Une visite guid

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Une visite guidée dans le monde des ondelettes
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plan

• Introduction
• Au royaume de Fourier
• SFT
• CWT
• DWT
• Applications

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Introduction

• Pourquoi une transformée ?
• Optimiser la description des signaux pour
  extraire les informations désirées

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Au royaume de Fourier
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La transformée de Fourier
Analyse
Synthèse
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Le Succès

• Propriétés très intéressantes
• Algorithme très rapide

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Limitations La stationnarité

• Signal déterministe

il peut se décomposer en une somme d'ondes
sinusoïdales éternelles

• Signal aléatoire

ses propriétés statistiques (moments) ne varient
pas au cours du temps
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La non-stationnarité

• Cest une  non-propriété   elle nest définie
  que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!

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La physique et Fourier limitations

• Caractère globale
• Exemple morceau musical

• Interprétation physique difficile

Signal transitoire
Réalité physique Pas de signal en dehors dun
certain support zéro statique
Fourier Zéro dynamique Interférence dune
infinité de sinusoïdes Contribution résultante
nulle
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Inégalité de Heisenberg-Gabor
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Des classes de solutions
Gabor
transformées en ondelettes
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Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de Gabor
Avec g(t)e-??t²
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Interprétation SFT comme filtrage
temps
fréquence
Banc de filtre uniforme
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Ondelettes classification
transformée continue
Transformées redondantes
trame dondelettes
paquet dondelttes
analyse multirésolution base orthonormée
Transformées non redondantes
analyse multirésolution base bi-orthogonale
paquet dondelttes
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Transformée en ondelettes continue cdt.
dadmissibilité

• Condition suffisante dadmissibilité pour une
  ondelette réelle ?

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Transformée en ondelettes continue
Notée généralement CWT
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CWT interprétation comme filtrage
SFT
CWT
f0 2f0 3f0 4f0
5f0 6f0
temps
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CWT réelle ou complexe
Ondelettes réelles
détection des transitions brutales dun signal
? réelle
voir lévolution temporelle des composantes
fréquentielles
Ondelettes analytique
? complexe
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DWT Analyse multirésolution
Signal construit par raffinement
successive Approximationdétail

• Le père f. déchelle ?(t)

• La mère londelette ?(t)

f.b.orth
f.b.orth
Coefficients Approximation à léchelle j
Coefficients de détail à léchelle j
Approximation
détail
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Rappel bases orthonormales

• u?V1, V1?V0
• Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1

V0
u
Pw1 u
Pv1u
V1
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Rappel bases orthonormales

• Soit v1,v2,,vn une base dans lespace V,tout
  vecteur (fonction)peut être écrit comme
• ?j difficile à déterminer sauf pour une base
  orthonormale
• On peut écrire alors

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Analyse multirésolution
Supposons quon se donne une fonction f
appartenant à L(0,1), discrétisée sur 8
valeurs 
1 3 5 8 11 15 16 20
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Analyse multirésolution
On voudrait exploiter une éventuelle corrélation
entre valeurs voisines ?Moyennant les paires de
valeurs voisines
1 3 5 8 11 15 16 20
moyenne
2 6.5 13 18
2( 1) 1, 2 ( 1) 3, 6.5( 1.5)
5, 6.5 ( 1.5) 8 , .
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Analyse multirésolution
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Analyse multirésolution
On peut considérer la fonction précédente comme
une fonction sur 0,1 constante par morceaux
sur les intervalles  I3,k 2-3k, 2-3(k 1),
k 0, . . . , 2-3 - 1. En notant f (x)
I0,1(x) et fj,k(x) f (2jx - k), la fonction
sécrit 
f (x) 1f3,0(x) 3f3,1(x) 5f3,2(x) 8 f3,3(x)
11f3,4(x) 15f3,5(x) 16f3,6(x) 20
f3,7(x).

• On peut re-écrire alors

f (x) 2 f2,0(x) 6.5 f2,1(x) 13 f2,2(x) 18
f2,3(x) (-1)?2,0(x) (-1.5) ?2,1(x)
(-2) ?2,2(x) (-2) ?2,3(x)
où ?(x) I0,1/2(x) - I1/2,1(x)
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Analyse multirésolution

• V0 le sous-espace vectoriel de L2(0, 1)
  engendré par les fonctions constantes sur 0, 1
• Vj lespace vectoriel des fonctions constantes
  par morceaux sur les intervalles Ij,k, k 0, 2j
  1
• V0 ? V1 ? V2 ? V3
• Pour chaque Vj, la famille f j,k, k 0, . . . ,
  2j - 1 forme une base , et est orthogonale.
• la famille ?j,k, k 0, . . . , 2j - 1 est une
  base de lespace vectoriel Wj supplémentaire
  orthogonal de Vj dans Vj1.

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Analyse multirésolution

• une analyse multirésolution de L2(R) est une
  famille M?Vj?j?Z de sous espaces vectoriels
  fermés emboîtés
• ? V-2 ? V-1 ? V0 ? V1 ? V2 ?
  , 1
• telle que
• 
  2 
• ?j?Z, f (x) ?Vj , f (2x) ? Vj1
  3
• Il existe une fonction ? ? V0 telle que 
• 4
• ?k, k ? Z est une base stable de V0, cest à
  dire que 
•  

VjVj1?Wj1
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Algorithme de Mallat
La clef équations aux deux échelles
Le père
?(t) dans V0 ? V1
avec
La mère
?(t) dans V1
avec
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Algorithme de Mallat décomposition

• Relation entre lapproximation au niveau j1 et
  lapproximation et le détail au niveau j

H
aj,k
aj1,k
1-niveau de décomposition

G
dj,k
jlt0
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Algorithme de Mallat reconstitution
Par projection de cette égalité sur ?j1,k ,on
trouve
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Analyse multirésolution

• hn Reconstruction, filtre passe-bas
• gn Reconstruction, filtre passe-haut
• hn Decomposition, filtre passe-bas
• gn Decomposition, filtre passe-haut

hnh-n, et gng-n
Filtre QMF
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Analyse multirésolution
xn
xn




Decomposition
Reconstruction
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Analyse multirésolution construction

• Choisir une famille de base orthonormée de
  fonctions déchelle
• Déterminer le filtre h
• Vérifier la convergence de lanalyse avec lalgo.
  en cascade
• Définir le filtre g à partir de h et déduire
  londelette associée à laide de lalgorithme en
  cascade

• Choisir h (passe bas) (orthogonal)
• Algo. en cascade pour vérifier la convergence
• Construire g à partir de h

Remarque Lanalyse est discrète mais
londelette et la fonction déchelle restent
continuent
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Ondelettes

• Deux degrés de liberté
• Le choix de londelette
• Le nombre de niveaux de décomposition

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Ondelettes le choix
Le lien entre un polynôme et un signal
quelconque série de Taylor
utile pour la compression , suppression des
signaux
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Ondelettes le choix

• Support
• quantifie resp. la localisation en temps et en
  fréquence

Daubechies, Symlets, Coiflets, etc.
Meyer
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Ondelettes le choix

• Régularité
• Plus le nombre de moments nuls augmente
• plus londeltte est régulière

• Meilleurs sont les propriétés de
• reconstruction
• esthétisme

Utile pour obtenir des signaux ou images
reconstruits lisses et réguliers
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Ondelettes le choix

• Symétrie
• Utile pour éviter le déphasage (filtres à phase
  linéaire)

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Ondelettes propriétés principales et
classification
Ondelettes à filtres Ondelettes à filtres Ondelettes à filtres Ondelettes sans filtres Ondelettes sans filtres
A support compact A support compact A support non compact réelles complexes
Orthogonales Biortho-gaunales orthogaunales gaus, mexh, morl cgau, shan, fbsp, cmor
db, haar, sym,coif bior meyr,dmeyr,btlm gaus, mexh, morl cgau, shan, fbsp, cmor
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Applications
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Discontinuité dans le signal
db1
Chapeau mexicain
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(No Transcript)
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Variante transformée de Stokwell
Ondelette de Morlet