplaçant
  tout le long de la surface elle subit un effet
  miroir.
• Dans le cas contraire, la surface est dite
  orientable.
• Il existe deux façons dorienter des surfaces
• Forme différentielle sur la surface
• Triangulation

Surface non orientable ruban de moebius
39
Orientation des surfaces par triangulation

• Orientation dun triangle ou simplexe

Sens non direct
Sens direct
Orientations induites opposées
Orientations induites non opposées
Orientation cohérente
Orientation non cohérente
40
Orientation induite sur les bords
t vecteur matière convention matière à gauche
Normale orientée extérieur matière
(n,a,t) direct
Orientation des boucles internes
41
Modélisation des solides

• Aspects topologiques

42
Modèles mathématiques propriétés

• Un solide est un sous-espace de lespace
  euclidien R3 ayant les propriétés suivantes
• Finitude sous-ensemble borné de R3
• Régularité sous-ensemble régulier de R3
• Rigidité invariant par des transformations
  rigides (translations et rotations).
• Un solide rigide est une classe déquivalence
  des sous-espaces de R3 définie par la relation
  déquivalence deux sous-espaces A et B sont
  équivalents si et seulement si A peut être
  transformé en B par des transformations rigides.
• Description finie Un nombre fini de primitives
  (entités) permet de décrire un solide.
• En général, la frontière dun solide est une
  combinaison finie de surfaces algébriques.

43
Topologie pour la modélisation des solides

• La construction dun modèle solide nécessite la
  connaissance de la géométrie et de la topologie.
• Le rôle de la topologie est de décrire les liens
  qui existent entre les différents éléments
  géométriques, pour décrire ce qui est à
  lintérieur, à la frontière et à lextérieur du
  modèle.
• Une propriété topologique est une propriété qui
  se conserve par transformation géométrique et par
  déformation
• ex. une courbe fermée restera toujours fermée

44
Objets topologiquement équivalents
un cercle pour une courbe fermée simple
une sphère pour un cube
un tore ou une sphère à une poignée pour un
polyèdre à un trou
45
Homéomorphisme

• Soit O une famille de parties d'un ensemble X. On
  suppose que
• la partie vide et la partie pleine sont éléments
  de O.
• la réunion d'une famille d'éléments de O est
  encore un élément de O.
• l'intersection d'une famille finie d'éléments de
  O est encore un élément de O.
• On dit alors que O est une topologie pour X. Dans
  ce cas, l'espace O muni de cette famille
  s'appelle espace topologique. Les éléments de O
  sont appelés ouverts de X (pour la topologie O).
• Soient X et Y deux ensembles munis d'une
  topologie. Une application u de X dans Y est un
  homéomorphisme si u est bijective, et que les
  applications u et u-1 sont continues. On dit
  aussi que X et Y sont homéomorphes.

46
Notions de topologie

• Soit E un sous-ensemble quelconque de R3
• E est borné sil existe un réel r ? R tel que E
  soit contenu dans la sphère centrée à lorigine
  et de rayon r.
• Un point P est intérieur à E sil existe une
  sphère de diamètre non nul centrée en P contenue
  dans E.
• E est ouvert si tout point P de E est intérieur
  à E
• Lintérieur de E (noté i(E)) est lunion de tous
  ses points intérieurs
• la frontière de E (noté ?(E)) est lensemble des
  points qui ne lui sont pas intérieurs
• La fermeture de E (noté c(E)) est lunion de
  louvert de E et de sa frontière
• ?(E) c(E)/i(E)

47
Notions de topologie suite

• Ensemble ouvert topologique ensemble excluant
  sa frontière
• Ensemble fermé topologique ensemble et sa
  frontière
• Intérieur le plus grand ouvert topologique
• Adhérence le plus petit fermé topologique
• ?E différence entre l'adhérence et l'intérieur

48
Illustration en 2D
point intérieur à E (Disque centré sur i est
entièrement dans E )
i
x
point extérieur à E (Disque centré sur x est
entièrement hors E ou entièrement dans le
complément de E )
E
b
point frontière à E (Tous les disques centrés sur
b ont une intersection non nulle avec E et son
complément)
49
Définition topologique des volumes

• Un volume A dans R3 est un ensemble vérifiant les
  conditions
• A est compact (fermé et borné)
• i(A) est connexe ie. A nest pas lunion de deux
  parties non vides séparées
• Deux parties non vides B et C de R3 sont séparées
  si c(B) ? C ? et B ? c(C) ?
• Pour tout x? A, et pour tout V(x) voisinage de
  x, V(x) ? i(A) ? ? (A na pas de parties
  pendantes)

50
Illustration
51
Ensembles réguliers

• E est dit régulier si et seulement si c(i(E)) E

52
Variétés (manifold)

• Une variété topologique  est un espace
  topologique où chacun de ses points possède un
  voisinage homéomorphe à un ouvert de R2 (R3) .
  On dit alors que cet espace est une variété
  topologique de dimension 2 (3).
• Intuitivement, une variété topologique de
  dimension 2 est un espace qui, localement, c'est
  à dire si on ne regarde pas trop loin, ressemble
  à un petit morceau de feuille de papier qu'on
  aurait pu découper avec des ciseaux après en
  avoir tracé le pourtour au crayon (on peut
  d'ailleurs froisser le bout de papier en
  question). La structure globale de cet espace
  peut être évidemment assez différente puisque la
  variété elle-même est obtenue par recollement de
  tous ces petits morceaux de papier.
• Un pneu de bicyclette, éventuellement dégonflé,
  plié et froissé'' fournit un exemple d'objet
  physique qu'on peut modéliser à l'aide d'une
  variété topologique de dimension 2 un tore.

53
Variétés (manifold)

• Une variété topologique à bord (ou à frontière)
  est un espace topologique où chacun de ses points
  possède un voisinage homéomorphe à un ouvert de
  R2 (R3) ou à un demi-espace de R2 (R3) . On dit
  alors que cet espace est une variété topologique
  à bord de dimension 2 (3).

variété topologique de dimension 2
variété topologique à bord de dimension 2
54
Illustration
Manifold
Non-Manifold
55
Non-manifold
56
Surface

• Une surface (topologique) est usuellement définie
  comme une variété topologique de dimension 2
  (compacte ou non, connexe ou non, avec ou sans
  bord).
• Le plan R2, le disque D2, la sphère S2, le tore
  T2 sont des exemples de surfaces.
• Dans R3, lintérieur dune surface est égal à
  lensemble vide (sans épaisseur).

57
Surface orientable

• Orienter normalement une surface X en un point p,
  c'est choisir l'un des deux vecteurs unitaires
  orthogonaux au plan tangent de X en p.
• Un choix d'orientation normale en p détermine un
  choix d'orientation normale au voisinage de p.
• Une orientation normale de X consiste a choisir
  une orientation normale en chaque point de X, qui
  soit constante au voisinage de chaque point.
• Il existe des surfaces non-orientables (ruban de
  möbius)!
• Théorème de classification des surfaces compactes
• Une surface orientable est homéomorphe à une
  sphère
• ou à une somme connexe de tores

58
Genre dune surface

• Nombre de coupures possibles sans perdre la
  connexité.
• Deux surfaces nayant pas le même genre ne sont
  pas homéomorphes.

Surface de genre g(S) 0
Surface de genre g(S) 2
59
Géométrie différentielle des courbes et des
surfaces

• Géométrie différentielle des courbes
• Géométrie différentielle des surfaces

60
Courbes 2D

• Représentation implicite
• Représentation explicite
• Représentation paramétrique

61
Courbes 3D

• Représentation implicite
• Représentation explicite
• Représentation paramétrique

62
Surface

• Représentation implicite
• Représentation explicite
• Représentation paramétrique

63
Géométrie différentielle des courbes 2D
Point p de la courbe en u0
p
C(u)
pC(u0)
64
Géométrie différentielle des courbes 2D
Tangente T à la courbe en p
p
Cu
C(u)
65
Géométrie différentielle des courbes 2D
Abscisse curviligne
Indépendant de la paramétrisation
C(u)
s(u)
C(u0)
s(u0)0
66
Géométrie différentielle des courbes 2D
Normale Ns à la courbe en p et courbure k
Ns
p
Cs
67
Géométrie différentielle des courbes 3D
Ns
p
Cs
Bs
C(s)
Normale Ns et Binormale Bs à la courbe en p et
courbure k
68
Géométrie différentielle des courbes 3D
Torsion q
69
Géométrie différentielle des surfaces
Point p en (u0,v0)
p
S(u,v)
70
Géométrie différentielle des surfaces
Tangentes Su et Sv de directions u et v
Sv
p
Su
S(u,v)
71
Géométrie différentielle des surfaces
Plan tangent T
Sv
p
T
Su
S(u,v)
72
Première forme fondamentale IS

• Métrique sur S(u,v) (métrique riemanienne)

Forme quadratique associée à Is
73
Géométrie différentielle des surfaces
Longueur dune courbe tracée sur une surface
Sv
p
T
Su
S(u,v)
74
Géométrie différentielle des surfaces
Longueur dune courbe tracée sur une surface
Aire dune surface
75
Géométrie différentielle des surfaces
Normale N
N
Sv
p
T
Su
S(u,v)
76
Géométrie différentielle des surfaces
Section normale
N
p
Cs
S(u,v)
Ns
Kn
K
Kg
77
Géométrie différentielle des surfaces
Courbures
Courbure normale
Courbure géodésique
Dans le plan tangent
78
Deuxième forme fondamentale IIS
Forme quadratique associée à IIs
79
Expression de la courbure normale par rapport à
la paramétrisation
80
Calcul de la courbure géodésique
Notation de Christoffel
81
Calcul de la courbure géodésique suite
82
Opérateur de Weingarten
Courbures principales valeurs propres de W
83
Courbure Gaussienne, courbure moyenne
Courbure Gaussienne
Courbure moyenne
84
Exemples (Sphère)
Courbure moyenne
Courbure gaussienne
85
Exemples (Cylindre)
Courbure moyenne
Courbure gaussienne
86
Exemples (Tore)
Courbure moyenne
Courbure gaussienne
87
Exemples (Tore)
Carte de courbure gaussienne
88
Formes locales d'une surface en fonction de sa
courbure gaussienne

• Suivant le signe de la courbure gaussienne en p,
  on peut caractériser la forme locale de la
  surface.
• Si kG gt 0, p est un point elliptique Si kG lt
  0, p est un point hyperbolique (point selle)Si
  kG 0 et kM ? 0 , p est un point parabolique
• Si kG 0 et kM 0 , p est un point planaire
• Si k1 k2 , p est un point ombilical

kG 0 kM 0 k1 k2
kG lt 0
kG 0
kG gt 0
k1 k2
89
Formes locales d'une surface en fonction de sa
courbure gaussienne
kG 0
kG 0
kG gt0
kG lt0
kG 0
kG 0
Tore
kG lt0
kG lt0
kG 0
kG gt0
kG 0 kM 0 k1 k2
Selle de singe
90
Surfaces minimales

• Une surface minimale est une surface dont chaque
  point possède un voisinage qui est une surface
  d'aire minimale parmi les surfaces de même bord
  que ce voisinage. Une condition nécessaire et
  suffisante est que la courbure moyenne en tout
  point soit nulle.

Caténoïde
91
Théorème de Gauss-Bonnet

• Relation entre la topologie et la géométrie
  différentielle
• Theorema Egregium de Gauss
• La courbure Gaussienne dune surface est
  invariante par transformation géométrique et par
  déformation.

Surface orientable
Surface non orientable