Referat

1

XII Infinit
2
Fast alle heute lebenden Mathematiker akzeptieren
Cantors transfinite Mengenlehre als Grundlage der
Mathematik.
David Hilbert (1862 - 1943) Aus dem Paradies, das
Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand
vertreiben können. ... seine Theorie der
transfiniten Zahlen diese erscheint mir als die
bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes
und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein
verstandesmäßiger menschlicher Tätigkeit.
3
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) ... so
protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch
einer unendlichen Größe als einer Vollendeten,
welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist.
4
Leopold Kronecker (1823 - 1891) Lehrer Cantors,
bezeichnete ihn später als "Verderber der Jugend!"
Henri Poincaré (1854 - 1912) "Es gibt kein aktual
Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen
und haben sich in Widersprüche verwickelt."
"Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre
als eine Krankheit betrachten, von der man sich
erholt hat."
5
Luitzen E. J. Brouwer (1881 - 1966)
De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet.
(Dissertation, 1907)
6
Hermann Weyl (1885 - 1955) Nachfolger Hilberts in
Göttingen Die Logik wurde an endlichen Mengen
ausgebildet. Ohne jede Rechtfertigung wird sie
nun auf unendliche Mengen angewandt. Das ist der
Sündenfall der Mengenlehre.
7
Ludwig Wittgenstein (1889 - 1951)
It isn't just impossible "for us men" to run
through the natural numbers one by one it's
impossible, it means nothing. You cant talk
about all numbers, because there's no such thing
as all numbers. Set theory is wrong because it
apparently presupposes a symbolism which doesn't
exist instead of one that does exist (is alone
possible). It builds on a fictitious symbolism,
therefore on nonsense.
8
Paul Lorenzen (1915 - 1994) ... entsteht die
christliche Auffassung Gottes als aktualer
Unendlichkeit. In der Renaissance, besonders bei
Bruno, überträgt sich die aktuale Unendlichkeit
von Gott auf die Welt.
Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen
Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese
Herrschaft eines Gedankens einer aktualen
Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen)
Physik zu Ende gegangen ist. Befremdlich wirkt
dem gegenüber die Einbeziehung des
Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die
explizit erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts
mit G. Cantor begann. Im geistigen Gesamtbilde
unseres Jahrhunderts wirkt das aktual Unendliche
geradezu anachronistisch.
9
Abraham Robinson (1918 - 1974), Schüler
Fraenkels, Begründer der Non-Standard-Analysis
"Infinite totalities do not exist in any sense of
the word (i.e., either really or ideally). More
precisely, any mention, or purported mention, of
infinite totalities is, literally, meaningless."
Walter Felscher (1931 -2000), Autor eines
mehrbändigen Lehrbuches zur ML "Was hingegen die
Anwendungen der transfiniten Zahlen in anderen
mathematischen Disziplinen anlangt, so haben sich
die Hoffnungen, welche man zunächst darauf
setzte, nur in wenigen, speziellen Fällen
erfüllt..."
10
Solomon Feferman (1928)
Das aktual Unendliche wird für die Mathematik der
wirklichen Welt nicht gebraucht. At least to
that extent the question "Is Cantor necessary?"
is answered with a resounding "no".
11
Edward Nelson (1932)
Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie
gemacht wurde wenn etwas Neues gemacht wird,
dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl
aus einer vorher schon existierenden Kollektion.
Wenn ich die Aufgabe stelle
37460225182244100253734521345623457115604427833
52328763514530238412154321543225430143254061105
und Sie der erste sind, der sie l?öst, dann haben
Sie eine Zahl erschaffen, die vorher nicht
existierte.
12
Edward Nelson (1932)
Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie
gemacht wurde wenn etwas Neues gemacht wird,
dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl
aus einer vorher schon existierenden Kollektion.
Wenn ich die Aufgabe stelle
37460225182244100253734521345623457115604427833
52328763514530238412154321543225430143254061105
8978898869677433866588884288884888725885848893
8
Pech gehabt. Diese existierte schon.
13
William Thurston (1946-2012) Topologe, Träger der
Fields-Medaille
Auf ihrem tiefsten Grunde sind die Fundamente der
Mathematik viel wackliger als die Mathematik, die
wir betreiben. Die meisten Mathematiker
akzeptieren Prinzipien, die als Trugbilder
bekannt sind. Es ist zum Beispiel bewiesen, dass
es unmöglich ist, eine Wohlordnung der reellen
Zahlen zu konstruieren oder auch nur zu
definieren. Es gibt beträchtliche Evidenz dafür
(aber keinen Beweis) dass wir mit diesen
Trugbildern durchkommen, ohne uns zu verfangen,
aber das macht sie nicht richtig. Mengentheoretike
r konstruieren viele verschiedene und sich
gegenseitig ausschließende mathematische
Universen. Das erweckt sehr wenig Vertrauen,
dass eines von ihnen die richtige oder die
natürliche Wahl wäre.
14
Philosophisch erfordert ZFC den vagen Glauben an
ein mystisches Universum von Mengen, das
unphysikalisch und zeitlos existieren müsste (und
doch dürften irgendwie "nicht alle Mengen auf
einmal da sein", um die klassischen Paradoxien zu
vermeiden).
Nik Weaver (1969)
15
Our axioms, if interpreted as meaningful
statements, necessarily presuppose a kind of
Platonism, which cannot satisfy any critical mind
and which does not even produce the conviction
that they are consistent.
Kurt Gödel (1906 - 1978)
16
Doron Zeilberger ( 1950) Herren Geheimrat
Hilbert und Prof. Dr. Cantor
Your "Paradise is a Paradise of Fools, and
besides feels more like Hell.
every statement that starts " for every integer n
" is completely meaningless.
17
Es gibt überendliche Zahlen von unterschiedlicher
Größe.
Es gibt inkonsistente Mengen Die Menge aller
Mengen müsste ihre Potenzmenge enthalten und
damit mächtiger sein als sie ist.
Bertrand Russell (l872 - 1970)
Georg Cantor 1845 - 1918
Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten (Barbier).
18
Löwenheim-Skolem-Paradoxon
Leopold Löwenheim (1878 - 1957)
Thoralf Albert Skolem (1887 - 1963)
Jede Theorie wie die Mengenlehre besitzt ein
abzählbares Modell, sofern sie überhaupt ein
Modell besitzt, d.h. konsistent ist.
19
Das Paradoxon von Banach-Tarski
Stefan Banach (1892 - 1945)
Alfred Tarski (1902 - 1983)
20
We are, like Poincaré and Weyl, puzzled by how
mathematicians can accept and publish such
results why do they not see in this a blatant
contradiction which invalidates the reasoning
they are using? Presumably, the sphere paradox
and the Russell Barber paradox have similar
explanations one is trying to define weird sets
with self-contradictory properties, so of course,
from that mess it will be possible to deduce any
absurd proposition we please.
Edwin T. Jaynes (1922 1998)
The Banach-Tarski paradox amounts to an
inconsistency proof
Émile Borel (1871 1956)
21
Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind
abzählbar.
Es gibt nur abzählbar viele Namen.
0 1 00 01 10 11 000 Jede Zahl, die wir
individuell bezeichnen, also identifizieren und
in der Mathematik verwenden können, gehört zu
einer abzählbaren Menge.
22
Die konstruierbaren Zahlen wie e, p oder L sind
abzählbar.
Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach
eine endliche, d.h. sie erklärt den zu
bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl
bereits bekannter Begriffe. "Unendliche
Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit
verlaufen) sind Undinge. Wäre der Satz, daß alle
"endlich definierbaren" reellen Zahlen einen
Inbegriff von der Mächtigkeit ?0 ausmachen,
richtig, so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum
sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist.
Georg Cantor (1845 - 1918)
23
Hermann Weyl (1885 - 1955)
Die möglichen Kombinationen endlichvieler
Buchstaben bilden eine abzählbare Menge, und da
jede bestimmte reelle Zahl sich durch
endlichviele Worte definieren lassen muß, kann es
nur abzählbar viele reelle Zahlen geben - im
Widerspruch mit Cantors klassischem Theorem und
dessen Beweis.
24
It is this absolute platonism which has been
shown untenable by the antinomies.
If we pursue the thought that each real number is
defined by an arithmetical law, the idea of the
totality of real numbers is no longer
indispensable.
Paul Bernays (1888 - 1977)
25
Definiert man die reellen Zahlen in einem streng
formalen System, in dem nur endliche Herleitungen
und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden,
so lassen sich diese reellen Zahlen gewiß
abzählen, weil ja die Formeln und die
Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven
Erklärungen abzählbar sind.
Kurt Schütte (1909 - 1998)
26
Jede wohlgeordnete Menge besitzt eine
Normaldarstellung mit indizierten Elementen.
Es gibt nur abzählbar viele Indizes. Es gibt
überabzählbare Mengen. Jede Menge kann
wohlgeordnet werden.
27
0,1 10-1 0,11 10-1 10-2 0,111 10-1 10-2
10-3
Diese Folge enthält als Exponenten alle
natürlichen Zahlen in endlichen
Anfangsabschnitten.
1 1, 2
1, 2, 3 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4, 5

28
Wenn À0 Zahlen existieren, so sind sie in der
letzten Spalte enthalten.
Sind À0 Zahlen in der letzten Spalte enthalten,
so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten.
Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der
beiden enthält.
1 1, 2
1, 2, 3 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4, 5

29
Die Menge der geraden Zahlen ist abzählbar
unendlich À0
30
À0
2, 4, 6, , g
lt 2, 4, 6,
lt g
31
À0
2, 4, 6, , g
lt 2, 4, 6,
lt g
Mengen gerader Zahlen
Jede Menge positiver gerader Zahlen enthält
Zahlen, die größer als die Kardinalzahl der Menge
sind.
2 2, 4 2, 4, 6 2, 4, 6, 8 2, 4, 6, 8,
10 2, 4, 6, 8, 10, 12 ...
32
Cantors "paradise" as well as all modern
axiomatic set theory AST is based on the
(self-contradictory) concept of actual infinity.
Cantor emphasized plainly and constantly that all
transfinite objects of his set theory are based
on the actual infinity. Modern AST-people try
to persuade us to believe that the AST does not
use actual infinity.
A. Zenkin (1937 2006)
It is an intentional and blatant lie, since if
infinite sets are potential, then the
uncountability of the continuum becomes
unprovable.
33
n r(n) ___________________
1 0,000111199999... 2 0,123456789123...
3 0,555555555555... 4 0,789789789789...
5 0,010000000000... ... ...
34
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein
Unmöglichkeitsbeweis
n r(n) 00000___________________ 0000001 0,000
... 0000002 0,1000... 0000003 0,11000... 0000004 0
,111000... 0000005 0,1111000... ... ... ...
35
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein
Unmöglichkeitsbeweis
n r(n) 00000___________________ 0000001 0,000
... 0000002 0,1000... 0000003 0,11000... 0000004 0
,111000... 0000005 0,1111000... ... ... ...
36
Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein
Unmöglichkeitsbeweis
n r(n) 00000___________________ 0000001 0,100
... 0000002 0,1100... 0000003 0,11100... 0000004 0
,111100... 0000005 0,1111100... ... ... ...
Ohne aktuale Vollendung der Zahl 1/9 0,111 ist
die Diagonalzahl in der Liste.
37
Percy W. Bridgman (18821961) Nobelpreisträger
The ordinary diagonal Verfahren I believe to
involve a patent confusion of the program and
object aspects of the decimal fraction, which
must be apparent to any who imagines himself
actually carrying out the operations demanded in
the proof.
In fact, I find it difficult to understand how
such a situation should have been capable of
persisting in mathematics.
38
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.3476183
39
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.34761831
40
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311
41
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321
42
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321876760760
43
Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen
aus dem Einheitsintervall ist möglich Alle
endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.
0.347618311312321876760760
Jede findet sich unendlich oft im Rest der Liste.
dn findet sich unendlich oft im Rest der Liste.
44
- (-) (- -) (- - - -) ...
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8
Bis zur n-ten Klammer werden 2n Stammbrüche
benötigt.
À0 Klammern, 2À0 Stammbrüche
45
Wohlordnung der rationalen Zahlen q I 0 lt q lt 1
-, -, -, -, -, -, -, -, ...
1 1 1 2 1 1 2 3
2 3 4 3 5 6 5 4
Aktual unendlich viele Transpositionen ?
Umordnung der Größe nach wäre möglich.
46
The Life and Opinions of Tristram Shandy,
Gentleman
Laurence Sterne (1713-1768)
Adolf Abraham Fraenkel (1891 1965)
Bekannt ist so die Geschichte von Tristram
Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu
schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur
Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein
volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit
seiner Biographie niemals fertig, wenn er so
fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben
(etwa abzählbar unendlichviele Jahre), so würde
seine Biographie fertig, es würde dann nämlich
jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich
eine Schilderung bekommen.
Bekannt ist so die Geschichte von Tristram
Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu
schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur
Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein
volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit
seiner Biographie niemals fertig, wenn er so
fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben
(etwa abzählbar unendlichviele Jahre), so würde
seine Biographie fertig.
47
1
2
4
5
3
6
48
1
2
5
1
5
2
3
4
4
6
3
49
1
8
2
7
3
6
4
5
50
2 1 2
1 4 3 2 1 4
3 2 1 6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1
8 7 6 5 4 3 2 1 . . . . . . . . .
. . .

• 0 (Mengenlehre)
• ? ? (Mathematik)

51
1
8
2
7
3
6
4
5

• ? (Mengenlehre)
• ? ? (Mathematik)

52
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
53
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
ein (0, 1 aus 1/1
54
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
ein (0, 1 aus 1/1
ein (1, 2 aus 1/2
55
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
ein (0, 1 aus 1/1
ein (1, 2 aus 1/2
ein (2, 3 aus 2/1
56
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
ein (0, 1 aus 1/1
ein (1, 2 aus 1/2
ein (2, 3 aus 2/1
und so weiter
Es sind immer unendlich viele Zahlen im
Zwischenspeicher!
57
Die Abzählung der rationalen Zahlen ist eine
Supertask
0 1 2 3 4 5 6
ein (0, 1 aus 1/1
ein (1, 2 aus 1/2
ein (2, 3 aus 2/1
und so weiter
Sogar die Zahl der Intervalle ohne Strich wächst
ständig!
58
0,737342483465448512090030345234985349853493857123
554 0,737342483465448512090030345234985349854493
857123554
59
0,737342483465448512090030345234985349853493857123
554 0,737342483465448512090030345234985349854493
857123554
60
0,737342483465448512090030345234985349853493857123
554 0,7373424834654485120900303452349853498540000
00000000 0,73734248346544851209003034523498534985
4493857123554
Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt stets
eine rationale.
II ? IÐI
61
Dezimaldarstellungen von Zahlen 742,25 7 4
2 , 2 5 102 101 100 , 10-1
10-2 Binärdarstellungen von Zahlen 22 21 20
, 2-1 2-2 1 0 1 4
0 1 5 1 1 0 , 1 4 2
0 1/2 6,5 0 , 1 1 1/2
1/4 0,75 0,111111 ... 1/2
1/4 1/8 ... 1 0,010101...
1/4 1/16 1/64 ... 1/3
62
Der binäre Baum
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
63
Der binäre Baum
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
64
Der binäre Baum
0,
2
0
1
1
3
4
5
6
0 1 0 1
7
11
8
12
13
14
9
10
0 1 0 1 0 1 0 1
15
16
65
Die Elementarzelle
66
Die Elementarzelle
2
- 1
- 1
0
67
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
68
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
0
0
69
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1
0 1
70
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 1
0 0 1
71
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 0 1
72
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 1 0 1
73
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 1 0 1
74
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 1 0 1
75
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
76
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
77
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
78
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
79
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
80
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
81
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
82
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
0
1
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
83
Die Pfadkonstruktion des binären Baums
0,
Jeder einzelne konstruierte Pfad bedeckt
unendlich viele Knoten. Nach jedem
Konstruktionsschritt ist das Verhältnis Anza
hl der Pfade Anzahl der Knoten
0
1
0
0 1 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
84
Wie viele natürliche Zahlen gibt es?
lt 1080 Protonen im Weltall
12345678901234567890123456789012345678901234567890
123456789012345678901234567890
10100000
Wo existieren mit 1080 Zeichen nicht darstellbare
Zahlen?
85
Verwirklichung des aktual Unendlichen
???

• Gott
• Natur
• Mathematik

Georg Cantor 1845 - 1918
86

• Es gibt keine verschiedenen Unendlichkeiten.
• Es gibt keine vollendete Unendlichkeit.
• Das Unendliche ist Richtung, nicht Betrag.
• 1 2 2

À0 lt 2À0 À1?, À2, ...
À0
John Wallis (1616 - 1703)
87

88
Ende