MATEMATIKA

1
MATEMATIKA

• Sorozatok

2
Számsorozatok - Alapfogalmak
Számtani közép a1,a2,,an Mértani közép
a1,a2,,an nem negatív számok mértani
közepe Továbbá Pozitív számok esetén AG,
ahol az egyenloség akkor és csakkor teljesül, ha
a sorozat elemei egyenlok.
3
Ismétlés Függvények megadása
Analitikusan (matematikai kifejezéssel) megadjuk
a függvény (fv) független változójának (x)
segítségével a függo változó (y) értékét,
P y2x21 Utasítással Legyen DfR,
Rf01 és Táblázattal Grafikonnal
függvény képével adjuk meg
x 1 2 0
f(x) 3 5 1
4
A sorozat mint függvény
A sorozat egy kis átgondolással függvényként
definiálható, így megadható és ábrázolható Soroza
t a sorozat olyan függvény, melynek az
értelmezési tartománya a természetes számok
halmaza, értékkészlete pedig a való számok egy
részhalmaza. (DfN, RfR) Véges ha Df véges
részhalmaz Jelölés an P Legyen ann2 ,ahol
n(1,2,3)
1) Adjuk meg táblázatos reprezentációval
n 1 2 3 4 5
f(n) 12 22 32 42 52
2) Ábrázoljuk a sorozatot derékszögu koordináta
rendszerben
5
Nevezetes sorozatok
Számtani sorozat számok azon sorozata, ahol a
második elemtol kezdve bármelyik elembol kivonva
az azt megelozot, a különbség (differencia)
állandó. P Határozza meg a d3 és a12
számsorozat 6. elemét! P Határozza meg a
d3 és a12 számsorozat elso 6 elemének
összegét!
6
Nevezetes sorozatok
Mértani sorozat számok azon sorozata, ahol a
második elemtol kezdve bármelyik elemet elosztva
az azt megelozovel, a hányados állandó. P
Határozza meg a q2 és a12 számsorozat 3.
elemét! P Határozza meg a q2 és a12
számsorozat elso 3 elemének összegét!
7
Számsorozatok tulajdonságai
Monotonitás Az an sorozat monoton növekvo, ha
bármely pozitív egész számra (n) a két szomszédos
tagra a következo összefüggés igaz
monoton csökkeno, ha bármely pozitív egész számra
(n) a két szomszédos tagra a következo
összefüggés igaz A számsorozat szigorúan
monoton (növekvo v. csökkeno) abban az esetben,
ha az egyenloség a két szomszédos elem
differenciájának kivonásakor nem
megengedett! Oszcilláló sorozatok se nem
monoton csökkeno, se nem monoton növekvo!
8
Számsorozatok tulajdonságai
Korlátosság az an sorozat alulról korlátos, ha
létezik egy olyan valós szám (k), melytol a
sorozat minden eleme nagyobb vagy vele
egyenlo. az an sorozat
felülrol korlátos, ha létezik egy olyan valós
szám (K), melytol a sorozat minden eleme kisebb
vagy vele egyenlo. Egy tetszoleges számsorozat
korlátos, ha alulról és felülrol is korlátos. P

korlátos e? P
korlátos e?
Sem-sem
Korlátos
9
Számsorozatok tulajdonságai

• Korlátosság
• Legnagyobb alsó korlát alsó határ
• Legkisebb felso korlát felso határ
• Összefüggések (monotonitás-korlátosság)
• Ha an monoton növekvo alulról korlátos, alsó
  határa a1
• Ha an monoton csökkeno felülrol korlátos
  korlátos, felso határa a1
• P (korlátosság, monotonitás)
• P (korlátosság, monotonitás)
• P (korlátosság, monotonitás)

Alulról korlátos, alsó határa2, szigorúan növekvo
Felülrol korlátos, felso határa-1, szigorúan
csökkeno
Korlátos, alsó határa0,felso határa1, szigorúan
csökkeno
10
Számsorozatok tulajdonságai
Konvergencia-Divergencia Határérték Az
a1,a2,,an, számsorozat határértéke az A valós
szám, ha bármely pozitív e-hoz található a
sorozatnak olyan ak eleme, melytol kezdve a
sorozat minden eleme (A-e,Ae) intervallumba
esik. Ekvivalens definíció Az a1,a2,,an,
számsorozat határértéke az A valós szám, ha
bármely egt0 esetén megadható olyan e-tól függo N
küszöbszám, hogy minden ngtN(e)-ra Ha egy
sorozatnak létezik határértéke, akkor a sorozat
konvergens (összetartó), ellenkezo esetben a
sorozat divergens (széttartó) Jelölés
11
Számsorozatok tulajdonságai

• Konvergens sorozatokra vonatkozó összefüggések
• Konvergens sorozatnak 1 határértéke van.
• Ha egy számsorozat konvergens, akkor korlátos.
• Ha a számsorozat monoton és korlátos, akkor
  konvergens.
• Ha an-gtA és cn-gtA valamint anbncn , akkor
  bn-gtA.
• Muveletek konvergens számsorozatokkal! Ha an és
  bn sorozatok konvergensek és határértékük A ill.
  B és B?0, akkor

12
Nevezetes sorozatok határértékei
Sorozat Határérték (n-gt8) Feltétel
anc
an1/n
anqn
anqn
anqn
anqn Korlátos nem konvergens
anqn Nem korlátos nem konvergens
annva
an(11/n)n
13
Summary Mit illik tudni?
Sorozatok definíciója, függvény szerinti
reprezentációja! Határérték számítások Monotonit
ás és korlátosság megállapítása Nevezetes
számsorok