Pr

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Chapitre III Description externe des systèmes
linéaires invariants (SLI)
III-1 Définitions III-2 SLI à temps continu III-3
SLI à temps discret
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Chapitre III Analyse des systèmes linéaires
invariants
III-1 Définitions
1 Système
Système Entité établissant un relation de cause
à effet entre un signal dentrée e et un signal
de sortie s
xi
e
s
xi variables d'état
Deux manières pour décrire les relations entre e
et s
Interne On décrit létat dun système par n
(ordre de système) variables internes xi (appelée
variable détat) qui constituent le vecteurs
détat
La sortie du système sécrit
Pour un système donné le vecteur détat nest pas
unique.
Externe Cest une approche des systèmes faisant
intervenir les paramètres externes du systèmes
(évidemment !), cest-à-dire e(t), s(t) et létat
initial x(0). La sortie du système sécrit
t0 instant initial
Donc la sortie dépend de la configuration du
système à t0 (x(t0)) et de lensemble des
valeurs prises par lentrée depuis t0 (e(t0,t)),
ce qui est le cas pour une intégration.
3
2 Position de repos et origine de temps de toutes
les variables
Un système est au repos si sa sortie est dans un
état permanent constant, donc si ses dérivées
sont nulles. La position de repos constitue
généralement lorigine des temps de toutes les
variables du système. Pour un système dordre n,
la sortie et ses (n-1) premières dérivées peuvent
en générale constituer un jeu de variables
détat. Par suite, en position de repos létat
dun système est nul
3 Réponse forcée et Réponse libre
Système au repos
Réponse forcée
Pour un système linéaire invariant (SLI) il y a
séparabilité
Réponse Réponse forcée Réponse libre
Réponse libre
4 Invariant
La sortie est indépendante du temps
5 Linéarité
Il existe la même définition par rapport aux
conditions initiales (CI)
Linéaire ? vis à vis des entrées et des CI
4
III-2 SLI à temps continu
Les SLI sont descriptibles par une équation
différentielle linéaire invariantes En
appliquant la TL
La deuxième TL est un peu plus compliquée car le
système existait avant t0 et produisait déjà une
sortie à laquelle on commence à sintéresser à
t0. On a ici une expression particulière de
létat initiale
Cependant on sintéresse plus aux propriétés et
qualités intrinsèque dun système quau calcul de
s(t). Aussi on va définir une représentation
indépendante des conditions initiales La
réponse impulsionnelle ou la transmittance
(domaine de Laplace)
1 Réponse Impulsionnelle et Transmittance ou
Fonction de Transfert
La Réponse Impulsionnelle f(t) est la réponse
forcée à ?0 dun système initialement au repos
La Transmittance ou fonction de transfert H(p)
est la TL de la réponse impulsionnelle.
évidemment
5
Pas de conditions initiales donc on a bien la
réponse forcée
Définition équivalente de la Transmittance
Réponse forcée dun système à une entrée e(t)
Remarque La transmittance ne permet de calculer
que des réponses forcées ? Les variables e(t0)
et s(t0) (point de fonctionnement ou position de
repos) doivent constituer lorigine de e(t) et
s(t).
Cas dun retard pur
Dans léquation différentielle on trouve à la
place de
Donc un retard T fait apparaître dans F(p) le
facteur e-p T .
Forme nomalisée dune transmittance
Toutes les transmittances que nous manipulerons
entreront dans le cadre suivant
F(p) rapport de deux polynômes en p à
coefficient réels ? donc il y a des zéros et des
pôles
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Exemple Calcul de la transmittance dun moteur
électrique à courant continu.
2 Analyse de la sortie forcée dun SLI causal
Stabilité
Conséquences sur la Réponse Impulsionnelle (RI)
Conséquences au niveau de la transmittance F(p)
Comme nous lavons vu précédemment (voir II.4),
la TL-1 sécrit
f(t) est absolument sommable si Repi lt 0 car on
est avec des signaux causals
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Donc un SLI de transmittance F(p) est stable si
tous les pôles de F(p) sont à partie réelle
négative. Sil y a des pôles sur laxe
imaginaire, il est dit juste oscillant). Le
critère de Routh-Hurwitz permet de déterminer la
stabilité dun système sans calculer les pôles
(voir suite).
Mise en évidence de l'influence de la position
des pôles
La fonction de transfert F(p) est un rapport de
deux polynômes en p. Les racines du dénominateur
(pôles de la fonction de transfert) sont soit
réelles, soit complexes conjuguées. La
décomposition de F(p) en éléments simples est (si
on suppose, pour simplifier létude, quil ny a
pas de racines multiples) donc de la forme
Compte tenu de la forme de F(p) la solution
temporelle f(t) est de la forme

• On voit que
• Si les parties réelles sont toutes négatives,
  alors la réponse ? 0 quand t ? ?, le système
  revient à sa position déquilibre, le système est
  stable.
• Si un des pôles réels est positifs, le systèmes
  est instable. Il est de type divergent
  exponentiel.
• Si un des pôles complexes est à partie réelle
  positive, le systèmes est instable. Il est de
  type oscillatoire divergent.

• Cas des pôles nuls et imaginaires purs

Pôles réel double
Si la fonction de transfert possèdent un terme de
la forme alors 0 est un pôle double. Ce
pole réel entraîne une solution temporelle de la
forme qui tend donc vers
linfini, le système est instable.
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Pôles imaginaire pur double
Si la fonction de transfert possèdent un terme de
la forme alors ? j? est un
pôle imaginaire pur double. La solution
temporelle de la forme
Le système diverge là encore.
Pôles réel simple
Si la fonction de transfert possèdent un terme de
la forme . Le système ne retourne pas dans
position déquilibre, mais ne sen écarte pas non
plus car
Pôles imaginaire pur simple
Si la fonction de transfert possèdent un terme de
la forme . La solution
temporelle de la forme
Le système est oscillant pur de pulsation ?. Il
diverge pas mais oscille toujours. La sortie est
donc bornée !. On dit que le système est juste
oscillant .
9
En résumé
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Critères de stabilité
Comme nous lavons vu précédemment, la stabilité
dun système passe par la détermination des pôles
de sa fonction de transfert (F(p)). Ce calcul
peut être compliqué et long. Cest pourquoi nous
donnons dans la suite deux règles rapides pour
savoir si un système est stable ou non.
La fonction de transfert peut sécrire
La stabilité de F passe par la résolution de
léquation suivante
On peut démontrer quune condition nécessaire de
stabilité est que tous les coefficients de D(p)
soient du même signe. Cette condition devient
suffisante pour les systèmes du premier et du
second ordre.
Critère de Routh-Hurwitz
Ce critère permet détablir la stabilité dun
système encore à partir des coefficients de son
dénominateur. Il permet aussi de déterminer si le
système est juste oscillant et dans le cas dun
système instable, il donne le nombre de pôle à
partie réelle positive.
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On forme le tableau suivant
Degré
Coefficient
Colonne des pivots

• Enoncé du critère
• Si tous les éléments de la 1ère colonne (pivots)
  sont de même signe ? Stabilité et donc Repi lt
  0
• Sil y a ? changement de signe, il y a ? pôle à
  partie réelle gt0 ? Instabilité
• Une ligne de zéros indique la présence de racines
  imaginaires pures et le caractère juste oscillant
  du système. Ces racines sont les zéros de
  léquation auxiliaire
• Pour continuer le calcul on remplace cette ligne
  par

• Si lon trouve un pivot nul, on peut continuer en
  le remplaçant par ?. Les caractéristiques du
  système seront déduites en le faisant tendre ?
  vers 0.

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Réponse forcée dun SLI stable
Régime transitoire
Régime libre
CI ? 0 e 0
Préambule
Système
Excitation
Réponse
Régime Naturel
CI 0 e ? 0
Régime Forcé
Régime Permanent
La réponse dun système peut être décomposée en
deux

• Régime Libre CI ? 0 et e 0
• Régime Forcé CI 0 et e ? 0

Le Régime Forcé est aussi décomposé en deux

• Régime Naturel
• Régime Permanent

Si lon part de létat de repos, cest notre cas,
le régime transitoire nest composé que du régime
naturel. Autre avantage il est possible de faire
létude de la réponse dun système à laide de la
transmittance car CI0
Partie permanente sp(t)
Partie transitoire st(t)
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Calcul de la sotie permanente dun SLI stable
dans le cas dune excitation harmonique
Soit un système de transmittance F(p)
F(j?) est la TF de f(t) ou la TL prise pour pj?
Intérêt de ce résultat

• F(j?) est le gain complexe à la pulsation ?
• Ce résultat fournit une méthode didentification
  (identification harmonique). On peut donc
  retrouver la transmittance en observant la
  réponse permanente en régime harmonique.
• La sortie permanente est du même type que la
  fonction dentrée.

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Allure de la sotie transitoire dun SLI stable en
fonction de la position des pôles de la
transmittance
Soit un système de transmittance F(p), on sait
que le régime transitoire se calcul

• Si F(p) possède un pôle réel simple

• Si F(p) possède une paire de pôles complexes

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Influence de la position des pôles sur la
rapidité et lamortissement dun système du
deuxième ordre
m représente le facteur damortissement ?0
représente la pulsation caractéristique
Domaine de Z
Domaine de P
- amorti
rapide
rapide
Instable
Im(p)
amorti
- amorti
- rapide
amorti
Re(Z)
j?
- rapide
Re(p)
Stable
r
Instable
Stable
-j?
Système stable pôles dans le demi plan de
gauche de p Le système est dautant plus amorti
que le pôle séloigne de laxe Im(p). Le système
est dautant plus rapide que le pôle séloigne de
laxe Re(p).
Système stable pôles à lintérieur du cercle
unité Le système est dautant plus amorti que le
pôle est près de lorigine O. Le système est
dautant plus rapide que le pôle séloigne de
laxe Re(Z)
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3 Représentations graphiques
Elles concernent les différentes représentations
de Il y a trois représentations possibles
a La représentation de Bode
Deux courbes
b La représentation de Nyquist ou dans le plan
complexe
La Courbe obtenue sappelle le lieu de transfert,
elle est orientée selon les ? croissants
Im(F)
Re(F)
c La représentation de Black
elle est orientée selon les ? croissants
Remarque Les deux dernières représentations
sont obtenues à partir de Bode.
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Exemple Tracés des termes fondamentaux

Bode
Nyquist
Black
gain
Im
Re
phase

• Premier ordre

gain
Im
Re
phase
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• Second ordre

gain
Im
Re
phase

• Retard pur

Im
gain
Re
1
phase
19

• Second ordre

m1
m0.4
20

• Second ordre

m1
m0.4
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III-3 Les systèmes à temps discret SLI
Numériques, SLI Echantillonnés
Les systèmes numériques ou purement discret
transforment une suite déchantillons dentrée
e(kT) en une suite déchantillons s(kT), par
exemple processeur effectuant un algorithme de
filtrage numérique
Système Numérique
e(kT)
s(kT)
Les systèmes échantillonnés qui sont des systèmes
physique donc des systèmes à temps continu mais
dont la variable dentrée e(t) est générée par
une suite déchantillons e(kT) issu dun
processeur, et dont on ne prélève que des
échantillons de sortie s(kT) à partir de s(t) aux
même instants kT.
e(t)
s(t)
Système Continu
CNA
CAN
e(kT)
s(kT)
e(kT)
Système échantillonné
1 SLI Numériques
Système Numérique
?0
f(kT)
Réponse impulsionnelle réponse forcée a une
entrée ?0, soit f(kT) la RI Le système sera
invariant, si il répond à ?iT par f(kT-iT) Le
système sera linéaire, si pour lexcitation
suivante il répond par Réponse forcée
s(kT)e(kT)f(kT) Transmittance en Z
Réponse forcée
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Il existe deux grandes familles de système
numériques

• Les RII (réponse impulsionnelle infinie) ou
  système récursifs obtenus par transposition
  analogique ? numérique
• Les RIF (réponse impulsionnelle finie) obtenus
  par filtrage passe-bas. Il ny a pas
  déquivalents analogique.

En automatique on utilisera que les systèmes
RII Systèmes RII ou systèmes récursifs
Transposition analogique ? numérique de
léquation différentielle Transposons en
numérique la dérivation
Cest une équation aux différences dordre n.
Tout système RII peut être modélisé par cette
équation
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Transmittance des systèmes RII
Prenons la transformée en Z des deux nombre en
utilisant le théorème du retard
Rapport de Deux polynômes en Z Pour trouver la RI
il suffit de faire la TZ-1 de F(Z)
Pour faire la mise en œuvre (au niveau du
processeur) dun tel système il suffit de
transformer léquation aux différences en
équation de récurrence en isolant léchantillon
de sortie le plus récent
Équation de récurrence
A chaque instant kT on applique léquation de
récurrence. Pour k0 on applique les propriétés
du signal dentrée qui est causal ce qui signifie
que e-1 à e-m 0. Les n valeurs s-1 à s-n
représentent les conditions initiales. Si le
système est initialement au repos, alors on prend
s-1 à s-n 0.
Exemple On suppose le système de transmittance
Déterminer léquation de récurrence, le système
est initialement au repos. Puis donner la réponse
à léchelon.
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Causalité
Un système F(Z) est causal si sa réponse
impulsionnelle (RI) est causal, donc si F(Z) sous
sa forme polynomiale ne comporte pas de puissance
positive de Z. En effet, puissance positive de Z
? avance dans le temps
Causalité ? degré(N) ? degré(D)
Stabilité
Ce qui a été dit pour les systèmes analogiques
est transposable aux systèmes numériques RII F(Z)
est la TL de la réponse impulsionnelle pour
ZepT, les pôles pi de la transmittance doivent
être à partie réelle lt0, donc les pôles de F(Z),
devront être tels que ,
cest-à-dire à lintérieur du cercle unité.
Un système numérique causal est stable, si les
pôles de sa transmittance en Z sont tous en
module inférieurs à 1
Test de Stabilité
On peut utiliser le critère de Routh Hurwitz dans
la mesure où lon trouve un changement de
variable qui fait correspondre au cercle unité en
Z, un demi plan gauche en W, on utilise pour cela
la transformée bilinéaire
En conclusion, on transforme F(Z) en F(W) et on
applique le critère de Routh-hurwitz au
dénominateur de F(W) .
Analyse de la sortie dun système numérique
On peut transposer ce qui a été fait pour les
systèmes analogique, aux système RII La réponse
forcée se sépare en une réponse transitoire et
une permanente
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Réponse permanente en régime harmonique
Allure de la réponse transitoire en fonction de
la position des pôle de F(Z)

• Pôle réel Zir

Si 0 lt r lt 1
Si 1 lt r lt 0

• Pôle couple imaginaire conjugué

- amorti
rapide
Instable
- rapide
amorti
Stable
périodique
apériodique
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Systèmes échantillonné
Soit un système analogique de transmittance F(p)
dont lentrée est fournie par un convertisseur
numérique analogique CNA
e(t)
s(t)
F(p)
CNA
CAN
e(kT)
s(kT)
e(kT)
e(t)
s(t)
F(p)
Interpolateur I(p)
e(kT)
s(kT)
e(kT)
F(Z)
Le signal e(t) est un signal quantifié résultant
dune interpolation. Linterpolateur est, sauf
cas exceptionnel, un bloqueur dordre zéro (cf
I-3-2)
?0
Réponse impulsionnelle du B0
t
T
On constate que la transmittance dun bloqueur
est mixte en p et Z
On peut aussi écrire
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Calcul de F(Z) avec un B0
e(t)
s(t)
F(p)
B0
ek
sk
La variable intermédiaire x(kT) est de nature
échantillonnée
s(t)
xk
sk
ek
xk
s(t)
sk
ek
Exemple 1er ordre échantillonné
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On sait que
Cas dun système ayant un retard pur Tr
On choisitT tel que TrmT avec m entier. Pour
calculer la transmittance en Z il suffit donc de
multiplier la transmittance en Z sans retard par
Z-m.