Nona Lezione

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Nona Lezione

• Il punto sui campi elettrici e magnetici statici

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Riassunto della lezione precedente

• Forza di Lorentz in alcuni casi notevoli
• Forze su fili attraversati da correnti immersi in
  un campo magnetico
• Campo magnetico prodotto da una corrente
  filiforme Formula di Laplace
• Caso particolare di corrente su filo lungo
  rettilineo legge di Biot-Savart
• Flusso di B
• Circuitazione di B legge di Ampère
• Legge di Ampère in forma differenziale il rotore

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Due anni fa (parli del diavolo)
ECCEZIONALE TEMPESTA ELETTROMAGNETCA Rischio
blackout Boulder (Colorado). La Noaa, il centro
di Boulder nel Colorado che monitora i parametri
geofisici della Terra, lancia l'allarme dopo aver
registrato, domenica, una tempesta geomagnetica
del massimo grado previsto, che potrebbe
provocare seri ...
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NOAA ISSUES SPACE WEATHER WARNING May 15, 2005
Forecasters at the NOAA Space Environment
Center in Boulder, Colo., observed a geomagnetic
storm on Sunday, May 15, which they classified as
an extreme event, measuring G-5the highest
levelon the NOAA Space Weather Scales. (Click
image for larger view of the sun from the SOHO
spacecraft of the intense solar activity taken
May 15, 2005, at 750 a.m. EDT. Click here to
view high resolution version, which is a large
file. Click here to view latest images. Please
credit SOHO.) "This event registered a 9 on the
K-Index, which measures the maximum deviation of
the Earth's magnetic field in a given three-hour
period," said Gayle Nelson, lead operations
specialist at NOAA Space Environment Center. "The
scale ranges from 0 to 9, with 9 being the
highest. This was a significant event." Possible
impacts from such a geomagnetic storm include
widespread power system voltage control problems
some grid systems may experience complete
collapse or blackouts. Transformers may
experience damage. Spacecraft operations may
experience extensive surface charging problems
with orientation uplink/downlink and tracking
satellites. Satellite navigation may be degraded
for days, and low-frequency radio navigation can
be out for hours. Reports received by the NOAA
Space Environment Center indicate that such
impacts have been observed in the United
States. NOAA forecasters said the probability of
another major event of this type is unlikely,
however, other minor level (G-1) geomagnetic
storms are possible within the next 24 hours.
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(No Transcript)
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Teorema di Stokes
Calcoliamo il flusso del rotore di B su una
superficie ortogonale a J e usiamo il th di
Ampère in forma differenziale
Ma per il th di Ampère in forma integrale
Quindi
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Riassumendo campi STATICI
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Alcune proprietà degli operatori

• Vale lidentità

• Rende conto del fatto che un campo a
  circuitazione nulla può essere espresso come
  gradiente di un potenziale scalare

• Come sappiamo, il campo elettrostatico soddisfa
  tale requisito il campo magnetico (in generale)
  no

Vale lidentità

• Il campo magnetico è solenoidale, quindi può
  essere espresso come rotore di un vettore, che si
  definisce potenziale vettore

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Teorema di Helmholtz

• Un campo vettoriale è definito se ne assegnano
  divergenza e rotore

• La conseguenza è che un qualunque campo
  vettoriale L può essere scritto come

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Qualche considerazione sullenergia

• La densità di energia per un campo elettrico è,
  in generale

• Ovvero per mezzi lineari isotropi, quando DeE

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Qualche considerazione sullenergia

• Dimostriamolo se portiamo una carica q2 in
  prossimità di una carica q1 lenergia potenziale è

• se portiamo una carica q3 in prossimità delle
  prime due spendiamo

• Lenergia spesa in totale è la somma, che
  possiamo scrivere

• Il fattore 1/2 è dovuto al fatto che ogni coppia
  appare 2 volte

• In termini di potenziale

• Considerando una distribuzione continua di
  carica, in cui dqrdV

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Qualche considerazione sullenergia

• Ma per il teorema di Gauss

• Utilizzando unidentità vettoriale che abbiamo
  già usato

• Sul primo termine a destra possiamo applicare il
  teorema della divergenza trasformandolo

• Se la superficie è una sfera di raggio che tende
  allinfinito tale termine tende a zero. Infatti D
  decresce per una carica come r2 e il potenziale f
  come r per distribuzioni più complicate (es.
  dipolo) possono decrescere solo più rapidamente
  la superficie della sfera cresce invece some r2
  lintegrando va a zero. Rimane quindi

• CVD

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Qualche considerazione sullenergia

• Per il campo di induzione magnetica si potrebbe
  fare lo stesso (con elementi di corrente al posto
  delle cariche) ma la dimostrazione è molto più
  complicata

• Il risultato generale (che verificheremo in
  qualche caso particolare) è che la densità di
  energia è

• Così che lenergia è

• Per mezzi lineari isotropi per cui è BmH sarà

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Ma cosè H?

• Il campo H, intensità di campo magnetico, era
  stato definito nel vuoto come

• Latomo, attraverso diversi contributi (spin
  elettronico, orbita elettronica e spin dei
  nuceloni) ha un momento di dipolo magnetico

• Lorientamento casuale dei dipoli, in gran parte
  della materia ordinaria, fa si che leffetto
  netto complessivo sia nullo questo non accade
  nei materiali magnetici

• Un campo magnetico esterno produce un momento
  torcente, ed in alcuni materiali i dipoli si
  orientano producendo un campo magnetico proprio
  che si sovrappone al campo magnetico esterno

• Definiamo M Polarizzazione Magnetica

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Ma cosè H?

• Nei materiali lineari M è proporzionale ad H si
  definisce il fattore di proporzionalità
  suscettività magnetica

• Per cui in generale

• mr si definisce permeabilità magnetica relativa
  è un numero adimensionale e nella maggioranza dei
  materiali vale circa 1

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Qualche esercizio 1
Un filo rettilineo, indefinito, percorso da una
corrente di intensità di 5 A è immerso in un
mezzo omogeneo, isotropo ed indefinito di
permeabilità relativa mr1.05. Si calcoli
lintensità H del campo magnetico, linduzione
magnetica e la densità di energia in un punto
distante 6 cm dal filo
Legge di Biot-Savart
Densità di Energia
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Esercizio
Trovare H al centro di una spira di corrente
quadrata di lato L in aria
Simmetria ogni mezzo lato fornisce stesso H
Per il mezzo lato 0xL/2 formula di Laplace
y
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Esercizio
Due fili rettilinei, paralleli e percorsi da
corrente, si attirano nel vuoto con una forza per
unità di lunghezza Fo/l4 10-3 N/m. Con quale
forza per unità di lunghezza si attirerebbero se
si trovassero in un mezzo di permeabilità
relativa mr0.9?
Sappiamo che la forza è legata a B, e che B,
rispetto a Bo nel vuoto, è tale che Bmr Bo. Per
cui la forza rispetto a quella nel vuoto sarà
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Esercizio
Nella regione 0ltrlt0.5 m, in coordinate
cilindriche, la densità di corrente è
e in qualsiasi altro punto è nulla. Trovare H con
la legge di Ampère.
Scegliamo un percorso circolare per applicare il
th di Ampère. Se il percorso ha raggio ro la
corrente sarà data dal flusso attraverso la
superficie del cerchio di raggio ro
Dove ricordate che rdrdf è lelemento di area in
coord. cilindriche
La corrente ha simmetria cilindrica (non dipende
da f) e ci aspettiamo che H (come pure B)
conservi tale simmetria
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Esercizio (Continuo)
Ora, legge di Ampère sul percorso circolare di
raggio ro
Che è la soluzione per rlt0.5m
Per r da 0.5m in poi la corrente racchiusa rimane
la stessa, e la si trova sostituendo tale valore
ad ro I1.868A
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Esercizio
Trovare H sull asse di una spira di corrente
circolare di raggio a
Questo per il punto evidenziato. Simmetria
elementi di corrente diametralmente opposti
generano componenti r che si elidono H sullasse
è solo lungo z
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Esercizio
E nellorigine
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Esercizio
Calcolare in coordinate cartesiane il rotore
dellintensità H dovuta ad un filamento di
corrente disposto lungo lasse z, con la corrente
nella direzione di z
Per la legge di Biot-Savart
Ma vale la trasformazione di coordinate
Cilindriche-gtCartesiane
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Esercizio (Continuo)
Calcoliamo quindi il rotore come fatto nelles.
precedente
Questo non è vero nellorigine (x0,y0), dove
sappiamo per la legge di Ampère
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Esercizio
Si calcoli lespressione del potenziale generato
da due cariche puntiformi q1 e q2. q110mC ed è
posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2- 20mC ed è
posta in (0,0.05,-0.02) m. Nel piano y0 cè un
piano perfettamente conduttore.

• Applichiamo il principio delle immagini,
  rimpiazzando il conduttore con due cariche
  immagine q1i e q1i

• Ricaviamo il potenziale

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Esercizio (continuo)

• dove

• Per cui

Ecc.

• Volendo calcolarsi E basterebbe valutare

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Esercizio
Lelettrodo sferico di un generatore di Van der
Graaff ha un diametro d2m e viene caricato con
una corrente di intensità 10 mA. Se lelettrodo è
inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché
lintensità del campo elettrico nelle immediate
vicinanze dellelettrodo raggiunga il valore
E2.106 V/m ?
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Esercizio
Sia dato il campo
Determinare il rotore di H. Il campo può
esprimersi come gradiente di un campo scalare?
Non può essere il gradiente di un campo scalare,
visto che in tal caso il rotore sarebbe nullo
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Esercizio

• Sia dato il campo

Trovare la densità di carica in coordinate
sferiche
In coordinate sferiche loperatore divergenza
assume la forma
Per cui