F 1

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Mathematik Vertiefungskurs

• Ich habe eben die Ergebnisse in Mathe
  bekommen, gerade mit 3,3 geschafft. Was mich aber
  aus der Fassung gebracht hat, ist die Tatsache,
  dass 3/4 des Gesamtjahrgangs (Maschinenbau)
  durchgefallen ist. Jetzt weiß ich, warum alle vor
  Mathe Schiss haben. Das muss man sich echt auf
  der Zunge zergehen lassen 3/4 von 500 Studenten
  müssen die Klausur noch mal schreiben, wenn die
  nicht bestanden wird, dann sieht es echt düster
  mit dem Studium aus.

2
Erster vorläufiger Bildungsplan

• Jahrgangsstufe 11 Verbindlicher Teil (21
  Wochen)
• (1) Einführung in die Aussagenlogik (4
  Wochen)(2) Einführung in Beweisverfahren (3Woch
  en)(3) Gleichungen und Ungleichungen
  lösen (5Wochen)(4) Folgen, Reihen,
  Konvergenz (6 Wochen)(5) Mengen, Relationen,
  Graphen l (3 Wochen)
• Jahrgangsstufe 12 Verbindlicher Teil (11
  Wochen) (1) Mengen, Relationen, Graphen ll (3
  Wochen)(2) Parameterdarstellung und
  Polardarstellung (4 Wochen)(3) Komplexe
  Zahlen (4 Wochen)
• Jahrgangstufe 11 und 12 Beispiele für
  Wahlmodule(1) Integrationstechniken(2)
  Zahlentheorie und Kryptographie(3) Potenzreihen,
  Taylorreihen, Fourrierreihen

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Vorschlag RPF Pflichtmodule

• 1. Komplexe Zahlen
• Gaußsche Zahlenebene,
• Rechnen mit komplexen Zahlen,
• Lösen von Gleichungen 
• 2. Weiterführung der Funktionsuntersuchungen
• Gleichungslehre
• Rationale, trigonometrische, hyperbolische
  Funktionen
• Umkehrfunktionen
• Differentiations- und Integrationstechniken
•  
• 3. Vertiefte Untersuchungen von Folgen und Reihen
• Konvergenz
• vollständige Induktion
• rekursive Folgen
• arithmetische und geometrische Folgen und
  Reihen. 

4
Vorschlag RPF Wahlmodule

•   
• 1. Zahlentheorie und Kryptographie
• Teilbarkeit, Primfaktorzerlegung
• Rechnen mit Restklassen
• Verschlüsselungsverfahren
• 2. Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen
• Potenzreihen, Konvergenzradius
• Darstellung von Funktionen durch Taylorreihen und
  Fourierreihen
•  
• 3. Weiterführung der Stochastik
• bedingte Wahrscheinlichkeit.
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Markoff-Ketten
•  
• 4. Elemente der linearen Algebra
• Matrizenrechnung
• Abbildungen

5
Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung(Empfehlung
der Regierungspräsidien)

• Leitgedanken
• Einführung in besondere Denk- und
  Arbeitsweisenmit Schwerpunkt auf begrifflichen
  Strukturen und hierarchischen Verknüpfungen
• Vertieftes Kennenlernen und aktives Anwenden von
  ausgewählten inhaltlichen und fachmethodischen
  Grundlagen
• Ausbau der Rechenfertigkeiten
• Kennenlernen grundlegender Beweisverfahren
• Treffen begründeter Studienentscheidungen
• Geschichtliches

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Vorschlag zur inhaltlichen Gestaltung

• Kompetenzen
• Die Schülerinnen und Schüler können
• grundlegende mathematische Begriffe, Notationen
  und Konzepte verstehen und anwenden,
• komplexe symbolische Rechnungen ohne Hilfsmittel
  ausführen,
• Beweise nachvollziehen und Beweisverfahren in
  einfachen Fällen auf neue Sachverhalte
  übertragen.

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Pflichtmodule

1. Aussagenlogik und BeweistechnikenAussage,
   Existenz- und Allquantor, Verknüpfung von
   Aussagen (Negation, Konjunktion, Disjunktion,
   Implikation, Äquivalenz), Beweise mit
   Wahrheitstabelle, aussagenlogische
   GesetzeVoraussetzung, Behauptung, Satz,
   Umkehrsatz, Kontraposition, notwendige und
   hinreichende Bedingung, direkter und indirekter
   Beweis, vollständige Induktion
2. Vertiefung der GleichungslehreDefinitionsmenge,
   Lösungsmenge, Äquivalenzumformungen,
   Bruchgleichungen , Wurzelgleichungen,
   Polynomdivision, Betragsgleichungen, Ungleichungen

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Pflichtmodule

• (3) Folgen und Reihen Explizite und rekursive
  Folgen, arithmetische und geometrische Folgen
  und Reihen, Monotonie, Beschränktheit,
  Konvergenz, Konvergenzsätze
• (4) Komplexe Zahlen Gaußsche Zahlenebene,
  Rechnen mit komplexen Zahlen, auch
  Polardarstellung, Lösen von Gleichungen

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Wahlmodule

• (1) Weiterführung der Funktionsuntersuchungen
  Rationale, trigonometrische Funktionen,
  Umkehrfunktionen, Differentiations- und
  Integrationstechniken
• (2) Zahlentheorie und Kryptographie Teilbarkeit,
  Primfaktorzerlegung, Rechnen mit Restklassen,
  Verschlüsselungsverfahren
• (3) Potenzreihen, Taylorreihen, Fourrierreihen
  Konvergenzradius, Darstellung von Funktionen
  durch Taylorreihen und Fourierreihen
• (4) Weiterführung der Stochastik Bedingte
  Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsverteilunge
  n, Markoffketten
• (5) Elemente der Linearen Algebra
  Matrizenrechnung, Abbildungen

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Kontakt ILIAS

• Die ILIAS-Plattform der Universität
  Stuttgart(Integriertes Lern-,Informations- und
  Arbeitskooperations-System)
• http//www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/sch
  uelerzirkel/matheplus.html
• Anmeldung
• (1) Name auf die Liste oder Nachweis der Schule
• (2) e-mail an Peter.Lesky_at_math.uni-stuttgart.de
•  

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Zertifikat

• Freiwillige zentrale Zertifikatsklausur
• am Freitag, den 27.9.
• an den Universitäten
• Konstanz, Freiburg, Tübingen, Ulm, Karlsruhe,
  Stuttgart, Heidelberg
• Ausstellung eines Zertifikats

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Beispiel für Klausuraufgaben

• Aussagenlogik und Beweisverfahren (ohne
  Hilfsmittel)Vollständige Induktion
• (1) (leicht)
• (2) (mittelschwer)
• Lösung .

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Beispiel zu Klausuraufgaben

• Konvergenz
• (1) Gegeben ist die Folge
• Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folge.
• Geben Sie die Definition der Konvergenz
  an.
• Beweisen Sie für die oben angegebene Folge
  und den von Ihnen gefundenen Grenzwert a, dass
  die Definition der Konvergenz erfüllt ist.
  (mittel)
• Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und
  bestimmen Sie den Grenzwert durch Anwendung der
  Sätze über konvergente Folgen
  
  (schwer)

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Zertifikatsklausur

• Die Probeklausur..

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Unterrichtsumsetzung

• Komplexe Zahlen
• Folgen
• Vollständige Induktion
• Funktionen Reelle Funktionen, ganzrationale
  Funktionen, Polynome, Nullstellen (auch doppelte,
  dreifache,), Linearfaktorzerlegung,
  Eigenschaften von ganzrationalen Funktionen,
  Umkehrfunktionen
• IntegrationsmethodenPartielle Integration,
  Integration durch Substitution

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Andere Unterrichtsgänge (1)

• Folgen Explizite und rekursive Folgen,
  arithmetische und geometrische Folgen,
  Fibonacci-Folge, Heron- und Newtonverfahren
• Vollständige Induktion Summenformeln,
  Teilbarkeit, n-te Ableitung
• Eigenschaften von FolgenKonvergenz, Monotonie,
  Beschränktheit
• Reihenarithmetische und geometrische Reihe,
  einfache Konvergenzbetrachtungen bei der
  harmonischen Reihe, Paradoxon von Zenon
• IntegrationsmethodenSubstitution, partielle
  Integration, Kombination der Verfahren
  (Kreis)Taylorreihe

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Andere Unterrichtsgänge (2)

1. Ableitung Beweis der Potenzregel für ganze
   Zahlen
2. Zahlbereichserweiterung (z a
   ib)Addition, Subtraktion, Multiplikation
3. Nullstellen von Polynomen LinearfaktorzerlegungP
   olynomdivisionExkurs in die gebrochenrationalen
   Funktionen (Asymptoten - Anwendung der
   Polynomdivision)Lösungen in C
4. Division komplexer Zahlen konjugiert komplexe
   Zahl
5. Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen
   Zahlenebene
6. Polarkoordinaten einer komplexen Zahl
   Euler-Formel
7. Mandelbrotmenge und Julia-Menge
8. Taylor-Polynom des Sinus und Cosinus
9. Begründung der Euler-Formel mit (8)
10. Approximation der Zahl e
11. Ableitung der Umkehrfunktion
12. Beweis der Euler-Formel ohne Taylorreihendazu
    braucht man die vollständige Induktion

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Andere Unterrichtsgänge (3)

• Komplexe Zahlen
• __________________________________________________
  _______
• Funktionen und Gleichungen
• Algebraische Gleichungen - ganzrationale
  Funktionen Polynomdivision, Linearfaktorzerlegung
  , Beweise mit dem Fundamentalsatz, transzendente
  und algebraische Zahlen (auch deren Anzahl
  Cantor), abzählbar unendlich und überabzählbar
  unendlich, gleichmächtige Mengen,
  Bijektion,Newton-Verfahren, Horner-Schema
• Gebrochenrationale FunktionenDefinition und
  Asymptoten, Quotientenregel, Integration durch
  Partialbruchzerlegung
• Exponentialfunktionen HyperbelfunktionenUmkehrf
  unktion, injektiv, Ableitung der Umkehrfunktion,
  Produktintegration, Integration durch
  Substitution,hyperbolische Funktionen,
  Bogenlänge

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Komplexe Zahlen

• Der Einstieg..

20
Komplexe Zahlen

• Zahlbereichserweiterungen Ein paar
  Rechenaufgaben zum WarmwerdenSatz 1 Zwischen
  zwei rationalen Zahlen liegt mindestens eine
  weitere rationale Zahl. (erster
  Beweis)
• Die rationalen Zahlen liegen dicht.
• Hilfssatz Das Quadrat jeder geraden ganzen
  Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden
  ganzen Zahl ist ungerade. (erster eigenständiger
  Beweis)
• Satz 2 ist keine rationale Zahl
  (indirekter
  Beweis)
•  

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Vorgehensweise

• Hilfssatz Das Quadrat jeder geraden ganzen
  Zahl ist gerade, das Quadrat jeder ungeraden
  ganzen Zahl ist ungerade.
•  
• Tipp Jede gerade ganze Zahl lässt sich in der
  Form ,
• jede ungerade ganze Zahl lässt sich in der
  Form
• darstellen.
•  
•  
•    
•  
•  
•  

Beweis des Hilfssatzes
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Komplexe Zahlen

2. Komplexe Zahlen z a ib Definition
von iAddition, Subtraktion, Multiplikation und
Division Einschub binomische Formeln, Wdh DG,
Rechnen mit Wurzeln (teilweise Radizieren, Nenner
rational machen auch mit 3. binomischer
Formel) 3. Konjugiert komplexe ZahlenDefinition
und Lage im KoordinatensystemDie Rollen von i
und iAddition, Subtraktion, Multiplikation und
Division
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Komplexe Zahlen

• 4. Die Darstellung komplexer Zahlen in der
  Gaußschen ZahlenebeneDarstellung der Zahl z als
  Punkt oder Ortsvektor, PolarkoordinatenBetrag
  einer komplexen Zahl, insbesondere Lösungen von
  zn aTrigonometrische Form einer komplexen Zahl
  
• 5. Einschub Beweis der Additionstheoremezur
  Vorbereitung der Multiplikation
  

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Komplexe Zahlen

• 5. Multiplikation und Division in
  PolarkoordinatendarstellungGeometrische Deutung
  als Drehung bzw. Drehstreckung
• 6. Einschub Folgen und Vollständige Induktion
  Die Türme von Hanoi (explizite und rekursive
  Darstellung) Gauss Summe, Summe aller geraden
  Zahlen (ungeraden Zahlen, Quadratzahlen)
  Summenzeichen
• 7. Potenzen komplexer Zahlen Potenzen einer
  Zahl z auf dem Einheitskreis Formel von Moivre
  mit vollständiger Induktion bewiesen
  geometrische Lage von Potenzen z,z2,z3,,zn
  (Kreis, Spirale) 

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Komplexe Zahlen

• 8. Wurzeln n-te Einheitswurzeln und
  Kreisteilungsgleichung zn 1n-te Wurzeln als
  Eckpunkte eines regulären n-Ecks
• 9. Funktionen in C Lineare FunktionenTranslatio
  n f(z) z bDrehstreckung f(z) Allgemein
  f(z) Komplexwertige Folgen
  (Mandelbrotmenge, Fraktale)Physikalische
  AnwendungBeschreibung von Kreisbewegungen,
  Wechselstrom
• 10. Lösungen algebraischer Gleichungen
  (Geschichtliches)

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2000 v. Chr. Babylonier
 
300 v. Chr. Euklid
 
27
 
 
16.Jahrhundert
 
1540 - 1603 F. Vieta
28
 
 
1500 -1557 N. Tartaglia
1501 - 1576 G. Cardano
Klaut diese Formeln ? Cardanosche Formeln
29
 
1522 1565 L. Ferrari
 
1802 -1829 N.H. Abel
 
30
 
1811 - 1832 E. Galois
Formulierte Bedingungen, mit denen sich für jede
gegebene Gleichung beliebigen Grades entscheiden
lässt, ob sie auflösbar ist. Verknüpfte die
Theorie der Gleichungen mit dem Gruppenbegriff?
Galoistheorie Letzte Zusammenfassung in der Nacht
vor seinem tödlichen Duell.
1777 - 1855 C.F. Gauß
 
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
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Komplexe Zahlen

• 11. Der Fundamentalsatz der Algebra (Fassung
  von C.F. Gauß)
• Jede Gleichung der Form
• hat in C mindestens eine Lösung.
• Es gibt viele Beweise für diesen Satz.

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Der Fundamentalsatz der Algebra

• Von einem der Beweise wird mithilfe von Geogebra
  eine Grundidee vermittelt, und zwar am Beispiel
  eines Polynoms vom Grad 3
• Betrachtet werden zunächst die Funktionen g und
  hmit und
  .

35
Der Fundamentalsatz der Algebra

• Ein Kreis Kz um den Ursprung in der z-Ebene
  wird durch g mit w g(z) in einen Kreis Kw um
  den Ursprung in der w-Ebene abgebildet.
• Wird Kz einmal durchlaufen, wird der Bildkreis K
  dreimal durchlaufen.

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Der Fundamentalsatz der Algebra

• Kreis Kz um den Ursprung der z-Ebene mit dem
  Radius r wird durch h mit w h(z) iz (4
  3i) in einen Kreis in der w-Ebene abgebildet, der
  den Mittelpunkt und den Radius
  hat.

37
Der Fundamentalsatz der Algebra

• 2. Die weitere Idee ist nun, dass sich die
  Funktion f mit
  wie im Reellen
• für große lzl r annähernd wie g und
• für sehr kleine lzl r näherungsweise wie h
  verhält.
• Verkleinert man den Radius r des Kreises Kz
  stetig, geht die Bildfigur 1 stetig in die
  Bildfigur 2 über.

38
Der Fundamentalsatz der Algebra

39
Der Fundamentalsatz der Algebra

• Großer Radius r1 Das Bild von Kz bei f ist noch
  eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die den
  Ursprung der w-Ebene dreimal durchläuft.

40
Der Fundamentalsatz der Algebra

• Kleiner Radius r2 Das Bild von Kz bei f
  ist eine geschlossene Kurve in der w-Ebene, die
  den Ursprung der w-Ebene nicht mehr durchläuft.
  

41
Der Fundamentalsatz der Algebra

• Verkleinert man den Radius stetig von r1 nach
  r2, so wird die Bildfigur aus Abb. 3 stetig in
  die Bildfigur aus Abb. 4 deformiert.
• Dann muss es mindestens einen Radius geben, bei
  dem die Bildkurve den Ursprung der w-Ebene
  trifft,
• d.h. aus dem zugehörigen Kreis Kz gibt es eine
  Zahl zo mit f(zo)0

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Folgen ein Proseminar

• Definition von Folgen explizite und rekursive
  Folgen arithmetische und geometrische Folgen
• Nullfolgen
• Eigenschaften von Folgen - Monotonie und
  Beschränktheitbei expliziten und rekursiven
  Folgen (vollständige Induktion)
• Der Grenzwert einer Folge
• Grenzwertsätze (Beweise)
• Der Grenzwert von monotonen und beschränkten
  Folgen(Satz und Umkehrsatz)
• Die Vollständigkeit der reellen Zahlen
  Intervallschachtelung
• Geometrische Reihe
• Eulersche Zahl

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Partielle Integration und Integration durch
Substitution

• (1)
• (2)
• 1. Versuch
• also 0 0 ?????
• (3)
• 1. Versuch
• Wie erhält man
  v?????

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Notenfindung

• Zertifikatsklausur (nicht !!)
• Klausur
• Klausur mit Skript
• Referate (Beweise, schwierige Aufgaben,)
• Seminararbeit
• Planarbeit

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Probleme

1. Notenabgrenzung gegenüber den anderen Wahlfächern
   (Psychologie,)
2. Nachmittagsunterricht / Hausaufgaben
3. Vor allem im 2. Halbjahr längere Unterbrechungen
   (Unterrichtsausfall durch Studienfahrt,
   Konferenz, Feiertag,)
4. Problem der Nachhaltigkeit
5. Unklarheit über Inhalte (Probierphase)
6. Einige Schüler machen nicht weiter in 12 (Abitur
   schon im März, bereits genügend Kurse)

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Ausblick aufs nächste Schuljahr

• Integration durch Partialbruchzerlegung
• Gebrochenrationale, trigonometrische,
  hyperbolische Funktionen
• und eines der Wahlmodule
• Zahlentheorie und Kryptographie
• Potenzreihen, Taylorreihen, Fourierreihen
• Weiterführung der Stochastik
• Elemente der linearen Algebra

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Rückmeldung

• Warum hast Du den Kurs gewählt?
• Waren die Inhalte verständlich?
• Rückwirkungen auf den normalen Matheunterricht
• (1) Themen noch besser verstanden
• (2) Wiederholung der Grundkenntnisse
• (3) Andere Problemlösestrategien kennengelernt
• (4) Anwendung einzelner Inhalte (z.B. Satz von
  Vieta)

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Rückmeldung

• Was hat Dir an diesem Kurs gefallen/nicht
  gefallen
• (1) Gute Atmosphäre
• (2) sich intensiv mit mathematischen Inhalten
  vertieft zu beschäftigen (mehr als
  Standard)
• (3) Kein Druck, dass man gleich alles verstehen
  muss
• (4) Das Proseminar - die Vorträge gingen zu
  schnell
• (5) Unterricht am Nachmittag

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Fazit

• Das Proseminar effektiver gestalten
  oder ganz weglassen
• Aufgaben aus anderen Ländern in anderen Sprachen
• Warum wirst Du den Kurs nicht weiter belegen?Zu
  viele Aktivitäten außerhalb der Schule und
  frühzeitiges Abitur
• Werbung für neue Kurse???