Matematika

1
Matematika összefoglaló

• A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése,
• gyakorló feladatok
• Összeállította
• Deák Ottó mestertanár
• Általános- és Felsogeodézia Tanszék

2
A bemutató vázlata

• Bemutatkozás, a konzultáció célja
• Tapasztalatok a matematika középiskolai
  oktatásáról
• A középiskolai tananyag vázlatos és gyors
  áttekintés
• A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása
• További mintapéldák megoldása
• Tanácsok a matematika tanulásához

3
Bemutatkozás

• Deák Ottó mestertanár, BME Építomérnöki Kar,
  Általános- és Felsogeodézia Tanszék
• ELTE TTK Matematikus diploma
• 37 év egyetemi oktatói tapasztalat
• Kb. 40 év matematika korrepetálás
  középiskolásoknak
• Az I. évf. 10. tankör osztályfonöke a 2014/2015.
  tanévben
• Letöltés http//www.agt.bme.hu/staff_h/deak/Matek
  _osszefoglalo.ppt

4
Tapasztalatok I.

• A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy
• A felvételin dönto jelentosége van
• Minden muszaki szaktárgy rá épül
• Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít
• Az egyik elso szuro a mérnökké válás folyamatában
• Szerepe és súlya a középiskolában
• Megnövekedett tananyag
• Csökkeno követelmények
• Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában

5
Tapasztalatok II.

• Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi
  oktatásban
• egyre alacsonyabb szintu matematika-ismeretekkel
  érkeznek a hallgatók az I. évre
• a lexikális ismeretek nagy része hiányzik (benne
  van a függvény-táblában!)
• gyenge számolási készség (számológépek
  használata)
• a feladat-megoldási rutin hiánya (idohiány, más
  elfoglaltság miatt)
• a felvételinél nem követelmény az emelt szintu
  matematika érettségi.

6
Következmények

• Az elobb felsorolt tényezok hatása az egyetemi
  oktatásra
• az alapozó tárgyakban magas bukási arány
• az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is
  tanítani kell
• a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy
  lemorzsolódás (pl. geodézia).
• Védekezési mechanizmusok az egyetem részérol
• matematika-felméro íratása
• felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás
  anyag megtanítása).

7
Matematika összefoglaló

• Tematikus összeállítás
• A középiskolai tananyag fontos fejezetei
• Alapfogalmak, definíciók, fobb képletek, fontos
  tételek
• Nem pótolja a tankönyveket!
• Szerepe
• gondolatébresztés,
• hiány-feltárás,
• figyelmeztetés.

8
Matematikai jelölések az anyagban

• Szimbolikus jelölések az anyagban
• a megadott értékek közelítoen egyenloek
• minden olyan elem, amely
• létezik olyan elem, amely
• az elozoekbol következik
• eleme a magadott halmaznak
• nem eleme a halmaznak
• a megadott halmaz részhalmaza (valódi)
• halmazok egyesítése (uniója)
• halmazok közös része (metszete)
• a megadott elemek összege

9
Algebrai kifejezések I.

• Algebrai kifejezés fogalma, elemei
• Számok
• Változók
• Paraméterek
• Muveleti jelek
• Zárójelek
• Számok a kifejezésekben, számítási élesség
• Természetes számok
• Egész számok
• Racionális számok
• Valós számok (irracionális szám fogalmával)

10
Algebrai kifejezések II.

• Muveletek algebrai kifejezésekkel
• Zárójelek szerepe, felbontása
• Racionális kifejezések, muveletek törtekkel
• Kiemelés, összevonás, egynemu kifejezés fogalma
• Fontosabb algebrai azonosságok

11
Hatványozás

• Ismételt szorzás, egyszerubb jelölés
• Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése

12
Gyökvonás

• Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma
• Muveletek gyökös kifejezésekkel

13
Törtek gyöktelenítése

• Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik

14
Oszthatóság I.

• Az egész számok körében értelmezzük
• Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma
• Maradék nélküli és maradékos osztás
• Összetett és prím szám
• Az algebra alaptétele
• Minden egész szám (sorrendtol eltekintve)
  egyértelmuen bontható fel prímszámok szorzatára
• Prímfelbontás eloállítása
• Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

15
Oszthatóság II.

• Oszthatósági szabályok
• 2 páros számok
• 3 számjegyek összege osztható 3-mal
• 4 utolsó két jegy osztható 4-gyel
• 5 utolsó számjegy 0 vagy 5
• 6 páros és osztható 3-mal
• 7 3-as csoportok váltakozó elojelu összege
  osztható 7-tel
• 8 utolsó három jegye osztható 8-cal
• 9 számjegyek összege osztható 9-cel
• 10 utolsó jegye 0
• 11 páros helyiérték összege páratlan
  helyiérték összege osztható 11-gyel

16
Függvények I.

• Kapcsolat 2 halmaz elemei között
• Általában számhalmazok közötti muvelet
• Alaphalmaz, képhalmaz
• Értelmezési tartomány
• Df ? A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f
  értelmezheto
• Értékkészlet
• Rf ?B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f
  az Rf-beli pontokban felvesz értékként
• Függvény inverze (megfordítása)

17
Függvények II.

• Függvények tulajdonságai
• Monotonitás
• Szigorúan monoton növo, monoton növo
• Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó
• Korlátosság
• Felülrol korlátos
• Alulról korlátos
• Korlátos

18
Függvények III.

• Függvények tulajdonságai
• Paritás
• Páros
• Páratlan
• Határérték
• Folytonosság
• Az függvény folytonos az
  pontban, ha
  ,
• Periodikusság

19
Függvények IV.

• Függvények megjelenítése, grafikonja
• Függvények megadása
• táblázattal
• kifejezéssel
• egyenlettel
• grafikonnal

20
Függvények V.

• Függvények transzformációja
• f(?x) - széthúzás ?-szorosra az X tengely
  irányába
• f(xa) - eltolás balra a-val az X tengely
  irányába
• cf(x) - széthúzás c-szeresre az Y tengely
  irányába
• f(x) t - eltolás t-vel az Y tengely irányába

21
Elemi függvények

• Tulajdonságok ismerete a korábbi fogalmak
  értelmezése az adott függvényre
• Fontosabb függvények
• Konstans függvény
• Lineáris függvény
• Abszolutérték függvény
• Másodfokú (parabola) függvény
• Egészrész, törtrész függvény
• Lineáris törtfüggvény
• Logaritmikus, exponenciális függvények
• Trigonometrikus függvények.

22
Elsofokú (lineáris) egyenletek

• Olyan algebrai kifejezések, amelyeket jel
  kapcsol össze, és benne betuvel jelzett
  mennyiségek is szerepelnek.
• Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is.
• Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon
  értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe
  helyettesítve, az egyenloség két oldala
  azonosságot fejez ki.
• A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg
  (mi az?).

23
Lineáris egyenlotlenségek

• Megoldásuk mint az egyenleteknél
• Eltérés ha negatív számmal osztunk vagy
  szorzunk, az egyenlotlenség iránya megváltozik
• A megoldás általában egy halmaz (intervallum)

24
Többismeretlenes egyenletek

• Megoldási módszerek
• kiküszöböléssel
• helyettesítéssel
• Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy
  összefüggoek (végtelen sok megoldásuk van).

25
Másodfokú egyenletek

• Általános alakjuk
• Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendo
• Megoldóképlet
• Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényezo)

26
Exponenciális egyenletek

• Az ismeretlen a kitevoben található
• Azonosságok használatával
• átalakítás alakra,
  amibol az fv szigorúan monoton tulajdonsága
  miatt
  következik, ami megoldható
• új ismeretlen bevezetésével visszavezetés
  másodfokú egyenletre, aminek megoldása után
  kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

27
Logaritmikus egyenletek

• Az ismeretlen a logaritmus alatt található
• Azonosságok használatával
• átalakítás
  alakra, amibol a fv szigorúan
  monoton tulajdonsága miatt
  következik, ami
  megoldható
• új ismeretlen bevezetésével visszavezetés elso-
  vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után
  kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

28
Szögfüggvények I.

• Derékszögu háromszögekben értelmezzük
• Néhány elemi összefüggés

29
Szögfüggvények II.

• Addíciós azonosságok
• Kétszeres szögek
• Egyszeru átalakítások

30
Szögfüggvények III.

• További összefüggések

31
Trigonometrikus egyenletek

• Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus
  azonosságokat!
• Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy
  szögfüggvény szerepeljen benne.
• A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük
  új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre.
• A megoldás értelmezése
• periódikusság miatti additív konstansok
  alkalmazása
• a megoldás általában párban jelenik meg (két
  szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke).

32
Sorozatok I.

• Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más
  szóval egy leképezés a természetes számok
  halmazáról a valós számok halmazára
• Jellemzo mennyiségei
• a sorozat elso tagja
• a sorozat n-dik tagja
• az elso n tag összege
• Definiálása
• explicit képlettel
• implicit (rekurzióval)

33
Sorozatok II.

• Fontosabb számsorozatok
• Számtani
• a szomszédos tagok különbsége állandó
• Mértani
• a szomszédos tagok hányadosa állandó
• Fibonacci
• minden tag az elozo ketto összege

34
Vektorok

• Irányított szakasz a síkban vagy a térben
• Jellemzoi
• állása (melyik egyenessel párhuzamos)
• iránya (merre mutat)
• hossza (távolság a kezdo- és a végpont között).
• Nem jellemzo
• kezdo- vagy támadási pontjának helye
• Muveletek vektorokkal
• Számmal való szorzás
• Összeadás, kivonás
• Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám)
• Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy
  újabb vektor)
• Ábrázolása koordinátarendszerben
• helyvektor (kezdopontja az origóI

35
Geometria I.

• Fontosabb geometriai témák és fogalmak
• Síkidomok osztályozása
• Szabályos és szabálytalan
• Konvex, konkáv
• Szimmetrikus (tengelyesen, középpontosan)
• Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei
• Szögei hegyesszögu, derékszögu, tompaszögu
• Oldalai általános, egyenlo szárú, szabályos
• Thalesz tétel, Pithagorasz tétel

36
Geometria II.

• Szögfelezo tétel
• Derékszögu háromszögben befogó- és magasság tétel

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak
37
Geometria III.

• Súlypont, magasságpont, oldalfelezo, szögfelezo
  tulajdonságai
• Súlyvonalak egy pontban metszik egymást
• Magasságvonalak egy pontban metszik egymást
• Oldalfelezo merolegesek egy pontban metszik
  egymást (köré írt kör középpontja)
• Szögfelelezok egy pontba metszik egymást (beleírt
  kör középpontja)
• Számítási módszerek az általános háromszög
  megoldására
• sinus- és cosinus tétel

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak
38
Geometria IV.

• A kör és fontosabb tulajdonságai
• A kör részei középpont, sugár, átméro, körív,
  körszelet, körcikk
• Középponti- és kerületi szögek tétele
• Külso pontból körhöz húzott érintoszakaszok
  tétele
• Húrnégyszög, érintonégyszög tétele
• Háromszögbe, háromszög köré írt kör

39
Geometria V.

• További fontosabb fogalmak és tételek
• Párhuzamos szelok tételei és megfordításuk
• Síkidomok, háromszögek hasonlósága és
  egybevágósága
• Síkidomok, háromszögek kerülete, területe
• Szabályos sokszögek tulajdonságai
• Síkbeli transzformációk

40
Koordinátageometria I.

• A geometria számszerusítése, geometriai alakzatok
  egyenletekkel történo megadása
• Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus
  megoldást nyernek (egyenletek használata,
  megoldása)
• Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan
  azonosság, amelyet csak az objektum pontjai
  elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe
  helyettesítve azonosságot kapunk)

41
Koordinátageometria II.

• Az egyenes egyenletei
• Irány vektoros egyenlet
• Adott
• Egyenlet
• Normál vektoros egyenlet
• Adott
• Egyenlet
• Két pontos átmeno egyenes egyenlete
• Adott
• Egyenlet
• Meredekségével adott egyenes egyenlete
• Adott
• Egyenlet

42
Koordinátageometria III.

• A kör egyenlete
• Adott
• Egyenlete
• A kör egyenletének általános alakja

43
Polinomok I.

• A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy
  olyan kifejezés, melyben csak számok és változók
  egész kitevoju hatványainak szorzatai illetve
  ilyenek összegei szerepelnek.
• A polinomban a számokkal szorzott
  hatvány-szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak)
  nevezzük.
• A monomokban lévo számszorzókat a polinom
  együtthatóinak hívjuk.
• A polinomokkal muveletek végezhetok
• összeadás, kivonás, szorzás, osztás

44
Polinomok II.

• Polinomok (maradékos) osztása
• Az osztandó legmagasabb hatványkitevoju tagjának
  és az osztó legmagasabb hatványkitevoju tagjának
  a hányadosát képezzük
• Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az
  eredményt levonjuk az osztandóból
• A kapott új polinommal megismételjük az elobbi
  eljárást
• A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az
  osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó
• Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor
  maradékos osztásról beszélünk

45
Mintazárthelyi

• A feladatlapon csak egy helyes választ lehet
  megadni
• A feladat szövegét figyelmesen olvassák el!
• Csak a biztos megoldásokat írják be, ne
  tippeljenek!
• A részszámításokat minden esetben el kell
  végezni, de külön lapon.
• A megoldás sorrendje nem feltétlenül a
  számsorrend.

46
Mintazárthelyi feladatlap
47
1. feladat
Megoldás
Helyes válasz B
48
2. feladat
Megoldás
Helyes válasz D
49
3. feladat
Megoldás
Helyes válasz C
50
4. feladat
Megoldás
Helyes válasz D
51
5. feladat
Megoldás
Helyes válasz C
52
6. feladat
Megoldás
Helyes válasz C
53
7. feladat
Megoldás
f(x)
g(x)
h(x)
Helyes válasz A
54
8. feladat
Megoldás
Helyes válasz B
55
9. feladat
Megoldás
Helyes válasz A
56
10. feladat
Megoldás
Helyes válasz B
57
11. feladat
Megoldás
Helyes válasz D
58
12. feladat
Megoldás
Helyes válasz A
59
13. feladat
Megoldás
Helyes válasz E
60
14. feladat
Megoldás
Helyes válasz A
61
15. feladat
Megoldás
Helyes válasz B
62
További mintapéldák

• Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon
  közöljük
• A példák önálló megoldását javasoljuk, a
  kidolgozott megoldást ellenorzésre használják
• További feladatok megoldása segít a
  felkészülésben
• Ajánlott segédlet Egységes érettségi
  feladatgyujtemény Matematika (Konsept-H
  Könyvkiadó, 2002)

63
Példák I.

• Egy matematika versenyen két feladatot tuztek ki.
  Az elsot az indulók 70 -a, a másodikat pedig az
  indulók 60 -a oldotta meg. Minden induló
  megoldott legalább egy feladatot, és kilencen
  mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a
  versenyen?
• Számológép használata nélkül állapítsa meg,
  melyik nagyobb a következo számok közül
  vagy

64
Példák II.

1. Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha
   . Tegye meg a szükséges kikötéseket is!
2. Hozza egyszerubb alakra a következo
   kifejezéseket

65
Példák III.

1. Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi
   lesz a muvelet maradéka?
2. Egy háromszög egyik szöge a másik két szög
   számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve
   akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa.
   Mekkorák a háromszög szögei?
3. Melyik az az ötjegyu szám, amely után egy 1-est
   írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az
   elejére írnánk egy 1-est?

66
Példák IV.

• 8) Oldja meg az alábbi egyenlotlenséget
• 9) Melyik az a legbovebb halmaz, amelyen az
  alábbi f(x) függvény értelmezheto?
• 10) Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani
  sorozat elso három tagja, vagy egy számtani
  sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról
  van szó?

67
Példák V.

• 11) Vízszintes sík talajon álló 100 m magas
  felhokarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz
  két végpontjának depressziószögét és az útszakasz
  látószögét. A mért értékek rendre 4,5º 5,5 º és
  75 º. Mekkora az útszakasz hossza?
• 12) Adja meg annak a körnek az egyenletét,
  amelynek középpontja a C(05) pont és érinti a
  egyenest.

68
Megoldások

1. Az egyik feladatot 60, a másodikat 70 oldotta
   meg,ezért mindkét feladattal 30 foglalkozott.
   Tudjuk, hogy ez 9 fot jelent, így a teljes
   létszám30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen.
2. Azonos átalakításokkal kapjukVagyis a ??
   helyére írható!

69
Megoldások

• 3)
• 4)

70
Megoldások

• 4) (folytatás)

71
Megoldások

• 5)

72
Megoldások

• 6)
• 7)

73
Megoldások

• 8)

74
Megoldások

• 9)

75
Megoldások

• 10)

76
Megoldások

• 11)

77
Megoldások

• 12)

78
Tanácsok a matematika tanulásához

• Részvétel az eloadásokon
• Jegyzet készítése ha nem ért valamit, akkor is!
• Óra után az anyag átnézése és megértése
• Problémás részekrol konzultálás évfolyam-társsal,
  felsobb évessel
• A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!)
• A feladatok önálló megoldása az óra után
• Mintapéldák megoldása (begyakorlás)
• Zárthelyire készülés (csoportos feladat-megoldás)