Partie 3 : Propri

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Partie 3 Propriétés linéaires des composites à
microstructure périodique

• 1 Notions spécifiques aux microstructures
  périodiques
• 1.1 Cellule de base
• 1.2 Champs de déformation et de contrainte
  périodiques
• 1.3 Méthode des échelles multiples
• 2 Propriétés élastiques effectives
• 2.1 Loi de comportement effective
• 2.2 Problème local
• 2.3 Exemple 1D
• 3 Méthode des éléments finis
• 4 Exemples

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Propriétés linéaires des composites à
microstructure périodique
Intérêt par rapport à lhomogénéisation des
microstructures aléatoires - présente dans les
composites (UD, tissus, tricots, ), milieux
poreux, mousses, ... - cadre mathématique
rigoureux (méthode des échelles multiples) -
calculs numériques (utilisation de codes de
calculs EF)
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1.1 Choix dune cellule de base périodicité
taille minimale
d ? l

• Définit le milieu par translation le long de
  trois vecteurs
• Propriétés effectives indépendantes de son choix
  (non unicité de son choix)

périodicité
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1.2 Champ de déformation et de contrainte
périodique

• Conditions en déformations périodiques

Rappel conditions homogènes au contour du VER
? déformations périodiques si d ? l
Par exemple, on impose E11 seul
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Déplacements dans les cellules
u1 u10 u1
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• Conditions de déplacement micro périodiques
  (u)
• Contraintes anti-périodiques (s -)
• contraintes S.A.

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1.3 Méthode des échelles multiples
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• Hypothèses en HPP les champs u, e, s sont
• fonctions des 2 variables x et y supposées
  indépendantes
• périodique en y (y-périodique)

• Règles de dérivation

• Champs u, e, s

on montre que
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2. Propriétés élastiques effectives
2.1 Loi de comportement effective

• Équation déquilibre

• Loi de comportement micro

• Loi de comportement effective
• et problème associé

lts0gt
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2.2 Problème local
Sur la cellule de base inconnue u1
À résoudre
Données

• pb délasticité avec déformation résiduelle
  homogène ou de thermo-élasticité
• ? 6 problèmes sur la cellule de base (Eij)
  conditions de périodicité
• problèmes linéaires ? solution dépend
  linéairement des données Eij

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2.3 Exemple 1D Composite 1D
Échelles multiples
Problème global
Équilibres
À résoudre (problème local)
Données
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Composite 1D Résolution
problème local ?
On remarque que par périodicité
?
u1(y)
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2. Résolution par éléments finis
On utilise la linéarité / Eij
Quand ?kh connus
? Skh
? s0(x,y) Skh (y) Ekh
? S(x) lt Skh(y)gt Ekh
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Les composites à fibres longues

• Pas de dépendance en y3

• On peut décomposer ces déformations en 2
  catégories

3 problèmes plans
2 problèmes anti-plans
le même tourné de p/2
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Composites à fibres longues, à matériaux
constitutifs isotropes (l(y), m(y)), on montre
qu on doit résoudre 4 pbs plans 2 pbs de type
laplacien

• 1ers pbs plans ?ab
• données Eab (a,b1,2)

pbs plans avec 3 déformations résiduelles ? ?ab

• 2nds pbs plans ?33
• donnée E33

solution évidente pour les composites usuels (Ef
gtgt Em) ? ?33

• pbs anti-plans ?a3
• données Ea3

similaire à un pb de thermique (de type
laplacien) ? ?a3
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4. Exemples
4.1 Matériau composite isotrope de type Al/SiCp à
renforts sphériques
Module dYoung ?33
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Module dYoung
ur0
uz0
Conditions aux limites périodiques - bords
latéral et supérieur restent droits, - sur les
deux autres bords conditions de déplacement nul
uzu3
Chargement imposé sur le bord supérieur
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Module dYoung pour un matériau composite
isotrope de type Al/SiCp (renforts sphériques)
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4.2 Composite organique Verre/Epoxyde à fibres
longues (Léné, 1984)
matériaux constitutifs isotropes l(y), m(y)
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Modules dYoung pour un Verre/Epoxyde à fibres
longues
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Modules de cisaillement pour un Verre/Epoxyde à
fibres longues
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Comparaison avec lhomogénéisation de type
désordre parfait

• Les matériaux étudiés ne sont pas les mêmes en
  principe
• Ici bonne prise en compte des hétérogénéités
  locales de s ou u
• La solution par MEF est relativement lourde ici
  / modèles de type self-consistent
• Il existe dautres mèthodes (Transformées de
  Fourier rapides)
• Utilisation outil numérique -gt traitement des
  comportements endommagés, plasticité, ...