Calcul et Num

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Calcul et Numération du CP au CE1 -1ère partie -
Daprès les travaux de Rémi Brissiaud

• Crée par Véronique Jullien - CPC Saint
  Sébastien Vertou -

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• I - Le point sur les programmes
• A Les programmes de 2008
• B - Mise en relation des programmes de 2008 et
• des programmes de 2002
• II Extrait de la note de synthèse de lIGEN
• III - Le point sur la recherche
• A Comment lenfant accède-t-il au nombre ?
• B Comment l enfant accède-t-il au calcul ?
• C Comment lenfant accède-t-il au calcul pensé
  ?
• IV Lenseignement du Calcul et de la Numération
• A Enseigner la file numérique
• B Enseigner laspect ordinal des nombres
• C Enseigner le symbolisme arithmétique
• D Enseigner le calcul pensé
• E Du calcul pensé vers le calcul mental

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I- Le point sur les programmes
4
A -Les programmes de 2008

• La connaissance des nombres et le calcul
  constituent les objectifs prioritaires du CP et
  du CE1.
• 1 - Nombres et calcul
• Les élèves apprennent la numération décimale
  inférieure à 1 000.Ils dénombrent des
  collections,
• connaissent la suite des nombres, comparent, et
  rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables
• daddition et de multiplication (par 2, 3, 4 et
  5), ils apprennent les techniques opératoires de
  laddition
• et de la soustraction, celle de la multiplication
  et apprennent à résoudre des problèmes faisant
• intervenir ces opérations. Les problèmes de
  groupements et de partage permettent une première
• approche de la division pour des nombres
  inférieurs à 100.
• Lentraînement quotidien au calcul mental permet
  une connaissance plus approfondie des nombres et
• une familiarisation avec leurs propriétés
• À la fin du CE1 les élèves doivent être capables
  de
• - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres
  entiers naturels inférieurs à 1000
• - calculer addition, soustraction,
  multiplication
• - diviser par 2 et par 5 des nombres inférieurs à
  100
• - restituer et utiliser les tables daddition, et
  de multiplication par 2, 3, 4 et 5
• - calculer mentalement
• - résoudre des problèmes simples
• - être précis dans (les tracés, les mesures et)
  les calculs.

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Trois domaines à travailler

• La numération
• Comparaison
• Rangement
• Connaissance des nombres
• La notion de dizaine
• Le calcul
• Le calcul mental
• Les techniques opératoires (addition CP,
  soustraction, multiplication CE1)
• La résolution de problème
• Situations additives
• Situations soustractives
• Situations multiplicatives
• Situations relevant de partage ou de partition

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B Les programmes de 2008 CP et CE1
NUMERATION
Ecrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1000 Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. (CP) Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1000. (CE1) Comparer, ranger, encadrer ces nombres. (CP) Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer. (CE1) Ecrire une suite de nombres dans lordre croissant ou décroissant. (CP) Ecrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100 (CE1)
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CALCUL
Calculer addition, soustraction, multiplication Etre précis dans les calculs. Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous (CP) Calculer en ligne des suites dopérations. (CE1) Connaître et utiliser les techniques opératoires de laddition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100. (CP) Connaître et utiliser les techniques opératoires de laddition et de la soustraction sur les nombres inférieurs à 1000. (CE1) Connaître une technique opératoire de la multiplication et lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. (CE1) Utiliser les fonctions de base de la calculatrice. (CE1)
Diviser par 2 et par 5 des nombres inférieurs à 100 Diviser par 2 ou par 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). (CE1)
Restituer et utiliser les tables daddition, et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. (CP) Produire et connaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 ( table daddition ). (CP) Connaître les doubles et moitiés des nombres dusage courant. (CE1) Connaître la table de multiplication par 2. (CP) Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. (CE1)
Calculer mentalement Calculer mentalement des sommes, des différences. (CP) Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. (CE1) Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements.
8
Résoudre des problèmes simples Résoudre des problèmes simples à une opération. (CP) Résoudre des problèmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication. (CE1) Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements. (CE1)
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II - La note de synthèse de lIGEN - juillet
2010 -

• En mathématiques
• Toutes les observations convergent pour estimer
  que lenseignement des mathématiques se limite
  trop souvent à quelques explications magistrales
  presque toujours accompagnées par lutilisation
  de fichiers (surtout en cycle 2) Cet
  enseignement manque de vraies leçons construites
  comportant des moments de synthèse autour des
  connaissances à acquérir, ainsi que dexercices
  permettant d'asseoir les compétences.
• Pour nombres et calcul, le temps passé sur les
  techniques opératoires est important tandis que
  le lien entre numération et calcul est
  quelquefois peu exploité.
• Les remarques portent également sur le temps
  dévolu aux problèmes, très inégal dune classe à
  lautre.
• Lessentiel des observations concerne le champ du
  calcul mental , dont la pratique régulière et
  systématique ne se retrouve que dans une moitié
  des classes environ, dont la progressivité est
  presque toujours très difficile à saisir et qui
  se trouve placé sous le signe de la rapidité, de
  lautomatisme, sans nécessairement comporter de
  temps pour des analyses pour des explications,
  des formalisations et des moments de
  systématisation.

10
III - Le point sur la recherche
11
A Comment lenfant accède-t-il au nombre ?
Selon Piaget la construction du nombre ne peut se
faire si l'enfant ne sait pas classer, trier
Catégoriser
Pour cela il faut que l'enfant ait compris La
symbolique du nombre considérer comme un des
entités qui ne sont pas identiques. La trace du
nombre Elaborer une représentation pour
communiquer chiffres, contellations...
12
Comment lenfant accède-t-il à la symbolique du
nombre et à la notion de quantité ?

• Un enfant sans savoir compter peut communiquer en
  montrant des configurations de doigts quand on
  lui demande combien il veut de gâteaux ? Il
  montre
• Cet enfant a construit la symbolique du nombre
  puisquil conçoit bien le doigt comme une unité
  symbolique la nature symbolique est claire
  les doigts ne sont pas montrés pour eux-mêmes et
  ils ne sont pas non plus des gâteaux. On pourra
  sen assurer en lui proposant seulement deux
  gâteaux et voir si cette symbolique a bien un
  usage polyvalent permettant de communiquer à
  propos de billes, de jouets, de bonbons
• Quand cette forme de communication a été
  favorisée, dès 3ans et demi, un enfant peut
  accéder à cette nature symbolique.
• Le comptage-numérotage ou énumération permet
  aussi, à certains enfants de concevoir les
  petites quantités.
• Un enfant qui dit
•  Là cest un, deux, trois et là cest un,
  deux, trois, quatre. 
•  Alors là cest plus parce que là cest un,
  deux, trois, quatre 
• Cet enfant dispose bien dun système symbolique
  qui lui permet de représenter lextension de la
  première collection.

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Quand lenfant sait communiquer sur lextension
de petites quantités, il conçoit effectivement
les quantités mais cela ne va pas être suffisant
à la construction du nombre. Cest en
communiquant que les enfants sont amenés à
construire la signification de la quantité.
Cest lusage du mot "Combien " ou de la
locution "Comme ça " qui attire lattention de
lenfant sur non pas la couleur ou la nature des
objets mais sur leur quantité. De même que lon
apprend le langage oral en parlant,
lapprentissage des nombres passe par des
situations de communication autour des nombres.
14
Le comptage ne garantit pas pour autant quil
accède à la notion de quantité
En procédant au comptage de ces jetons, lenfant
peut nassocié le mot nombre quà un numérotage
Dans ce cas lorsquon lui demandera " Combien
y a-t-il de jetons ? " On obtiendra une réponse
du type " un, deux, trois, quatre "
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Utiliser des collections témoins qui permettent
la création mentale d'unités et leur totalisation

• un et encore un et encore un
• Lorsque la construction d'une collection-témoin
  de doigts s'accompagne d'une décomposition en
  unités de un (un, un...), chaque nouvelle
  prononciation de un renvoie de manière explicite
  à la prise en compte d'une nouvelle unité.
• On évite ainsi l'effet numérotage

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Sappuyer sur des capacités déjà présentes chez
les élèves

• Très jeunes les enfants sont capables de
  percevoir globalement des quantités.
• Subitizing (capacité de reconnaissance immédiate
  )
• Certaines situations sont plus favorables à
  cette perception
• Constellations (représentation analogique)
  domino, doigts,...

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La clé de la compréhension des nombres La
décomposition

• Construire et utiliser des constellations variées
• Travailler avec une seule constellation engendre
  une représentation du nombre unique et le risque
  est que pour l'élève
• Soit différent de
• Utiliser des constellations comme une aide pour
  accéder aux décompositions.
• Le nombre 5 c'est 2 3 ou 1 4

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Mettre en place de situations problèmes

• C'est une façon d'aider les élèves à comprendre
  pourquoi l'on compte ?
• Parce que dans telle ou telle situation, cela
  permet de résoudre le problème posé.

19
Deux activités clés de la maternelle

• 1.Favoriser les décompositions2.Favoriser les
  situations problèmes
• Afin de permettre à l'élève d'accéder au nombre
  et lui permettre de se construire ses propres
  procédures.

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B - Comment lenfant accède-t-il au calcul ?

• On peut distinguer deux domaines numériques chez
  le jeune enfant
• Celui où il sait calculer
• Dans le domaine des 3 premiers nombres la plupart
  des élèves de GS savent déterminer la
• valeur dun ajout ou dun retrait. Sans aucun
  comptage apparent (ni doigts, ni lèvres ne
  bougent)
• ils ont la solution.
• Calculer cest mettre en relation des
  quantités sans dénombrer les éléments de la
  collection.
• Celui où il utilise le comptage
• Avec de plus grosses quantités, ils sont
  capables de résoudre des problèmes mais en
  utilisant des collections témoins ou en utilisant
  des procédures de comptage comme
• "recompter le tout"
  "un, deux, trois, quatre, cinq "
• "cinq, six "
• "compter ce qui reste"
  "un, deux, trois, quatre"

1er Temps comparaison terme à terme 2ème Temps
l'élève ne voit plus les dessins l'enseignant
énumère le nombre de bonnets et de personnages. "
Y'a 2 en plus parce que t'as dit "quatre cinq"
Découverte de "plus tu comptes loin, plus y'en a"
21
Le rôle de lenseignant Amener lélève à élargir
le champ du calcul pour quil finisse par
recouvrir le champ du comptage

• Ne pas attendre que lélève ait maîtrisé le
  calcul sur les  n  premiers nombres pour
  introduire les nombres supérieurs. lusage du
  comptage sur un domaine numérique prépare à
  lusage du calcul
• Les nombres 11 12 - 13 -14 -15 16 sont
  complexes à acquérir car la numération orale est
  irrégulière et ne permet pas de comprendre que 11
  cest 10 et 1
• A partir de 20 on retrouve cette régularité
• Un enfant de GS commence à dire que 22 et 2 ça
  fait 24
• Il na pas pour autant une connaissance
  explicite de la décomposition du nombre 20 (une
  vingtaine et x unités) mais la numération orale
  régulière lui permet par lusage de comprendre la
  construction de la numération. En ce sens la
  récitation des nombres oralement est aussi
  bénéfique au calcul.

22
La place de la résolution de problèmes dans
lapprentissage du calcul

• Le jeune enfant sait résoudre des problèmes
  relevant de laddition, de la
• soustraction, de la multiplication, de la
  division sans avoir besoin des signes
• opératoires, sans connaître le nom de ces
  opérations et sans avoir
• nécessairement avoir recours à lopération.
• Tant que les nombres employés permettent davoir
  recours à des collections
• témoins, lenfant na pas besoin du symbolisme
  mathématiques et de
• lapprentissage par cœur de tables daddition
• Dès la maternelle

Le calcul sur les premiers nombres La résolution de problèmes par des procédures de comptage
23
A partir du CP 3 types dactivités
Le calcul sur les premiers nombres La résolution de problèmes par des procédures de comptage Lutilisation des écritures mathématiques
Nouveau contenu
24
C Comment lenfant accède-t-il au
calcul "pensé" ou "réfléchi " ?

• 1er facteur de progrès lamélioration des
  procédures de comptage

 Recompte tout 
"un, deux, trois, quatre "

"cinq, six "  Recompte
tout  élaboré "un, deux,
trois, quatre, cinq"

" six"  Surcomptage  "quatre"  "cinq,
six " ou " cinq, six "
25
Le choix des quantités en jeu est très important.

• Les quantités gt5
• Elles obligent lenfant à ne plus recompter le
  tout car il est impossible de mettre
• 7 sur une main et 2 sur lautre.
• Lordre des nombres donnés
• Commencer par le plus petit nombre peut amener
  lenfant à découvrir
• quil est plus économique de surcompter à partir
  de la quantité la plus grande.
• Ces deux éléments lui permettent de se détacher
  dun simple mime ( recompter le tout  le moins
  élaboré) de la situation proposée.
• Le surcomptage verbal
• Il permet de prendre conscience que le mot
  suivant correspond à lajout de 1, que pour
  ajouter 2 il faut prendre le suivant du suivant
• A lenseignement systématique du surcomptage
   Mets 7 dans ta tête. Et 2 sur tes doigts 
  naide en rien lélève .

!
26

• 2ème facteur de progrès lemploi des
  collections témoins
• La précocité du calcul sexplique par la faculté
  de voir ces quantités donc
• lorsque la taille des collections augmente, les
  performances
• dépendent des possibilités de lenfant à se
  représenter rapidement ces
• quantités sous forme visuelle ou kinesthésique.
• Des collections témoins ou constellations variées
  
• Des constellations qui facilitent le retour au
  cinq et le passage à la dizaine.
• Des constellations qui facilitent lusage des
  doubles.

27
Lenseignant de CP favorisera ce type de
procédures en les traduisant de manière écrite
une fois explicitée par lélève.

• Passage à la dizaine Retour au 5 Utilisation
  des doubles
• 9 3 9 1 2 4 2 4 1 1 6 7 6
  6 1
• 9 3 10 2 4 2 5 1 6 7 12 1
• 9 3 12 4 2 6 6 7 13
• Constellations
  Calcul Pensé
• Mémorisation des doubles
  Relations
• 5 x
• 10 x

La connaissance des doubles ou des relations 5 x
et 10 x, nest pas nécessaire au Calcul pensé
Par lusage du calcul pensé lélève comprend
que cela représente une aide précieuse le
calcul pensé devient alors source de motivation.
28
CP CE1
Lapprentissage du calcul à laide de collections témoins La résolution de problèmes par des procédures de comptage Lutilisation des écritures arithmétiques
Lenseignement du calcul pensé La numération et laddition des nombres de 2 chiffres La numération et laddition des nombres de 2 chiffres
Nouveaux contenus
En fin de CP, certains élèves nont pas une
maîtrise suffisante des procédures pour être a
même de choisir la procédure la plus performante.
Faire le bon choix sera plutôt un objectif de CE1.
29

• IV - Lenseignement
• du Calcul et de la Numération

30
A Enseigner la file numérique

• La mise en relation de lordre oral et écrit
• La Comptine Numérique aide les enfants à
  retrouver lécriture chiffrée correspondante Affic
  hage dune file numérique de référence
• La file numérique sur le bureau de lélève est
  à éviter car dans ce cas il na plus besoin de
  mémoriser lécriture des nombres. Loutil à
  disposition est un obstacle à la
  mémorisation.
• Son intérêt pédagogique est de permettre à
  lélève de résoudre des problèmes numériques sans
  être gêné par une écriture numérique mal
  maîtrisée.
• Lentraînement à lécriture des nombres
• - Dès le début du CP dictée de nombres,
  certains élèves écriront directement le nombre
  dicté alors que dautres disposeront
  temporairement dune file numérique sur leur
  bureau. Ici il ne sagira que dune copie qui
  aidera à la mémorisation de lécriture chiffrée.
  
• - Les jeux de commandes nécessitant de mémoriser
  lécriture des nombres (outillé dune file) sont
  aussi propices au progrès des élèves

!
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15
31
B Enseigner laspect ordinal des nombres

• La récitation ordonnée de la comptine numérique
  ne garantit pas que lélève ait une bonne
  connaissance de laspect ordinal des nombres.
• travailler sur des intervalles, à rebours,
  donner le nombre qui précède, qui succède, de
  deux en deux
• Le furet lenseignant démarre le compte, les
  élèves poursuivent. Variante Le furet par paquets
  (sur des intervalles)
• La balle numérique Lenseignant lance la balle
  à un élève en annonçant un nombre lélève donne
  le nombre suivant qui lance à son tour la balle à
  son voisin.
• A voix haute à voix basse lenseignant démarre
  le compte à voix haute, il désigne un élève qui
  doit poursuivre mais à voix haute si lenseignant
  lève la main, à voix basse sil la baisse. Puis
  il désigne un autre élève.
• Le tunnel numérique Lenseignant face aux
  élèves, tient un écran opaque. Les élèves donnent
  le nom des nombres au rythme scandé par la main
  de lenseignant. Si la main de lenseignant est
  devant lécran les élève prononcent le nom, si sa
  main est derrière lécran, les élèves doivent
  mentaliser le nom du nombre.
• Le tambourin numérique lenseignant frappe sur
  un tambourin, les élèves doivent mentaliser le
  nom des nombres. Quand lenseignant ne frappe pas
  ils doivent donner le nombre à voix haute.
• La fusée même principe que le furet mais à
  rebours.
• Le jeu de la flèche il sagit de réciter le nom
  des nombres dune valeur à une autre, dans
  lordre croissant si la 2ème valeur est
  supérieure à la 1ère, à rebours dans le cas
  contraire.
• Le choix des nombres le passage à la dizaine
  supérieure est délicat il conviendra donc de
  favoriser ses passages par le choix des nombres
  de départ.

32
C- Enseigner le symbolisme arithmétique des
signes opératoires

• Deux raisons de lenseigner à partir du CP
• Dans notre société, les chiffres ont souvent
  valeur de numéro (date, n maisons, chaîne de
  télévision, n de tél...) il va donc falloir
  amener lenfant à distinguer laspect ordinal et
  cardinal.
• Il va permettre que lon pose à lenfant des
  problèmes de calcul sans collections dessinées
  cela va permettre à lenfant de se détacher du
  comptage.
• Le symbolisme arithmétique nest pas un
  pré-requis du calcul pensé
• mais il aide à son apprentissage.
• Dans lécriture 6 7 6 6 1
• 6 7
  12 1
• 6 7
  13

Lignes pour dire comment on calcule
Le résultat du calcul
33
D - Enseigner le calcul pensé ?

• 1 Mise en valeur et caractérisation des
  différentes stratégies
• Pour un calcul donné, un élève explicite sa
  stratégie, lenseignant nomme celle-ci  il
  sagit  dutiliser les doubles  puis invite un
  élève qui a utilisé une autre stratégie à
  utiliser la sienne etc
• 4 4 2 6 8 8 4 4 2 6 10 6
• 4 4 2 6 16 4 4 2 6 16
• 2 Lentraînement à une stratégie
• On invite les élèves à mettre en œuvre une
  stratégie en particulier lusage des doubles.
• Découpe les étiquettes puis colle celle qui
  correspond à lusage dun double. Puis donne le
  résultat.
• 7 8
• 7 8 .
• 9 4
• 9 4
• 3 Les élèves doivent produire eux-mêmes la
  décomposition
• 8 6 8 2 .   Passage à la dizaine 
• 6 2 . Recherche du complément

34
E Du calcul pensé vers le calcul rapide ?
Le calcul mental est traditionnellement associé à
la mémorisation d'un résultat au point de risquer
d'en oublier une étape préalable la
construction de stratégies mentales.

• Sans elle, l'apprentissage par cœur des tables
  peut être fragile, voire de constituer un
  obstacle.
• L'apprentissage par cœur prend valeur de
  comptine ? perte de la notion de quantité
• L'élève en difficulté aura peu de stratégie
  pour retrouver seul le "répertoire" oublié
  
• En l'absence d'accès à la stratégie, l'élève
  envisage le calcul mental comme une pensée
  magique.

En revanche le calcul pensé aide à la
mémorisation des résultats et doit être travaillé
en amont.
Calcul pensé ? Fulgurance de la réponse
? Calcul rapide Le calcul mental est souvent mis
en œuvre par le procédé  La Martinière. Pratiquer
ainsi le calcul mental ne permet pas de mettre en
valeur les stratégies élèves. La correction ne
pourra se passer de lexplicitation des
stratégies.
35
F Enseigner la Numération décimale

• La Numération décimale
• Utiliser la dizaine pour constituer une
  collection ou la dénombrer
• Utiliser la dizaine pour
  additionner
• La Numération décimale un enjeu fondamental
  souvent échoué.
• Pourquoi ? Quelles solutions ?
• x x x x
  d u
• x x x x x x
  x
• x x x x x x x x
• Cette situation souvent employée naide pas
  lélève qui souvent perd de vue la fonction
  première de lactivité
• savoir combien il y a de croix. Lélève écrit 1
  dans la colonne des dizaines et 9 dans la colonne
  des unités car
• il sait que cest ce quon lui demande. Pour
  répondre à la question  Combien y a-t-i de croix
  ?  La plupart
• des élèves recompte les croix une à une. Cela ne
  peut séviter que si lélève sait explicitement
  que pour

x

36

• Notre langue est un obstacle à la numération
  décimale
• Les japonais oralisent la numération décimale
  un, deux, trois, dix-un, dix-deux,
  dix-trois,.deux dix, deux dix un, . Trois dix,
  trois dix-un .
• Cest ainsi que les enfants japonais apprennent
  que pour former une collection de  cinq dix
  sept  il faut 5 paquets de dix objets et 7
  objets.
• Les petits japonais sont plus vite performants
  en numération décimale que les anglais et les
  français.
• Pour enseigner, la numération décimale, le maître
  a tout intérêt à employer des
• formulations du type vingt cest deux dix 
   trente cest trois dix  
• Nos doigts sont une aide à la numération décimale
• Pour quun enfant puisse se représenter un
  nombre, il est judicieux de lui prêter ses doigts
  ou de faire travailler les élèves par deux,
  trois, quatre...
• 12 22

37

• Lusage des différentes représentations est une
  aide à la conceptualisation de la dizaine
• Lusage dun matériel structuré peut être une
  aide à la conception de la dizaine
• Course au 10
• A partir dun jet de dé, le joueur gagne des
  jetons (3 3 jetons..) quand il atteint dix, il
  recouvre ses dix jetons par une réglette 10. Si
  le joueur oublie de recouvrir il remet ses jetons
  en jeu.
• Lusage dune frise adaptée est une aide à la
  conception de la dizaine.
• Où est la case trente ? ? compter de 10 en 10
  
• ? compter des 10 avec les accolades 1
  dix, 2 dix
• On soulèvera le papier autocollant de la
  case 30 positionné auparavant et qui masque le
  nombre pour lautocorrection.

38

• Le boulier ou labaque peuvent être aussi de bons
  outils

http//www.crdp-montpellier.fr/bsd/afficherSerie4.
aspx
http//cp.lakanal.free.fr/ressources.htm
Une source d'outils pédagogiques
- Rubrique Maths puis Outils -