Referat

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13. Transformationen mit Matrizen




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Manche geometrischen Probleme lassen sich
leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem
"geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert
oder abbildet. Offensichtlich werden lineare
Abbildungen durch Matrizen bewirkt.
Sei A eine m?n Matrix und X eine n?1 Matrix, d.h.
ein Vektor mit n Komponenten, so führt die
Abbildung fA ?n ? ?m Y fA(X) A ? X auf
einen Vektor Y mit m Komponenten. Die
Umkehrabbildung ergibt sich mit Hilfe der
inversen Matrix A-1 (falls diese existiert) A-1
? Y fA-1(Y) X.
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Manche geometrischen Probleme lassen sich
leichter lösen, wenn man das Koordinatensystem
"geeignet" wählt, d.h. die Vektoren transformiert
oder abbildet. Offensichtlich werden lineare
Abbildungen durch Matrizen bewirkt.
Sei A eine m?n Matrix und X eine n?1 Matrix, d.h.
ein Vektor mit n Komponenten, so führt die
Abbildung fA ?n ? ?m Y fA(X) A ? X auf
einen Vektor Y mit m Komponenten.
surjektiv, nicht injektiv
injektiv, nicht surjektiv
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• 13.1 Drehungen
• entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel j um Z0
  W0
• ?(j) U0, V0, W0
• ? X0, Y0, Z0 ?(0)
• U0(0) X0

U0(j)
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• 13.1 Drehungen
• entgegen dem Uhrzeigersinn um den Winkel j um Z0
  W0
• ?(j) U0, V0, W0
• ? X0, Y0, Z0 ?(0)
• U0(0) X0

U0(j)
V0(j)
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Die Koordinaten eines im gedrehten System ?(j)
festen Vektors A sind in ?
A(j) D ? A(0)
?

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Um den Übergang von ? nach ?(j) zu finden,
benötigen wir die inverse Matrix D-1.
D I3
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D-1 DT Solche Matrizen heißen
orthogonale Matrizen. Denselben Effekt erhält man
durch Umkehrung der Drehrichtung, d. h. durch
Ersetzen von j durch (-j).
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13.4 Lösungsmengen irregulärer linearer
Gleichungssysteme A ? X 0 homogen A ?
X B mit B ? 0 inhomogen
Sei A ? C B Alle anderen Lösungen C' sind dann
von der Gestalt C' C C wobei A ? C
0 A ? (C C) A ? C A ? C B
0 B
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Es sei C' eine beliebige und C die bekannte
Lösung, dann ist A ? (C' - C) A ? C' - A ?
C B - B 0 Also ist
(C' - C) C ? C' C C ? Jedes homogene
Gleichungssystem besitzt mindestens eine Lösung,
nämlich die triviale Lösung C 0. Aber nicht
jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine
Lösung. A ? X B hat genau eine (bzw. mehrere)
Lösung(en) ? A ? X 0 hat genau eine (bzw.
mehrere) Lösung(en). A ? X 0 hat nur eine
Lösung ? A ? X B hat eine oder keine Lösung.
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Definition. Die Menge aller Vektoren aus ?n, die
auf den Null-vektor abgebildet werden, also die
Lösungsmenge des homo-genen Gleichungssystems,
nennen wir Kern der Abbildung Kern (fA) X ?
?n fA(X) 0 Kern (fA) ist ein Unterraum des
Definitionsbereichs, also des n-dimensionalen
Vektorraums, denn Addition zweier Vektoren aus
Kern (fA) sowie Multiplikation mit einem Skalar
ergibt wieder einen Vektor aus Kern (fA). A ? X
0 und A ? X' 0 ? A ? (X X') 0 A ? X
0 ? A ? lX l(A ? X) l0 0
?n
?m
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Definition. Die Menge aller Vektoren aus ?m, die
Bilder von Vektoren X aus ?n sind, nennen wir
Bild der Abbildung Bild (fA) B ? ?m B
fA(X) Bild (fA) ist ein Unterraum des
m-dimensionalen Bildraums. Sind B und B' Bilder,
d. h. A ? X B und A ? X' B', so ist auch B
B' ein Bild, nämlich von X X', das mit X und X'
auch zum Urbildraum gehört. A ? X B und A ? X'
B' ? A ? (X X') B B' A ? X B ? A
? lX l(A ? X) lB
?n
?m
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Definition. Die Dimension des Kerns dim (Kern
(fA)) heißt Defekt der Abbildung. Definition. Die
Dimension des Bildes dim (Bild (fA)) heißt Rang
der Abbildung.
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Abbildungen mit der m?n Matrix A (1) Die
Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems A
? X 0 ist Kern (fA). Das homogene
Gleichungssystems besitzt nur eine Lösung ?
Defekt (fA) 0. (2) Das inhomogene
Gleichungssystem A ? X B besitzt mindestens
eine Lösung C ? B ? Bild (fA). (3) Sei C eine
solche Lösung, dann ist die gesamte Lösungsmenge
von A ? X B die Menge C Kern (fA) . A ? X
B hat dann genau eine Lösung ? Defekt (fA)
0. (4) Defekt (fA) Rang (fA) dim (?n) n.
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