Propedeutico Maestr

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Ecuaciones Diferenciales

• Curso Propedéutico
• Maestría en Ciencias en Ingeniería Eléctrica
• Opciones sistemas Eléctricos y Sistemas de Control

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Contenido

• Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Solución geométrica
• Métodos de solución analítica
• Variables separadas
• Variables separables
• Homogéneas
• Lineales
• Ecuación de Bernoulli
• Ecuación de Riccati
• Ec. Dif. Exacta
• Factor integrante
• Teorema de existencia y unicidad
• Ecuaciones Diferenciales de orden mayor que 1

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Introducción

•  
• Qué es una ecuación diferencial?
•  
• Ö  Toda ecuación que establece la dependencia de
  una variable respecto a otra u otras mediante
  derivadas es una ecuación diferencial

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales

•  1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito
  de la figura

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales

•  2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es
  proporcional a la diferencia entre la temperatura
  del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta
• Donde K es el coeficiente dde transmisión de
  calor que depende del material

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales

• 3) El movimiento de un péndulo simple está
  gobernado por la ecuación
• Donde

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales

•  4) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la
  curva que refleja en forma paralela los rayos que
  salen de un punto fijo en el origen cumplen con

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales

• Otros Ejemplos
• Ecuación lineal de primer orden
• Ecuación de Riccati
• Por ejemplo
• Ecuación de Van der Pol
• Segunda Ley de Newton
• Etc

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Clasificación General

• Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Cuando no
  contiene derivadas parciales. En general tiene la
  forma
• F(x,y,y,y,...,y(n))0
• Establece la dependencia de la variable y
  respecto a una sola variable independiente x.  

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Clasificación General

• Ecuación diferencial Parcial (EDP). Cuando
  contiene derivadas parciales. En este caso
  representa la dependencia de una variable
  respecto a varias variables independientes.
• Por ejemplo, la siguiente ecuación describe la
  dependencia de r respecto de x, y y z.

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Clasificación General

• EDO de orden n.- El orden de derivación más alto
  que aparece en la ecuación es n.
• EDO de primer orden.- Cuando n1. En este caso,
  la forma general es
• F(x,y,y)0
• A la forma
• yf(x,y)
• Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
• Ejemplo la ecuación de Riccati es de segundo
  grado, pero de primer orden

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Clasificación General

• EDO Lineal. Es una ODE que se puede escribir en
  la forma
• Donde los coeficientes a0(x),...,an(x), f(x) son
  funciones de x. De lo contrario se dice No
  Lineal.
• Lineal Homogénea.- El término independiente f(x)
  es nulo.
• Lineal con coeficientes constantes.- Los
  coeficientes a0(x),...,an(x) son constantes.
• Lineal con coeficientes variables.- Enfatiza el
  hecho de que al menos uno de los coeficientes
  a0(x),...,an(x) NO es constante.

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Clasificación General

• Ejemplos Lineales o No lineales?
• 1)
• 2)
• 3)
• 4)
• 5)
• 6)

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Solución de una ED

• La Solución General, también llamada integral
  general de la ED de la forma F(x,y,y,y,...,y(n)
  )0, es la función yf(x,c) que satisface dicha
  ecuación.
• Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones
• son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).
• La solución general es en realidad una familia de
  funciones parametrizadas por la constante
  desconocida c. Para cada valor particular de la
  constante c se obtiene una Solución Particular de
  la ED

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Solución de una ED
Familia de funciones dadas por
y
x
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Solución de una ED

• Tarea a) Para el ejemplo (2). Verificar que la
  solución general de la ED es
• b) Si K0.1C/seg. Cuánto tiempo tardará en
  enfriarse una taza de café hirviendo si la
  temperatura ambiente es de Ta15C ?
• c) Dibujar la familia de curvas solución para
  diferentes temperaturas iniciales T0 de la taza
  de café.

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La ED como Campo Vectorial

• La ecuación diferencial de primer orden resuelta
  respecto a la derivada
• establece una dependencia entre las coordenadas
  (x,y) de un punto y la pendiente de la curva
  solución y(x) que pasa por ese punto.

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La ED como Campo Vectorial

• Ejemplo la ecuación
• nos dice que a lo largo de la curva x2 y2 1,
  las curvas solución de la ecuación tienen
  pendiente 1, es decir, cruzan la circunferencia
  de radio 1 con un ángulo de 45.
• Ver la figura siguiente

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La ED como Campo Vectorial
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Método de las Isoclinas

• Dando valores constantes K a la derivada,
• podemos encontrar las curvas f(x,y) K en donde
  las soluciones pasan con un mismo ángulo de
  inclinación. A estas curvas se les llama
  isoclinas.
• Para el ejemplo corresponden a x2y2K, son
  circunferencias de radio y centro en el
  origen.

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Método de las Isoclinas

• Las isoclinas facilitan el trazado del campo de
  direcciones y por lo tanto el de las soluciones
  de la ED.

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Método de las Isoclinas

• Tarea a) Encontrar la ecuación de las isoclinas
  para la ecuación diferencial
• b) Qué tipo de curvas son estas isoclinas?
• c) Dibujar las isoclinas y con ayuda de éstas
  dibujar el campo de direcciones y algunas curvas
  solución.

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Métodos de Solución Analítica

• NO existe un método general para resolver EDs,
  es decir, dada una ecuación diferencial no
  tenemos un procedimiento para hallar su solución
  analítica.
• Sin embargo, en algunos casos particulares bien
  identificados sí se tienen procedimientos para
  calcular dicha solución.

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Métodos de Solución Analítica

• El único método entonces consiste en saber
  Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
• Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento
  correspondiente
• Si no es un caso conocido, intentar algún cambio
  de variable que la transforme en un caso conocido

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Métodos de Solución Analítica

• Si no funciona lo anterior, algunas alternativas
  consisten en buscar soluciones
• Basadas en Series
• Numéricas
• Geométricas

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Separación de variables

• La idea más simple de los procedimientos de
  solución es reescribir la ecuación como una
  ecuación de variables separadas
• Donde f(y) es una función exclusivamente de y y
  g(x) es una función exclusivamente de x.
• Esta ecuación se resuelve integrando a ambos
  lados

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Separación de variables

• La ED de la forma
• Se denomina ED de variables separables, ya que es
  inmediata su reescritura como una ED con
  variables separadas

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Separación de variables

• Ejemplo Resolver la ecuación
• Solución Separando variables
• ydy -xdx
• integrando
• Reescribiendo x2y2 c2

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Separación de variables

• Algunos tipos de ED se convierten fácilmente a
  variables separables, por ejemplo cuyo campo
  vectorial es función de una combinación lineal de
  x e y
• Haciendo el cambio zaxby, se obtiene

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Separación de variables

• Ejemplo La ecuación
• Se puede reescribir como
• Donde zxy.
• Integrando se obtiene
• Regresando a las variables originales

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ED Homogéneas de 1er orden

• Las ED de la forma
• Se denominan Homogéneas.
• Haciendo el cambio de variable z y/x, se
  convierten a la siguiente ED de variables
  separables

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ED Homogéneas de 1er orden

• Una función f(x,y) se dice Homogénea de grado k
  si
• f(tx,ty)tk f(x,y)
• Ejemplo f(x,y)xy23x3 es homogénea de grado 3
• Si f(x,y) es homogénea de grado cero entonces
• Entonces, la ED
• es Homogénea si f(x,y) es homogénea de grado
  cero.

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ED Homogéneas de 1er orden

• Ejemplo La función
• Es homogénea de grado cero y se puede escribir
  como
• Por lo tanto la ED
• Se puede transformar en la ED con variables
  separables
• Donde zy/x.

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ED Homogéneas de 1er orden

• Las ED de la forma
• donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son constantes
• Se convierten a homogéneas haciendo el cambio
• Xx-x0, Yy-y0 donde (x0,y0) es el punto de
  intersección de las rectas a1x b1y c10 y a2x
  b2y c20.
• Ejemplo La ED
• Haciendo el cambio Xx-1, Yy-1 se convierte en
  la ED homogénea

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ED Lineales de 1er orden

• Las ED de la forma
• Se denominan ED Lineales, ya que su solución
  cumple con el Principio de Superposición respecto
  al término independiente q(x).
• Se resuelven usando variación de la constante c
  de la solución para el caso Homogéneo (q(x)0),
  es decir,
• donde

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ED Lineales de 1er orden

• Ejemplo La ecuación del circuito RC serie
• Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto,
  su solución es
• Donde
• Si Vs(t)1, se obtiene
• Por lo tanto

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ED de Bernoulli

• La ED de la forma
• Se denomina Ecuación de Bernoulli.
• Introduciendo el cambio de variable
• La ecuación de Bernoulli se transforma en
• La cual es una ED lineal.

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ED de Riccati

• La ED de la forma
• Se denomina Ecuación de Riccati.
• Esta ecuación se puede transformar en una
  ecuación de Bernoulli si se conoce una solución
  particular y1(x). mediante el cambio de variable
  yy1z.
• La ecuación de Riccati se transforma en
• La cual es una ED de Bernoulli.

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ED de Riccati

• Ejemplo La ecuación
• Es una ED de Riccati, la cual tiene la solución
  particular
• Haciendo el cambio yy1z, obtenemos
• La cual es de Bernoulli. Haciendo ahora el cambio
  uz-1, obtenemos
• La cual es lineal. La solución de la homogénea es
  , variando el parámetro c
• De donde por lo tanto
• Entonces . Finalmente, en las
  variables originales

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ED exactas

• La ecuación de la forma
• tiene de la forma de una diferencial exacta
  du(x,y) 0
• y por consiguiente la solución u(x,y) c
• si cumple la condición de Euler
•  
• En tal caso
• y la función u(x,y) se puede obtener integrando
  M respecto a x
•  y se puede determinar c(y) derivando

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ED exactas

• Ejemplo La siguiente ED
• Es exacta puesto que
• Integrando respecto a x
• Es decir,
• Derivando respecto a y
• De donde
• Finalmente la solución general es

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Factor Integrante

• En algunas ocasiones es posible multiplicar la
  ecuación por un factor m(x,y), de manera que se
  convierta en una diferencial exacta, es decir, de
  manera que
• Entonces se dice que es m(x,y) un factor
  integrante. La condición de Euler toma la forma
• De donde

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Factor Integrante

• La anterior es una EDP más difícil de resolver
  que la ED original. Solo en algunos casos se
  simplifica
• Caso mm(x).- En este caso la EDP toma la forma
• Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de x
• Caso mm(y).- En este caso
• Cuyo lado derecho debe ser función exclusiva de y

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Factor Integrante

• Ejemplo Para la siguiente ED
• Entonces
• Por lo tanto
• Así obtenemos la ecuación diferencial exacta

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Factor Integrante

• Tarea Demostrar que en efecto
• Es una ED exacta y obtener su solución general.

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Teorema de existencia y unicidad

• Uno de los aspectos que suelen olvidarse antes de
  intentar la solución de una ED es preguntarse
  primero si existe la solución y en caso de
  existir, si esta es única.
• La respuesta la da el siguiente teorema

Siempre existe solución y es única?
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Teorema de existencia y unicidad

• Si en la ED , se cumplen las
  condiciones
• 1) (Existencia) f(x,y) es continua en un
  rectángulo D centrado en (x0,y0).
• 2) (Unicidad) En este rectángulo satisface la
  Condición de Lipschitz para un L finito
• Entonces existe una solución única yf(x) de la
  ED dentro de un rectángulo D1Ì D centrado en
  (x0,y0)
• que satisface la condición inicial y(x0)y0

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Teorema de existencia y unicidad

• La condición de Lipschitz se puede sustituir por
  otra condición más burda, pero más fácil de
  verificar
• Que exista la derivada en el
  rectángulo D.

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Teorema de existencia y unicidad

• Ejemplo La siguiente ED
• Cumple con la condición de existencia en todo el
  plano Â2 , sin embargo, si checamos la condición
  de Lipschitz
• Se cumple en todo el plano Â2, excepto en la
  recta solución y0, sobre la cual existe otra
  solución.
• Tarea Encontrar las otras soluciones que tocan a
  la recta y0 en cada punto de ella.
  Representarlas en una gráfica.

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Ejercicios

• Ejemplo Método de las Isoclinas

51
Ejercicios

• Ejemplo Convertir a variables separables

52
Ejercicios

• Ejemplo Convertir a variables separables

53
Ejercicios

• Ejemplo Convertir a variables separables

54
Ejercicios

• Ejemplo Convertir a variables separables

55
Teorema de existencia y unicidad

• Ejemplo Qué tipo de ED son las siguientes?

56
Teorema de existencia y unicidad

• Ejemplo Son ED exactas?