Repaso Clase 1:

1
Repaso Clase 1 Teoría de la medida
2
Propiedades emergentes de la métrica 1)
Continuidad
El Plano
El Intervalo (I1)
El Circulo (S1)
Los Naturales
y
1
2
3
4
5
6
7
8
8
0
1
x

Dist(3,3) lt 0.5
Dist(0.5) lt 0.05
Dist(p) lt p/5
dist(5) lt 0.5
Un mundo sin vecinos (a distancia arbitrariamente
pequeña)
Mundos con vecinos arbitrariamente cerca ? SE
PUEDE HACER ANALISIS (Derivar Integrar )
3
Métricas en Espacios no Euclideos, funciones,
imágenes, genes y neuronas
En general, dadas dos observaciones, un problema
típico con el que uno se encuentra es decir si
son iguales, si pertenecen a una misma categoría,
si se parecen poco o mucho, si a su vez se
asemejan mas que a un tercera observación, cuanto
varia a medida que uno la repite muchas veces y
si uno manipula el sistema. En fin, uno quiere
establecer una DISTANCIA entre distintas
observaciones. Algunos ejemplos que veremos son
distancias en respuestas de neuronas (trenes de
espigas) y entre genes.
4
Distancia en el Espacio de Funciones
Distancia entre una función lineal y una
sinusoidal, marcada por el área gris. Una de las
distancias mas simples en el espacio de
funciones, dada por la suma de la distancia
euclidea en cada punto de la función.
5
Distancia en el Espacio de Funciones
Esta es la idea de cuadrados mínimos, y permite
ajustar una función a una serie de datos. La
función que mejor ajusta los datos (de una
familia de funciones) es la que resulta más
cercana a los datos originales.
6
Distancia en el Espacio de Funciones
Longitud promedio de los segmentos definen la
distancia a la curva
7
Distancia en el Espacio de Funciones
Longitud promedio de los segmentos definen la
distancia a la curva
8
Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del
trafico de proteínas en la célula)
P E R T I M
Medida analoga a la distancia entre funciones, la
suma del valor absoluto de la luminosidad de
todos los pixels. La importancia de poder
cuantificar para establecer modelos correctos.
PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?
P E R T I M
Meyer et al (2005)
9
Distancia en el Espacio de Imágenes (Dinámica del
trafico de proteínas en la célula)
P E R T I M
Medida analoga a la distancia entre funciones, la
suma del valor absoluto de la luminosidad de
todos los pixels. La importancia de poder
cuantificar para establecer modelos correctos.
PER y TIM entran juntos al núcleo o por separado?
P E R T I M
Meyer et al (2005)
10
Un problema con la distancia euclidea en el
espacio de imágenes (y de caras)
El problema de una distancia dada por la suma de
la diferencia de luminosidad a través de todos
los pixels de la imagen es que distintos ángulos
de vista, o oclusiones dan imágenes muy distintas
correspondientes al mismo objeto.
Una descomposición mas inteligente del espacio de
caras una base de caras fundamentales o
auto-caras.
11
La dimensionalidad del espacio de caras, cuantos
numero necesito dar para decir de quien hablo?
Imagen Original
Detección de rasgos por comparación a un marco de
referencia
Descripción de una cara en el espacio de rasgos
(mucho mas eficiente que el espacio de pixels)
12
Un problema parecido Similitud entre genes
La métrica de comparación punto a punto funciona
bien en este ejemplo, estas dos secuencias son
parecidas y su distancia es corta.
AGTAAGCTAGCAGCA.
AGTAAGCGGGCAGCA.
La métrica de comparación punto a punto NO
FUNCIONA BIEN en este ejemplo, Una traslacion
hace que punto a punto niguna base coincida y sin
embargo los genes se asemejan.
AGTAAGCTAGCAGCA.
XXXAGTAAGCTAGCA .
13
Midiendo distancias entre respuestas neuronales
(del saltamontes)
Una metrica que tiene en cuenta la distancia
alcanza para separar cualquier para de olores
(tomando la distancia al centro de cada
distribucion)
Problema (del saltamontes y del investigador)
Como reconstruir el olor a partir de la
respuesta? En este caso, el conteo de espigas no
alcanza
Respuesta de una neurona (del saltamontes) a
distintos olores
Una manipulacion farmacologica (Picotoxina) que
perturba el orden temporal sin modificar la
respuesta total (baraja en el tiempo) hace que la
respuesta a los olores sea inclasifcable.
Macleod, Backer, Laurent (1998)
14
Una buena métrica en el espacio de respuestas
neuronales
J Victor (2005)
Definir la distancia entre dos secuencias como el
numero de operaciones, inserciones, deleciones,
traslaciones, necesarias para pasar de una
secuencia a la otra.
15
Métrica en el espacio de terremotos (y sus ecos)
Una pregunta importante en sismología es Dado un
gran terremoto, cual es la secuencia temporal de
terremotos (ecos, rebotes) que le siguen?
SOLUCION, LA SECUENCIA QUE MINIMIZA LA DISTANCIA
A TODAS LAS OBSERVACIONES
LOS DATOS
Schoenberg and Tranbarger.
16
FIN DE LA RUTA (y resumen)

• Funciones y Cardinalidad El numero de elementos,
  una primera relación establecida por una función
  entre dos conjuntos.
• Funciones y Dimensionalidad Aspectos generales
  de funciones del tiempo en el espacio (R -gt R2) y
  del espacio en un escalar (por ejemplo la
  temperatura)
• Formas canónicas del movimiento Oscilaciones,
  exponenciales y puntos fijos. La fauna de
  soluciones ordenadas, estacionarias y no
  divergentes.
• Espacios métricos Como asignar una medida a una
  variedad de espacios relevantes. Cuantificar la
  similitud o diferencia de medidas experimentales
  en una funcion de distancia. Neuronas, genes,
  imágenes, caras y terremotos.

17
Repaso Clase 2 Fundamentos de la mecanica
18
HISTORIA DE LA INVARIANZA
PRIMERA LEY
Un sistema de referencia en el que son válidas
las leyes de la física clásica es aquel en el
cual todo cuerpo permanece en un estado de
movimiento rectilíneo y uniforme en ausencia de
fuerzas.
Aristoteles (III AC) El estado natural de las
cosas es la ausencia de movimiento. Luego, en
ausencia de fuerzas, estas pierden su impetu y
se detienen. La fuerza es por lo tanto necesaria
para mantener los objetos en movimiento.
Buridan (XIV) el del burro Proponia que un
objeto no pierde espontaneamente su impetu sino
que esto es la consecuencia de fuerzas que se le
oponen (resistencia del aire, gravedad) Galileo
(XVI) Un objeto continua en la misma dirección y
a velocidad constante salvo que sea perturbado.
Es imposible determinar la diferencia entre un
objeto estacionario y uno en movimiento sin una
referencia externa.
19
Primera ley a partir de la Ecuación de Newton
Una ecuación diferencial.
El significado de este igual es que las dos
funciones coinciden.
Los operadores que actúan sobre las incógnitas no
son solo aritméticos sino que incluyen derivadas
e integrales.
La ecuación es vectorial.
20
Dos aspectos importantes de la Segunda Ley
Esta es una igualdad vectorial que corresponde en
realidad a tantas ecuaciones como dimensiones
hayan (en general 3)
La masa es un parámetro físico que caracteriza a
un objeto. En particular, de la ecuación de
Newton se asume implícitamente que LA MASA NO
DEPENDE DE LA VELOCIDAD.
21
Agnosticismo de las Fuerzas
Gravedad
Eléctrica
Elástica
FFELECTRICA FROZAMIENTO FGRAVEDAD FELASTICA
Rozamiento
Fuerza Resultante
La fuerza resultante es la suma de fuerzas de
distintos tipos. Uno de los enunciados implícitos
en la ecuación de Newton es que estas fuerzas
pueden tratarse, a los efectos del movimiento,
como un solo objeto.
22
Tercer principio Acción y reaccion
F1
F2
Es decir F1 -F2 o dicho de otra manera, F1 F2
0
De la ley de Newton
y
Se tiene que
Y por lo tanto
23
Dinámica de (conjunto) de dos cuerpos con
fuerzas extensas
F1
F2
Extensión de la segunda ley de Newton (p cambia
con Fext)
24
Repaso Clase 2 Introduciendo la gravedad
25
Introduciendo la gravedad
M1
M2
r

• Siempre el mismo signo (atractiva) ... salvo
  rarezas...
• Proporcional a las dos masas.
• Proporcional a la inversa del cuadrado de la
  distancia.

26
La gravedad entre masas y tamaños muy distintos
La gravedad es distinta a distintas alturas? Si,
lo es, porque se puede hablar de un valor de g y
no de una función g(h)?
M1
m2
r
R
Estimando la diferencia
27
El experimento (moderno) de Galileo
El experimento de Galileo mejorado Dejar caer
objetos en una cámara de vació y fotografiarlos
con una cámara suficientemente rápida.
28
El experimento (mental) de Galileo
El experimento de Galileo de los cuerpos que
caen Misma demostracion para un ojbeto de masa
(3m). Generalizar esto para masas arbitrarias.
29
Clase 3Gravedad, integrales y primeras reglas de
conservación.
30
Gravedad (literalis) caída libre y conservación
de la energía Evidencia Empírica
31
Gravedad (literalis) caída libre y conservación
de la energía Evidencia Empírica
Puede la física aportar al grado de verdad de
esta afirmación?
Dos conceptos importantes.
32
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento
33
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al
masa y aproximadamente constante cerca de la
superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento
La masa no aparece en la ecuacion de movimiento.
Una rareza de la gravedad (y potencialmente de
cualquier fuerza proporcional a la masa).
34
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al
masa y aproximadamente constante cerca de la
superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento
Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude
interesarnos otras relaciones como por ejemplo
v(x)
35
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Una fuerza un tanto exótica, proporcional a al
masa y aproximadamente constante cerca de la
superficie de la tierra.
Podemos resolver las ecuaciones del movimiento
Con esto hemos determinado x(t) y v(t) pero pude
interesarnos otras relaciones como por ejemplo
v(x)
36
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
Posibilidad 1 Resolver el sistema de ecuaciones
ya integrado.
0
h(H-x)
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
Posibilidad 1 Resolver el sistema de ecuaciones
ya integrado.
0
h(H-x)
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 1 Resolver el sistema de ecuaciones
ya integrado.
h(H-x)
Con esto hemos determinado x(v) y a partir de esa
relación encontramos que hay una cantidad que se
conserva.
39
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el
tiempo.
40
Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el
tiempo.
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el
tiempo.
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
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Funciones del movimiento, velocidad, tiempo y
espacio.
0
Posibilidad 2 Resolver directamente las
ecuaciones para v(x) o x(v). Como?
h(H-x)
Podemos resolver directamente las ecuaciones de
movimiento sobre una variable que no sea el
tiempo.
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Fundamentos de fisica aplicada.
0
45
Fundamentos de fisica aplicada.
0
Si H es un 7 piso (22 metros)
46
Fundamentos de fisica aplicada.
0
Si H es un 7 piso (22 metros)
Si H es un 1 piso (3 metros)
Pipino Cuevas en el primer piso, de donde,
parece, pudo producirse la caída.
47
Conservación.
Integrando funciones desconocidas Saber algo
cuando no se puede saber todo.
48
Conservación.
Integrando funciones desconocidas Saber algo
cuando no se puede saber todo.
Consideremos el caso, mas simple, en que la
fuerza es solo una función de la posición, como
es el caso para dos fuerzas que nos interesan la
gravedad y la elástica (y, veremos, modulo una
constante también la eléctrica)