Referat

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Geometrie




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6. Ebene Geometrie




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Ein Punkt ist, was keinen Teil hat. Euklid
(325 - 275) Gerade
analytisch y mx c y(0) c y(1)
y(0) (m?1 c) (m?0 c) m
5
Parallelen
6
Lot oder Normale
2p 360 1 p/180
7
Strahlensätze
Thales von Milet (624 - 545)

8
Satz des Thales
Thales von Milet (624 - 545)
Alle Winkel im Halbkreis sind rechte Winkel.
9
Winkelsumme im Dreieck
Leonhard Euler (1707 - 1783)
10
Satz des Pythagoras
Pythagoras (570 - 500)
c2 4 ab/2 (a - b)2 a2 b2
Sehet !
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a2 b2 c2
ma2 mb2 mc2
a
b
c
12
a2 b2 c2
ma2 mb2 mc2
13
a2 b2 c2
ma2 mb2 mc2
14
a2 b2 c2
ma2 mb2 mc2
15
Projektive Geometrie
Girard Desargues (1593 - 1662)
Alle Parallelen streben zu einem Punkt der
Unendlichkeitslinie.
16
(No Transcript)
17
Trinity College, Cambridge
18
Pietro Perugino Fresco at the Sistine Chapel,
1482
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Ordnet man den geometrischen Punkten Zahlen
(Koordinaten) zu, so gelangt man zur analytischen
Geometrie, begründet von Pierre de
Fermat René Descartes (1601 - 1665) (1596 -
1650) Abszisse, Ordinate. Darstellung von
Funktionen anhand ihrer Graphen.
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7. Trigonometrie




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Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen
?/2 90
Kathete
Hypotenuse
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(No Transcript)
23
(No Transcript)
24
(No Transcript)
25
8. Vektoren




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(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
A B B A (A B) C A (B C) A
0 A 0 A 0
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A B 0 B - A A (-B) A - B A - B
? B A (A - B) - C ? A - (B - C)
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8.2 Skalarmultiplikation lA
lA l

lA Al l(mA) (lm)A lmA l(A B) lA
lB (l m)A lA mA
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p/4
8.2 Schreiben Sie die Strecken als Vektoren A, B,
C, D. Berechnen Sie daraus L und L.
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8.3 Einheitsvektor
A A
A ? ?
koordinatenfreie Darstellung
X besitzt dieselbe Richtung wie Y
X lY
l gt 0
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8.4 Skalarprodukt (inneres Produkt)
?3 ? ?3 ? ?
A ? B ? C ist nicht definiert (A ? B) ? C ? A ?
(B ? C) kein neutrales Element 1 mit A ? 1 A
kein Inverses A-1 mit A ? A-1 1 A / B ist
nicht definiert. Aus C A / B würde C ? B A
folgen.
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A ? B B ? A A ? (B C) (A ? B) (A ? C)
A
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A - B
A
j
B
Zwei Vektoren schließen einen Winkel j mit 0 j
p ein.
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AB ABcosj
37
(No Transcript)
38
A ? B 0 A ? B A?B A ? B -A?B
B
B
B
A
39
(No Transcript)
40
(No Transcript)
41
(No Transcript)
42
8.5 a) Berechnen Sie die Vektoren A, B, C, D,
die Längen der Kanten und die Winkel an der
Spitze der Pyramide. Die Spitze liegt 60
Einheiten höher als die Basis A, B, C, D. b)
Legen Sie den Punkt B 20 Einheiten tiefer und den
Punkt D 30 Einheiten höher und berechnen Sie
alles neu.
43
8.5 Kreuzprodukt (äußeres Produkt)
?3 ? ?3 ? ?3
Zyklische Vertauschung der Indizes x ? y ? z ? x
... bzw. 1 ? 2 ? 3 ? 1 ...
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A ? 0 0 0 ? A Das Kreuzprodukt ist
antikommutativ A ? B -(B ? A) A ? (B C)
(A ? B) (A ? C)
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A ? B A?B?sinj
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen
Faktoren
Rechte-Hand-Regel
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A ? B A?B?sinj
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen
Faktoren
Rechte-Hand-Regel
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A ? 0 0 0 ? A Das Kreuzprodukt ist
antikommutativ A ? B -(B ? A) A ? (B C)
(A ? B) (A ? C)
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ
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Das Spatprodukt (A ? B) ? C kombiniert
Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Volumen eines
aus drei Vektoren gebildeten Spates oder
Parallelepipeds. Von sechs Parallelogrammflächen
begrenztes Prisma.
(B ? C) ? A A ? (B ? C)
49
8.6 Parallelverschiebung
50
8.6 Parallelverschiebung
0
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8.7 Polarkoordinaten
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9.1 Geradengleichungen Jede Gerade besitzt zwei
Richtungen. G(A0) P ? ?3 P lA0 mit l
? ? Anstelle eines Einheitsvektors
A0 kann man eben so gut jeden beliebigen Vektor A
? 0 verwenden.
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G P P lA B mit l ? ? Durch zwei
Punkte des ?3 verläuft genau eine Gerade. G'
P P l(A - B) B mit l ? ?

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P lA B x lax bx y lay
by z laz bz




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9.3 Ebenengleichungen Eine Ebene, die den
Ursprung enthält, wird durch zwei Vektoren A ? 0
und B ? 0, aufgespannt, sofern die Vektoren nicht
zu ein und derselben Geraden gehören, sofern also
?l ? ? A ? lB. Die Ebene ist dann gegeben
durch E(A, B) P P lA mB mit l, m ?
? Ebene, die drei beliebige Punkte A, B,
C enthält E(A, B, C) P P l(A - C) m(B
- C) C mit m, l ? ?




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