Zavod za matematiku

1
SVEUCILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG
INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE

• Zavod za matematiku
• Uvod u matematicke metode u inženjerstvu
• FRAKTALI
• Voditelji
  
• Dr. sc. Ivica Gusic
• Dr. sc. Miroslav Jerkovic

Studenti Brdar Katarina Dobrinic Mateja Joskic
Robert
2
FrAKTALI

• geometrijski objekti cija je fraktalna dimenzija
  strogo veca od topološke dimenzije
• objekti koji daju jednaku razinu detalja neovisno
  o razlucivosti koju koristimo
• moguce ih je uvecavati beskonacno mnogo puta, a
  da se pri svakom novom povecanju vide neki
  detalji koji prije povecanja nisu bili vidljivi

3
Svojstva fraktala

• 1) Samo-slicnost
• svojstvo objekta da slici sam sebi bez obzira
  koji dio promatrali i koliko ga puta uvecavali
• 2) Fraktalna dimenzija
• vrijednost koja nam daje uvid u to u kojoj mjeri
  neki fraktal ispunjava prostor u kojem se nalazi
• dlog(n)/log(s)
• 3) Oblikovanje iteracijom
• svojstvo da se objekt generira nekim matematickim
  ili geometrijskim postupkom, tako da se u osnovni
  (pocetni) objekt iterativno ugraduju svojstva
  generatora

4
Povijest fraktala

• 17. st. - Leibniz je definirao ponavljanje
  samoslicnosti (uzeo u obzir samo liniju)
• 1872. - Karl Weierstrass je dao primjer funkcije
  kojom je definirao samoslicnost (preapstraktna)
• 1904. - Helge von Koch je dao geometrijsku
  interpretaciju slicne funkcije
• 1915. - Waclaw Sierpinski je kreirao svoj uzorak
  fraktala pomocu trokuta
• 1975. - Benoit Mandelbrot je skovao rijec
  fraktal i definirao njeno znacenje

5
Podjela fraktala

• Podjela prema stupnju samoslicnosti

1. Staticki samoslicni fraktali

1. Kvazi samoslicni fraktali

1. Potpuno samoslicni fraktali

Slika 1. Hilbertova krivulja
Slika 2. Mandelbrotov skup
Slika 3. Perlinov šum
6

• Podjela prema nacinu nastanka
• Slika 4. Slucajni fraktal (munja)

1. Slucajni fraktali

1. Rekurzivni fraktali

1. Iterativni fraktali

7
Primjena

• Slika 5. Planina stvorena koristeci Perlinov šum
• Slika 6. Raslinje stvoreno pomocu fraktala

8
Primjeri fraktala
Maatematicki fraktali
Prirodni fraktali
9
CANTOROV SKUP

•  

10
CANTOROV SKUP
 
 
 
 
 
 
 
11
KOCHOVA KRIVULJA

•  

12
KOCHOVA KRIVULJA
 
 
 
 
 
13
MATEMATICKA KONSTRUKCIJA FrAKTALa

• procedura IFS (iterated function sheme)
• potrebno imati I inicijator G generator m
  slicnosti S koje prevode inicijator u generator
  odnosno
• potom se formira niz skupova En na slijedeci
  nacin
• gdje je F fraktalni skup

14
IFS za Cantorov skup

• inicijator je I0,1
• generator je E1G
• definiramo
• gdje su
• Na kraju Cantorov skup F zadovoljava

15
IFS za KOCHOVU KRIVULJU

• inicijator je I0,1
• generator je E1G
• definiramo
• Na kraju Kochova krivulja F zadovoljava

16
REKURZIJA

• Rekurzija (u matematici i racunarstvu) metoda
  definiranja funkcija u kojima se definirajuca
  funkcija primjenjuje unutar definicije
• Opcenito za opis procesa ponavljanja objekata
  na samoslican nacin
• Rekurzivna definicija definira objekte u
  terminima prethodno definiranih objekata
  definirajuce klase
• Definiranje osnovnih slucajeva definiranje
  pravila za razbijanje složenih slucajeva u
  jednostavne

17
CANTOROV SKUP
Rekurzivni algoritam iteracija podjela
segmenta na tri dijela, uklanjanje središnjeg
dijela
Slika 7. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s
nultom, za Cantorov skup
18
KOCHOVA KRIVULJA
Rekurzivni algoritam iteracija podjela
segmenta na cetiri dijela
Slika 8. Prikaz 4 stupnja iteracije, zajedno s
nultom, za Kochovu krivulju
19
ZAKLJUCAK

• Fraktali su objekti koji daju jednaku razinu
  detalja neovisno o razlucivosti koju koristimo, a
  njihova osnovna svojstva su samo-slicnost,
  fraktalna dimenzija i oblikovanje iteracijom.
• U programu Matlab napravljena su dva programa
  koja prikazuju cetiri stupnja iteracije
  rekurzivnim algoritmom za Kochovu krivulju i
  Cantorov skup.
• Pokretanjem programa inicijator se iterativno
  transformira u generator na temelju svojstava
  slicnosti koja cuvaju oblike, a mijenjaju položaj
  i velicinu kutova

20
LITERATURA

• M. Pašic, Uvod u matematicku teoriju kaosa za
  inženjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (57.-83.)
• http//hr.wikipedia.org/wiki/Fraktal
• http//www.viva-fizika.org/fraktali-ii-deo/
• http//elgrunon.wordpress.com/2007/03/25/kochova-p
  ahuljica-cudoviste-zarobljeno-unutar-savrsenstva/