Fractal Resim Sikistirma

1
Fractal Resim Sikistirma

• Hazirlayan Ar.Gör.Cengiz Güngör
• Haziran-2003

2
Fractal Resimler
Çoklu Küçültme Yapan Fotokopi Makinesi

• Orijinalden ayni anda birden çok, üst üste
  binebilen kopya çogaltmak için dizayn edilmis
  birden fazla mercek içerir.
• Her mercek orijinali belirli miktarda küçültecek
  sekilde yapilmistir.

Örnegimizin Özellikleri 3 mercekli, Her mercek
orijinali 21 oraninda küçültüyor, 1. kopya üst
ortaya, 2. kopya sol alta, 3. kopya sag alta
geliyor.
3
Fractal Resimler
4
Çiktilari Girdi Olarak Verip, Tekrar Tekrar
Kopyalarsak
Sierpinskis Triangle
. . .
5
Küçültme Isleminin Nedeni

• Tüm lensler girdi olarak verilen resmi
  küçültmektedir, bu islem contractive mapping
  olarak bilinir.
• Lenslerin contractive özellikleri yani
  küçültme yapmalari kritik bir önem tasir.
• Contractive özellik tekrarli süreçlerde ilk
  verilen resim ne olursa, final resmin hep ayni
  çikmasini garantiler.
• Non-contractive diye bilenen sürekli
  genisleyen yapida bir islemle bir final resme
  ulasmamiz imkansizdir. Elde edecegimiz sey sonsuz
  boyutta dagilmis bir çiktidir.
• Bu yüzden Fractal resimlerde hep contractive,
  yani küçülten islemler kullanilir. Yukaridaki
  örnegimizde ½ oraninda küçültme vardir.

6
Tekrar Tekrar Kopyalamak
Belli bir tekrardan sonra çiktilar girdi ile ayni
olmaktadir. Bu yüzden kopyalama makinesinin
parametrelerini biliyorsak, sonuçta ne elde
edecegimizi de bilebiliyoruz.
7
Fotokopi Makinemize ait Affine Transformasyonlar

• Her lense ait ayri bir contractive affine
  transformation matrisi vardir
• Bu matris ile küçültme/büyütme (scale), döndürme
  (rotate), egme (share) ve öteleme/yer degistirme
  (translate) islemleri yapilabilmektedir.
• Yani bir (x,y) noktasinin yeni koordinati olan
  (x,y) su sekilde elde edilir (transformasyon
  islemi)
• Örnegimizdeki herbir lens için transformasyon
  matrisleri

8
Döndürmenin Etkileri
9
Fraktal Geometrinin Temelleri

• Yinelemeli Fonksiyon Sistemleri (IFS)

IFS Tree
IFS Fern
10
(No Transcript)
11
(No Transcript)
12
(No Transcript)
13
Fractal Resim Sikistirma

• Fractalleri resim sikistirmak için kullanma
  mantigi 4 temel varsayima dayanmaktadir 1.
  Çogu dogal manzara/resim detay içinde detaylara
  sahiptir. Bu Mandelbrot ile baslayan Fractal
  Devrimi nin bir getirisidir.

2. Iterated Function Systemleri ile dogala
benzeyen resimleri üretelebilir. 3.
Kullanilacak IFS çok kompakt bir biçimde
saklanabilir. Yandaki agaç için 4 transformas-yon
kullanilir, bu da 4 adet matris yani 4 adet
(a,b,c,d,e,f) parametresi demektir. Bitmap resim
olarak 256K dosya seklinde saklamak yerine 176
byte ile saklanabilir. Yani yaklasik 15001
sikistirma ile saklamak mümkündür.4. IFS
orjinal resmi kullanip tersten giderek elde
edilebilir. Ileriki slaytlarda gösterilecektir.
14
Kolaj Teoremi

• Eger w1, w2, ... , wn seklinde tanimli n adet
  contractive affine transformasyon tanimli ise,
  verilen girdiye tüm bu transformasyonlar
  uygulandiginda elde edilen sonuç seklinde
  bilesim olarak ifade edilebilir.
• Baslagiç imajimiza Io , son imajimiza I8 dersek,
• 1. çikti I1 W(Io), ... Son imajimiz ise su
  sekilde ifade edilebilir
• Bu ifadenin anlami W transformasyonlar
  bütününün her uygulanisinda detaylar artarak,
  limit mantiginda oldugu gibi bir sonuç imaja
  dogru yaklasilmaktadir, ve belli bir iterasyondan
  sonra sonuç degismiyor denilebilir.
• Gerçekten de sonuç imajin detaylarina
  bakildiginda kendi benzerleri görülür.

15
Resim Içinde Benzer Parçalar

• Küçük parçalara Range adi verilir.
• Büyük parçalara da Domain adi verilir.

16
Range ve Domainler
Rangeler
Domainler
17
Neden Fractal Resim Sikistirma ?

• Sikistirma islemi, bir blok veriyi bellekte daha
  az yer kaplayacak sekilde tutmayi
  amaçlamaktadir.
• Daha az yer kaplayan veri, bir noktadan digerine
  daha hizli iletilebilecektir.
• JPEG, Wavelet gibi yöntemlerde 95 oraninda
  (baska bir deyisle 201 oraninda) sikistirilan
  resimlerde deformasyon gözlenmekte sikistirma
  orani arttikça bozulma hizla artmaktadir.

18
Neden Fractal Resim Sikistirma ?
19
JPEG Kodlama
20
JPEG Kodlama
21
JPEGde Bozulmalar
22
JPEGde Bozulmalar
23
JPEGte Bozulmalar

• 54   21   15   12   10    9    8   
  6   5.4  3.5    2 (KB)

24
Neden Fractal Resim Sikistirma ?

• Bir kez fractal resim sikistirma isleminden
  geçirilmis bir resim her hangi bir boyutta tekrar
  açilabilmektedir ve ortaya çikan sonuç bir
  yagliboya tablo gibi olmaktadir.

25
Iterasyonlarla Decompress-1
26
Iterasyonlarla Decompress-2
27
Iterasyonlarla Decompress-3
28
Iterasyonlarla Decompress-10
29
Parçalarina Ayirma (Partitioning)

• Sabit boyutlu bloklar
• JPEGte de kullanilan en basit yöntemdir
• Blogun yerini belirtmek için birkaç bit
  kullanilirken, blogun diger detaylari için daha
  fazla bit kullanilabilir.
• Sabit boyutlarla islenen resimde, sikistirma
  orani da olur.

30
Parçalarina Ayirma (Partitioning)

• Quadtree
• En çok bilinen ayirma yöntemidir
• 4 kollu agaç yapisinda, recursive olarak
  kullanilir.
• Istenilen tolerans degeri saglanmi-yorsa, büyük
  rangeler 4 küçük parçaya bölünür.
• Tolerans degerleri küçük olursa, rangeler
  küçülür, sikistirma orani azalir, fakat kalite
  artar.
• Tolerans degerleri yükseltilirse büyük rangler
  kabul görür, sikistirma orani artar, fakat kalite
  azalir

31
Quadtree ile Decoding

• Iterasyon-1 Iterasyon-2

32
Range ve Domain Benzerligi
33
Algoritma Degerlendirme Kriterleri

• Sikistirma orani
• Kodlanmis resmin boyutu / orijinal boyut
• Sikistirma süresi
• Sonucun kalitesi
• PSNR (Peek-to-peek signal-to-noise ratio)

34
RMS Ölçümünde Lineer Iliskiler
35
Islem Karmasikliginin Nedenleri

• Her bir range için tüm domainlerle
  karsilastir-malar yapilir ve minimum hata
  döndüren (yani en yakin benzeri olan) bir domain
  bulunur
• Hazirlik asamasinda
• Her Domain için ?dj ve ?dj2 hesaplanip saklanir.

v
v
X
v
v
v
36
Islem Karmasikliginin Nedenleri

• Islem süresini ?djrj çarpimlarinin adedi
  belirler.
• 512x512 lenna resminde, 32x32 piksel boyutlarina
  sahip 256 adet range için aranacak 12769 adet
  domain var, bu da 3.3 milyar çarpma-toplama
  demektir.
• 16x16 rangeler için 3.8 milyar çarpma-toplama
• 8x8 rangeler için 4.1 milyar çarpma-toplama
• 4x4 rangeler için 4.2 milyar çarpma-toplama
• Bu arayis bir NP-Hard problemdir.

37
Islem Sayisinin Azaltmak için Ortalamaya Göre
Siniflandirma

• Sinif numarasi için
• Bir pikselin degeri blogun ortalamasindan büyükse
  0
• Küçük Esitse 1
• binary kodu verelim.
• 16 adet piksel 16 bitlik sinif numarasi
  olustururlar

38
Islem Sayisinin Azaltmak için Ikili Agaç
Kullanilmasi
39
Agaç Yerine 65536 Elemanli Pointer Dizisi
Kullanilmasi
40
Yöntemin Etkinligi

• Her Rangein benzeri tüm Domainlerle
  karsilastirildiginda (Brute-Force yöntemi)
  Süre 34,53 Sikistirma Orani 22,72 PSNR
  33,743
• Mevcut en etkin Saupe-Fisher algoritmasi ile
  Süre 1,39 Sikistirma Orani 22,11 PSNR
  33,749
• Bizim yöntemimizle (Hizli)
  (Kaliteli) Süre 0,22 1,36 Sikistirma
  Orani 18,17 22,74 PSNR 33,643 33,715