Universidad de los Andes-CODENSA

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Fundamentos de Programación Matemática y Casos de
Estudio en Economía.

• Universidad de los Andes-CODENSA

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Serie Temporal de Precios en Activos A y B

• Precio del Activo A Periodo(día, mes, año)
• Precio del Activo B Periodo(día, mes, año)

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Serie Temporal del Retorno Continuo Compuesto de
Activos A y B

• Activo A

• Activo B

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Retorno con Dividendos y Retorno Discreto

• Retorno con Dividendos
• donde DivA,t es la serie temporal de dividendos
  del Activo A
• Retorno Discreto

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Retorno Continuo Compuesto

• Supone un crecimiento exponencial en el precio
  del activo en cada periodo
• Tasa de crecimiento del precio del activo en el
  periodo t

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Medida del Retorno del Activo y del Riesgo de un
Activo

• Lista periódica de precios de un Activo
• Lista periódica de retornos de un Activo
• Retorno esperado del Activo
• Varianza del retorno del Activo
• Desviación Estándar del Activo

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Comparación entre Activos y Criterio de Selección

• Comparación entre Activos, Retorno vs Riesgo
• Criterio de Selección de Activos

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Manejo de Datos para Dos Activos

• Serie de Precios de los Activos A y B
• Serie de Retornos de los Activos A y B
• Retornos Esperados
• Covarianza de los Retornos de los Activos A y B

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• Coeficiente de Correlación para los Retornos de
  los Activos A y B
• Varianza de un solo Activo
• Coeficiente de Correlación
• Medida de la relación lineal entre dos muestras.
• Instrumento para cuantificar la dependencia
  lineal entre el retorno de dos activos.

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Análisis de Portafolios

• Composición del Portafolio
• Retorno esperado del Portafolio
• Riesgo en el Portafolio

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Justificación

• La esperanza es una operación lineal
• La varianza no es una operación lineal

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Portafolios Factibles

• Es el conjunto de los posibles portafolios que se
  pueden obtener eligiendo diferentes proporciones
  entre los activos A y B
• Retorno vs Riesgo para los portafolios factibles

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• Comparación entre Portafolios Factibles.
• Criterio de Selección de portafolios.

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Portafolios Envolventes y Eficientes
15
Frontera Eficiente
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Manejo de Datos para Varios Activos

• Grupo de Activos
• Precios para cada Activo
• Retornos para cada Activo
• Retorno Esperado para cada Activo

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• Matriz de Covarianza
• Covarianza entre los Retornos de los Activos Ai y
  Aj
• Grandes requisitos de Cómputo y almacenamiento de
  Datos

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Diseño de Portafolios

• Composición del Portafolio
• Retorno esperado del portafolio (Lineal)
• Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

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Riesgo en el Portafolio

• Composición del Portafolio
• Retorno esperado del portafolio (Lineal)

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• Riesgo en el Portafolio (Forma Cuadrática)

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Optimización de Portafolios

• Portafolios Envolventes Minimizar el Riesgo para
  un Retorno Fijo.
• Problema de Optimización Problema Cuadrático.

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Análisis de Factibilidad

• Conjunto Factible no vacío.
• Combinación Convexa.

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Convexidad

• Programa Convexo
• Conjunto Factible Convexo.
• Función Objetivo Convexa

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Matriz de Correlación

• Semidefinida Positiva

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Cálculo de la Frontera Eficiente

• Programa Matemático bajo Restricciones en Forma
  de Igualdad
• Función Lagrangiana
• Condiciones de Primer Orden

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Forma Vectorial

• Sistemas de Ecuaciones Lineales basado en la
  Matriz de Covarianza S.
• Inversa de la Matriz de Covarianza

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Multiplicadores de Lagrange
28
Ecuaciones
29
Solución
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Frontera Eficiente
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Forma de la Frontera Eficiente
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• Estrictamente Convexa
• Retorno con Riesgo Mínimo

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Teoría de Portafolios

• Caracterización de Portafolios Eficientes
• Teorema de Black
• Teorema del Fondo Mutuo (Merton)
• Correlación entre Portafolios Eficientes

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Caracterización de Portafolios Eficientes

• Solución al sistema de ecuaciones lineales dado
  por S (la matriz de Covarianza)
• Justificación Condiciones de primer orden en la
  función Lagrangiana

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Representación Geométrica

• Programa Matemático Un portafolio eficiente,
  siempre maximiza la pendiente en el punto de
  tangencia.

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Teorema de Black

• Una combinación convexa de dos portafolios
  eficientes produce otro portafolio eficiente.
• Demostración Las soluciones normalizadas al
  sistema lineal son cerradas bajo combinaciones
  convexas.

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Teorema del Fondo Mutuo

• Un portafolio eficiente puede expresarse como
  combinación convexa de dos portafolios
  eficientes.
• Justificación
• Sistema de ecuaciones lineales basado en la
  matriz de covarianza S
• Inversa de la matriz de covarianza

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Multiplicadores de Lagrange y Retorno Esperado
39
(No Transcript)
40
Definición de Nuevos Portafolios Eficientes
41
Parámetros, Retornos y Riesgo.

• Condiciones

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Elipse de correlación nula.Espacio de
Portafolios Eficientes

• Conclusiones
• No hay dos portafolios eficientes completamente
  in-correlacionados.
• Todos los portafolios eficientes están
  correlacionados positivamente.

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Activos sin Riesgo

• Implicaciones de la Correlación
• Correlación para dos Activos

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Activos sin Riesgo

• Activo sin riesgo Activos Riesgosos

45
Línea de Mercado de Capital
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• Pendiente de la Línea de Mercado Capital
• P es un portafolio eficiente y A es cualquier
  portafolio factible.

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Formula General para la Línea de Mercado de
Capital

• Para cualquier portafolio A factible
  y P eficiente.
• Portafolio con Activos sin Riesgo.

48

• Portafolios con Activos sin Riesgo
  Endeudamiento
• Teorema de Separación Activo sin Riesgo
  Portafolio Eficiente.

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Curvas de Indiferencia
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• Problema
• Minimizar
• Sujeto a
• El Lagrangiano es
• Condiciones de Primer Orden

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• Riesgo-Retorno
• Conjunto Envolvente

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Frontera Eficiente

• Teorema de Separación
• Un portafolio eficiente con activos sin riesgo es
  la elección con aversión al riesgo entre un
  activo sin riesgo y un portafolio eficiente
  compuesto solamente de activos con riesgo
  Portafolio de Mercado.

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Portafolio Eficiente

• Condiciones de Primer Orden
• Nuevos Portafolios

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Propiedades

• Línea de Mercado del Activo

55
Índice Beta

56
Bibliografía

• Portfolio Selection, Harry Markowitz, 1959.
• An analytic derivation of the efficient
  portfolio frontier, Robert Merton, J. of
  Financial and Quantitative Analysis, 1972.
• Portfolio Theory and Capital Markets, William
  Sharpe, 1970.
• Mean Variance Analysis in Portfolio Choice and
  Capital Markets, Harry Markowitz, 1987.
• Continuous Time Finance, Robert Merton, 1990.
• Investments, W. Sharpe and G. Alexander, 1990.
• Active Portfolio Management, Grinold and Kahn,
  2000.
• Financial Modeling, Simon Benninga, 2000.
• Mathematics for Finance, Capinski and
  Zastawniak
• Modern Portfolio Theory and Investment, Elton,
  et. al.