Kein Folientitel

1
Zeitreihenanalyse WS 2003/2004
Michael Hauhs/ Holger Lange
http//www.bitoek.uni-bayreuth.de/mod/html/ws0204/
geooekologie/zeitreihenanalyse/

• Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften
• Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen
• Fouriertransformationen, Powerspektrum,
  Lomb-Scargle Methode
• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse
• Modellierung von Zeitreihen mit langem
  Gedächtnis
• Kausalität, Transferfunktionen, multivariate
  Methoden
• Skalierung, (Multi-)Fraktale
• Komplexität und Information von Zeitreihen
• Wavelets

2
Kontexte der Veranstaltung

• Wissenschaften komplexer Systeme
• Biologie
• Ökologie
• Sozial-
• Wirtschaftswissenschaften

• Wissenschaften einfacher Systeme
• Physik
• Chemie
• Mathematik

Analyse von Strukturen
Ökosystem
Realisation Kontrolle von Verhalten

• Ingenieur-Wissenschaften
• Informatik
• Umwelttechnik
• Kreislaufwirtschaft

• Nutzungstraditionen
• Land-
• Forstwirtschaft
• Wasserwirtschaft
• Naturschutz

3
Kontexte der Veranstaltung Das Lehrangebot der
Ökologischen Modellbildung
Wissenschaften einfacher Systeme
Wissenschaften komplexer Systeme
Modellbildung in der Geoökologie G5
Einführung Ökologie
G5
Zeitreihenanalyse M103, 409, 509
Ökologische Modellbildung M103

• Spezial-Wissenschaften
• Biogeografie
• Bodenkunde
• Geologie
• Hydrologie
• Meteorologie
• Toxikologie
• ...

Entwicklung von Simulations- ModellenM103
Ingenieur-Wissenschaften
Nutzungstraditionen
4
Lehrveranstaltungen im WS 04/05

• Zeitreihenanalyse (Do 11-13)
• Methoden Auswertung von Monitoringdaten, die
  internen Prozesse der zugehörigen Systeme sind
  unbekannt.
• Praktikum am Ende des Semesters
• Umweltinformationssysteme (Mi 8-10)
• Methoden zu Organisation und Bewertung von Daten
  und Abläufen im Umweltbereich
• Simulation von sozialen und ökologischen Systemen
  (28-30.1.05 Wallenfels)
• Agentensimulationen, zusammen mit PE
  (Hegselmann)
• Mustererkennung in der Fernerkundung
  terrestrischer Ökosysteme (Lange/Lischeid)
• Blockseminar, nach Vereinbarung
• Entwicklung von Simulationsmodellen (M103)
  (Knauft) (Di 12-13, Mi 14-17)
• Vorlesung (1) mit Praktikum (3) zum Erlernen
  einer Simulationssprache (Vensim)

5
Literatur zum Thema

• K.W. Hipel und A.I. McLeod Time Series
  Modelling of Water Resources and Environmental
  Systems, Elsevier 1994
• H. Tong Non-linear Time Series, Oxford Science
  Publ. 1990
• R. Schlittgen Angewandte Zeitreihenanalyse,
  Oldenbourg 2001
• Brillinger, D.R. (1981) Time Series. Data
  Analysis and Theory.
• J. Honerkamp Stochastic Dynamical Systems, VCH
  1994

6
Wozu Zeitreihenanalyse ?

• Direkteste Verbindung zur experimentellen
  Beschreibung von Systemen (Datenerhebung)
• kommt (i.d.R.) ohne Annahme von Prozessen aus
• kommt mit gar keinem bis wenigen Parametern aus
• konkrete empirische Beschreibung des zeitlich
  variablen (dynamischen) Verhaltens
• Vorhersage oft erfolgreicher als bei
  Prozessmodellen
• Klassifikation von Modellen nach ihrer
  Erklärungsleistung
• Sensibler Test von Modellen ("mehr als r2")

7
Zugänge

• aus der Physik
• Suche nach der Dynamik des erzeugenden
  Systems (z.B. Geophysik, Meteorologie)
• der typische Zugang in den Geowissenschaften
• aus der Mathematik
• als Beispiel für geordnete (oder partiell
  geordnete) Mengen
• aus den Ingenieurwissenschaften (z.B.
  Hydrologie)
• als Ausdruck des empirischen Wissens (Abflüsse)
• aus der Modellbildung
• als wichtiges Beispiel zur Demonstration der
  heutigen technischen Möglichkeiten
• gibt es einen typischen Zugang für Ökosysteme ?

8
Was ist eine Zeitreihe?
Definition Eine Zeitreihe ist eine Menge von
Werten, die in einer festgelegten (und
bekannten!) Reihenfolge vorliegen

• Die Zuordnung der Werteposition zum
  Referenzzeitpunkt ist eine monotone Funktion

• Ist der zeitliche Abstand zweier Messungen
  konstant

heißt die Zeitreihe äquidistant. Es gilt dann

• Fehlt ein i in dieser Liste, hat die Zeitreihe
  eine Lücke.

Wie behandelt man Lücken? Was ist eine Lücke bei
Nicht-Äquidistanz?
9
Eigenschaften und Bezeichnungen bei Zeitreihen

• Univariate Zeitreihe Eine (reellwertige)
  Variable an einem Ort gemessen
• Multivariate Zeitreihe mehrere Variablen am
  selben Ort
• Mehrdimensionale Zeitreihe eine Variable an
  verschiedenen Orten zu jeweils gleichen
  Zeitpunkten
• Äquidistante Zeitreihe
• Lückenfreiheit
• Homogenität pdf ändert sich nicht mit der Zeit
• Generelles Problem viele Eigenschaften beziehen
  sich auf / sind nur definiert für unendlich lange
  Zeitreihen
• In der Mathematik werden Zeitreihen oft als
  Realisation eines stochastischen Prozesses
  definiert (oft unbrauchbar...)

10
Zeitreihen (ein Wettbewerb)
11
Zeitreihen Eigenschaften
12
Grundlegende Definitionen I
Faustregel Zur Berechnung des q-ten
Moments benötig man mind. 2q Datenpunkte
13
Grundlegende Definitionen II
Häufigkeitsverteilung Histogramme
Faustregel 95 der Bins sollten je mind. 5
Datenpunkte enthalten
Häufigkeitsverteilungen ? Wahrscheinlichkeitsverte
ilungen (pdfs)

• Median 50 der Werte sind kleiner

• Modus/Modalwert Position des Maximums der pdf

• x-Quantil x der Werte sind kleiner

14
Grundlegende Definitionen III
Autokovarianz
Autokorrelationsfunktion

• Faustregeln
• Mindestens 30 Datenpunkte

• Nur Lags k lt N/4 (Puristen) bzw. k lt N/2
  (Pragmatiker) vertrauen

• Daten müssen im Prinzip äquidistant
  vorliegen Lücken sind ein echtes Problem!

15
Wann ist eine Zeitreihe eine Zeitreihe?
Gibt es signifikante Autokorrelationen, ist die
zeitliche Reihenfolge wichtig. Die einzelnen
Werte sind dann nicht unabhängig.

• Unabhängigkeit erreicht man durch
• Aggregation
• Wahl einer gröberen Messauflösung

Falls unabhängig Zeitreihen als Realisationen
eines stochastischen Prozesses
I.a. liegen Mischtypen vor (z.B. additives
Rauschen)
16
Test für (lineare) Unkorreliertheit
Liegen weniger als 5 der Werte ausserhalb des
Intervalls, liegen keine signifikanten
Korrelationen vor ? Autokorrelationslänge

• Partielle Autokorrelation (PACF) später
  (AR-Modellierung)

17
Beispiel Wolfers Sonnenfleckenrelativzahlen
18
Autokorrelation der Sonnenflecken
19
Lang- und Kurzzeitgedächtnis
Definition Gedächtnis einer Zeitreihe
Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis
20
Autokovarianzmatrix
(Mittel über alle Fenster)

• symmetrisch
• positiv definit für stationäre Zufallsprozesse
• für multivariates Gaußsches Rauschen
  ausreichend zur vollständigen
  Charakterisierung

21
Kreuzkorrelation zweier Zeitreihen
22
Eigenschaften der Kreuzkorrelation
23
Kreuzkorrelation RP Trend gegen Sonnenflecken
0.6
0.4
0.2
CCF
0
-0.2
-0.4
-0.6
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Abstand (Jahre)
24
Arten von Kausalitätsbeziehungen
Beziehung Eigenschaften der Kreuzkorrelation
X verursacht Y
Y verursacht X
Instantane Kausalität
Rückkopplung
Y verursacht nicht X
X und Y sind unabhängig
25
Kausalität für Zeitreihen nach Granger
26
Spezialfall Korrelationskoeffizient

• mindestens 4 gemeinsame Datenpunkte (evtl.
  Ausdünnen)

• sehr robust gegen Nicht-Normalität

27
Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen
Problem vieler Zeitreihen-Modelle und
Analysemethoden u.a. Stationarität vorausgesetzt

• Zwei Auswege
• Geeignete Modellklasse wählen
• Vorbehandlung der Zeitreihen

• (Ggf. wünschenswerte) Eigenschaften von
  Zeitreihen
• Ergodizität
• Stationarität
• Linearität
• Homoskedastizität
• Normalität
• Trendfreiheit (deterministisch/stochastisch)
• Unkorreliertheit (Identically Independently
  Distributed, IID)