Matematika Diskrit

1
Matematika Diskrit

• Kontrak Kuliah
• Jadwal Kuliah
• GBPP (Garis Besar Program Pengajaran)
• Pustaka
• Pertemuan 1 Proposisi

2
Kontrak

• Dalam menentukan nilai akhir, akan digunakan
  pembobotan sebagai berikut
• Kegiatan Bobot Nilai ()
• Ujian Tengah Semester 25
• Ujian Akhir Semester 35
• Tugas Individu15
• Kelompok 15
• Keaktifan 10

3
Apa yang dipelajari

• Proposisi
• Himpunan
• Relasi
• Algoritma
• KOmbinasi
• Aljabar Boolean
• Teori Graf
• Teori Tree

4
Jadwal Kuliah

• Pertemuan 1
• Pejelasan kontrak kuliah, GBPP, Jadwal, Pustaka
• Proposisi
• Definisi Proposisi
• Mengkobinasi Proposisi
• Pertemuan 2
• Tabel Kebenaran
• Hukum-hokum logika
• Proposisi bersyarat

5

• Pertemuan 3
• Relasi
• Definisi relasi
• Sifat-sifat relasi biner
• Relasi keekuivalenan
• Matrik relasi
• Pertemuan 4
• Algoritma
• Notasi algoritma
• Algoritma eucilides
• Algoritma rekursif
• Kompleksitas algoritma

6

• Pertemuan 6
• Kombinasi
• Definisi Kombinasi
• Permutasi dan kombinasi bentuk umum
• Pertemuan 7
• Kombinasi dengan perulangan
• Koefisien binomial
• UTS

7

• Pertemuan 8
• Aljabar boolean
• Aljabar Boolean
• Aljabar Boolean Dua Nilai
• Hukum hukum Aljabar Boolean
• Fungsi Boolean
• Permuan 9
• Penjumlahan dan perkalian dua fungsi
• Komplemen Fungsi
• Aplikasi Aljabar Boolean

8

• Pertemuan 10
• Graf
• Sejarah graf
• Definisi Graf
• Jenis-Jenis Graf
• Terminologi Graf
• Representasi Graf
• Pertemuan 11
• Graf isomorfik
• Graf Planar
• Graf dual

9

• Pertemuan 12
• Lintasan dan sirkuit euler
• Lintasan dan sirkuit Hamilton
• Beberapa Aplikasi Graf
• Pertemuan 13
• Pohon
• Definisi Pohon
• Sifat-sifat pohon
• Pohon rentang
• Pertemuan 14
• Pohon berakar
• Pohon terurut
• Pohon biner
• UAS

10
PUSTAKA

• Richard Johnsonbaugh.1993. Discrete Mathematics
  forth edition. DePaul University. Chicago
• Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, edisi
  ketiga, penerbit Informatika Bandung, 2005
• Seymour Lipschutz,Seri Penyelesaian Schaum,
  jilid1, salemba teknika, 2001

11
MATEMATIKA DISKRIT

• Apa ?
• Cabang matematika yg mempelajari tentang obyek
  diskrit.
• Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
  
• Objek disebut diskrit jika
• terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang
  berbeda
• elemen-elemennya tidak bersambungan
  (unconnected).
• Contoh himpunan bilangan bulat (integer)
• Lawan kata diskrit kontinyu atau menerus
  (continuous).
• Contoh himpunan bilangan riil (real)
• Komputer digital bekerja secara diskrit.
  Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh
  komputer adalah dalam bentuk diskrit.

12
Kenapa belajar ?

• Matematika diskrit merupakan ilmu dasar dalam
  pendidikan informatika atau ilmu komputer.
• Matematika diskrit memberikan landasan matematis
  untuk kuliah-kuliah lain di informatika
  algoritma, struktur data, basis data, otomata dan
  teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan
  komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.
• Matematika diskrit adalah matematika yang khas
  informatika ? Matematika Informatika.

13

• 1. Brp byk almt internet valid yg mungkin pd
  suatu jaringan komputer ?
• 2. Brp probabilitas menang suatu undian ?
• 3. Bgmn menentukan lintasan terpendek antar kota
  ?
• 4. Bgmn mengurutkan suatu kumpulan data ?

14
Proposisi

• Pengertian Proposisi
• Operator Logika
• Tabel Kebenaran

15
Pengertian Proposisi

• Proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa
  bernilai benar (true/T) atau salah (false/F)
  tetapi tidak sekaligus keduanya.
• Kita katakan bahwa nilai kebenaran (truth value)
  dari sebuah proposisi adalah benar atau salah.
• Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan
  sebagai 1 dan 0

16
Proposisi atau Pernyataan

• Gajah lebih besar daripada tikus.

Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?
BENAR
17
Proposisi atau Pernyataan

• 520 lt 111

Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?
SALAH
18
Proposisi atau Pernyataan

• y gt 5

Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut
bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.
Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi
proposisi atau kalimat terbuka.
19
Proposisi atau Pernyataan

• Sekarang tahun 2004 dan 99 lt 5.

Apakah ini sebuah pernyataan?
YA
Apakah ini sebuah proposisi?
YA
Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?
SALAH
20
Proposisi atau Pernyataan

• Tolong untuk tidak tidur selama kuliah

TIDAK
Apakah ini sebuah pernyataan?
Ini adalah sebuah permintaan.
Apakah ini sebuah proposisi?
TIDAK
Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.
21
Proposisi atau Pernyataan

• x lt y jika dan hanya jika y gt x.

Apakah ini pernyataan ?
YA
Apakah ini proposisi ?
YA
karena nilai kebenarannya tidak bergantung
harga spesifik x maupun y.
Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ?
BENAR
22
Penggabung Proposisi

• Beberapa contoh terdahulu menunjukkan bahwa
  beberapa proposisi dapat digabung menjadi sebuah
  proposisi gabungan.
• Hal ini kita formal-kan dengan melambangkan
  proposisi sebagai huruf-huruf seperti p, q, r,
  s dan memperkenalkan operator-operator logika.

23
Operator logika

• Kita akan membahas operator-operator berikut
• Negasi (NOT)
• Konjungsi (AND)
• Disjungsi (OR)
• Eksklusif OR (XOR)
• Implikasi (jika maka)
• Bikondisional (jika dan hanya jika)
• Tabel logika (tabel kebenaran/ truth table) dapat
  dipakai untuk menunjukkan bagaimana
  operator-operator tsb diatas menggabungkan
  beberapa proposisi menjadi satu proposisi
  gabungan.

24
Negasi (NOT)

• Operator Uner, Lambang ?

P ?P
Benar Salah
Salah Benar
25
Konjungsi (AND)

• Operator Biner, Lambang ?

P Q P?Q
Benar Benar Benar
Benar Salah Salah
Salah Benar Salah
Salah Salah Salah
26
Disjungsi (OR)

• Operator Biner, Lambang ?
• Tamu Boleh Menyumbang barang atau uang

P Q P?Q
Benar Benar Benar
Benar Salah Benar
Salah Benar Benar
Salah Salah Salah
27
Eksklusif Or (XOR)

• Operator Biner, Lambang ?
• Saya akan melihat pertandingan itu di TV atau di
  lapangan

P Q P?Q
Benar Benar Salah
Benar Salah Benar
Salah Benar Benar
Salah Salah Salah
28
Implikasi (jika - maka)

• Operator Biner, Lambang ?
• Jika besok cerah (p), maka aku akan datang ke
  rumahmu (Q)
• P hipotesis, Q konklusi

P Q P?Q
Benar Benar Benar
Benar Salah Salah
Salah Benar Benar
Salah Salah Benar
29
Bikondisional (jika dan hanya jika)

• Operator Biner, Lambang ?
• (P ? Q) ?( Q ? P)

P Q P?Q
Benar Benar Benar
Benar Salah Salah
Salah Benar Salah
Salah Salah Benar
30
Pernyataan dan Operasi

• Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
  digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q ?P ?Q (?P)?(?Q)
Benar Benar Salah Salah Salah
Benar Salah Salah Benar Benar
Salah Benar Benar Salah Benar
Salah Salah Benar Benar Benar
31
Pernyataan dan Operasi

• Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat
  digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P Q P?Q ? (P?Q) (?P)?(?Q)
Benar Benar Benar Salah Salah
Benar Salah Salah Benar Benar
Salah Benar Salah Benar Benar
Salah Salah Salah Benar Benar
32
Pernyataan-pernyataan yang ekivalen
P Q ?(P?Q) (?P)?(?Q) ?(P?Q)?(?P)?(?Q)
Benar Benar Salah Salah Benar
Benar Salah Benar Benar Benar
Salah Benar Benar Benar Benar
Salah Salah Benar Benar Benar

• Pernyatan ?(P?Q) dan (?P)?(?Q) adalah ekivalen
  secara logis, karena ?(P?Q)?(?P)?(?Q) selalu
  benar.

33
Tautologi dan Kontradiksi

• Suatu tautologi adalah pernyataan yang selalu
  bernilai benar
• Contoh
• R?(?R)
• ?(P?Q)?(?P)?(?Q)
• Jika S?T sebuah tautologi, kita tulis S ? T.
• JIka S?T sebuah tautologi, kita tulis S ? T.

34
Kontradiksi

• Suatu kontradiksi adalah pernyataan yang selalu
  bernilai salah.
• Contoh
• R?(?R)
• ?(?(P?Q)?(?P)?(?Q))
• Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah
  kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah
  kontradiksi adalah sebuah tautologi.

35
Latihan

• Kita tahu tautologi berikut
• ?(P?Q) ? (?P)?(?Q)
• Latihan di kelas
• Tunjukkan bahwa ?(P?Q) ? (?P)?(?Q).

36
TUGAS