Fraktale

1
Fraktale
2
Fraktale, co to takiego?

• Termin fraktale jest nowy w jezyku matematyki,
  ale figury bedace fraktalami konstruowali juz
  bardzo dawno temu wybitni matematycy tacy jak
  Peano, Hilbert, a zwlaszcza Sierpinski. Te
  konstrukcje byly im potrzebne glównie po to, aby
  lepiej wyjasnic podstawowe pojecia matematyczne.
  Co to jest wymiar figury? Co to jest linia?

3
Teoria fraktali

• Teoria fraktali , to obecnie bardzo zywo
  rozwijajaca sie i bardzo modna dyscyplina.
  Zajmuja sie nia specjalisci róznych nauk
  matematycy, fizycy, mechanicy. Wielu badaczy
  twierdzi, ze geometria fraktali jest geometria
  przyrody. W chmurach, liniach wybrzezy morskich,
  lancuchach górskich, platkach sniegu, drzewach,
  pianie mydlanej mozna odkryc ksztalty fraktali.

4
Cóz wiec to takiego, te fraktale?

• Fraktale sa figurami, w których czesc figury jest
  podobna do calosci. Ale ciagle jeszcze nie
  istnieje scisla definicja fraktala.
  Najwybitniejszym znawca fraktali i twórca tego
  terminu, jest matematyk i informatyk amerykanski
  Benoit Mandelbrot. W swoim referacie wygloszonym
  na Miedzynarodowym Kongresie Matematyków w
  Warszawie w 1983 roku, wypowiedzial zdanie, ze
  jest jeszcze za wczesnie na formulowanie scislej
  definicji fraktala, poniewaz ciagle jeszcze nie
  rozumiemy dostatecznie gleboko istoty tego
  pojecia.

5

• . Fraktale maja obecnie swoje miejsce w
  dziedzinie matematycznej zwanej teoria chaosu.
  Fraktale sa scisle zwiazane z komputerami. Bez
  nich nie byloby mozliwe wytworzenie tak wielu
  przepieknych fraktali, które sa swoistymi,
  jedynymi w swym rodzaju obrazami

6
Oto przyklady niektórych fraktali
7
(No Transcript)
8
(No Transcript)
9
(No Transcript)
10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
(No Transcript)
13
Niektóre, proste przyklady fraktali mozna pokazac
uczniom gimnazjum (a moze i nawet juz szkoly
podstawowej). Wystarczy wykonanie paru rysunków.
Narysuj kwadrat (o boku np. 4 cm). Nastepnie na
kazdym boku zbuduj kwadrat o dlugosci boku dwa
razy mniejszej, tak jak na rysunku ponizej
(rysunek po lewej stronie). Powtarzaj to
budowanie tak dlugo, jak bedzie to mozliwe.
Kwadraty rysowane w tym samym kroku pomaluj tym
samym kolorem. Co przedstawia tabelka? Spróbuj
wypelniac ja dalej.
14
Podobne zadanie mozna zrobic z trójkatem
równobocznym. Fraktale takie mozna reprodukowac w
nieskonczonosc. Cwiczenie to wyrabia u uczniów
zdolnosc do zauwazania pewnych prawidel
15
Fraktale mozna tez tworzyc jak na rysunkach
ponizej, wchodzac do wnetrza trójkata lub
kwadratu.
16
Najstarsze fraktale
Fraktale ,które wymyslili matematycy na poczatku
XX-wieku. To dziwne i ciekawe zarazem zbiory
które daly poczatek nowej geometrii zwanej
geometria fraktalna, która pozwala modelowac
wiele obiektów i zjawisk wystepujacych w
przyrodzie i nie tylko...
17
Oto niektóre wlasnosci fraktali .
     - Fraktal to
zbiór o skomplikowanej budowie. Niezaleznie od
tego jak maly jego fragment bedziemy ogladac -
bedzie on równie skomplikowany jak calosc.
        Wiele fraktali kryje w sobie
zadziwiajaca tajemnice jaka jest ich
'nieskonczone samopodobienstwo'. Oznacza to, ze
dowolnie maly jego kawalek, odpowiednio
powiekszony, przypomina do zludzenia caly zbiór
lub jego znaczna czesc.         Jednoczesnie
fraktale maja prosty opis i czesto sa otrzymywane
przez powtarzanie nieskonczenie wiele razy tej
samej operacji. Jesli przeczytacie opisy
konstrukcji fraktali, które widac na ekranie,
zrozumiecie co chcielismy powiedziec.
18
FRAKTALE WYSTEPUJLCE W PRZYRODZIE
Z uwagi na fakt, iz materia zbudowana jest z
atomów, nie mozna mówil o obiektach zawierajacych
nieskonczona liczbe szczególów "w glab".
Doszukujac sie fraktali w przyrodzie, mamy na
mysli obiekty, które wykazuja ceche
samopodobienstwa na kilku poziomach.
Najciekawszym przykladem sa tutaj chmury jak
wykazaly badania, po ich wygladzie nie mozna
powiedziec w jakiej odleglosci od nich znajdujemy
sie jako obserwatorzy. "Fraktalami" wystepujacymi
w przyrodzie sa na przyklad uklad krwionosny
(naczynia wlosowate), pluca, kalafior, paprotka,
drzewa, krzewy, lód i jego krysztaly, skaly,
cegla, rdza, osadzajace sie zloto, ksztalt ropy
wlanej do wody
19
Fraktale z naszej kolekcji to przyklady
zbiorów o zdumiewajacych, trudnych do wyobrazenia
wlasnosciach, które wrecz przecza naszej
intuicji. Popatrzcie na brzeg 'platka sniegu'.
Chyba kazdy z Was powie o nim, ze jest krzywa.
Czy powiedzielibyscie to samo o dywanie
Sierpinskiego? Choc brzmi to moze absurdalnie,
dywan jest takze krzywa ale o bardzo
skomplikowanej budowie.
Opisywane fraktale powstaly na poczatku XX wieku
w wyniku zmagan matematyków z definicja 'wymiaru'
i 'krzywej'. Zbiory te kryja w sobie do dzis
jeszcze nie rozwiazane zagadki.
20
Fraktale trójwymiarowe
21
Istnieja równiez fraktale trójwymiarowe.
Najslynniejszym przykladem takiej struktury jest
opisana powyzej kostka Mengera. Istnieje równiez
trójwymiarowo odpowiednik trójkata Siepinskiego.
Dziesiec lat po powstaniu dywanu Sierpinskiego,
Karl Menger wpadl na pomysl stworzenia
trójwymiarowego odpowiednika tej figury. Sposób
konstrukcji jest calkowicie analogiczny, po
prostu odnosimy go do szescianu. Bryla ta jest
uniwersalnym zbiorem dla wszystkich krzywych
Multifraktal jest to obiekt, który w róznych
swoich czesciach ma rózne wymiary
samopodobienstwa.(def.Federa)
22
 Literatura polskojezyczna na temat fraktalnej
kompresji obrazów
        Wl. Skarbek Metody reprezentacji
obrazów cyfrowych , Akademicka Oficyna Wydawnicza
PLJ, Warszawa 1993
23
Literatura angielska (Do maja 1994 obejmowala
ponad 100 pozycji oto najwazniejsze)
       - Barnsley M., Hurd L. P. Fractal Image
Compression, AK Peters. Ltd, Wellesley 1993
-- Beamont J. M. Image data compression using
fractal techniques, BT technology Journal 9(4),
93-108   -  Fisher Y. Fractal Image
Compression, SIGGRAPH'92 Course Notes
  -Frigaard C., Gade J., Hemmingsen T. T., Sand
T. Image Compression Based on a Fractal Theory,
Institute for Electronic Systems, Aalborg
University, Denmark, 1994  --Jacquin A. E.
Fractal Image Coding A Review, Proceedings of
the IEEE october 1993, Vol. 81 No. 10. --
Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and
fractals, Springer-Verlag, New York 1992 (chodzi
tu o dodatek, napisany przez Y. Fishera) --  
Skarbek Wl. Banach constructor and image
compression, Instytut Podstaw Informatyki PAN,
Warszawa 1994 ---- K. Mazur Tablice
matematyczne, Wydawnictwo Adamantan, Warszawa
1999   - M. Tempczyk Teoria chaosu dla
odwaznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002
   - H. G. Schuster Chaos deterministyczny.
Wprowadzenie, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
1993  
24
THE END