Inversi

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Inversión sísmica con redes bayesianas

• Alumno Fidel Reyes Ramos
• Asesor Dr. Guillermo Morales Luna

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Contenido

• Introducción
• Objetivo
• Descripción
• Presentación de modelos
• Perspectivas

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Motivación

• La predicción de propiedades de rocas es
  importante debido a que
• Se describe la estructura geológica de los
  yacimientos
• Con ello, se planea su exploración, producción y
  costo.

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Objetivos

• Encontrar relaciones de dependencia entre
• Propiedades físicas de las rocas
• A) Determinar la incertidumbre en los cálculos
• B) Mediante modelos dinámicos
• Propiedades físicas entre diferentes pozos
• A) Dirigidas por la proximidad entre los pozos
• B) Mediante Redes Bayesianas

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Metodología

• Construir redes bayesianas que describan las
  relaciones de dependencia entre
• Propiedades físicas de las rocas
• Propiedades entre diferentes pozos petroleros

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Registros de pozos
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Cálculo de propiedades de roca (1/2)

• Las propiedades de roca se determinan por modelos
  bien conocidos. Tales modelos
• Son escogidos de acuerdo a la hipótesis de la
  geología subyacente
• Tienen parámetros que dependen de esta geología
• Se les calcula algorítmicamente como se muestra
  enseguida.

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Cálculo de propiedades de roca (2/2)
VCL
Rt
Litofacies
Mineralogía
Porosidad
IFr
K
SW
F
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Inversión

• Es todo aquel procedimiento que hace corresponder
  un modelo a una serie de datos dados (Scales,
  2000)

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Métodos de estudio

• Determinación de propiedades mediante
  formulamientos de geofísica
• El que aquí se propone Resolver el problema
  inverso por medio de redes bayesianas

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Incertidumbres por modelar

• El modelo probabilístico es apropiado debido a
  que ahí se expresa factores inciertos como
• Ruido en los datos
• Criterios para decidir si los factores modelados
  son suficientes para el caso de estudio.

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Problemas al estudiar un yacimiento

• Los datos que se toman tienen ruido y su
  apreciación un nivel de incertidumbre, debido al
  gran número de factores que intervienen en su
  adquisición
• La fluctuación de los datos parece aleatoria ya
  que hay procesos involucrados que no se conocen
  con certeza

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Expresión probabilística de un modelo geofísico

• Tarantola (1987) propone incluir esta
  incertidumbre mediante la expresión
• donde g(D) es el modelo geofísico y
• CD es la matriz de covarianza que incluye las
  incertidumbres del modelo

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Antecedentes de la aplicación de este enfoque

• Loures, Luiz G., Bayesian porosity inference
  using rock physics and geostatistical modeling,
  Geophysics, CSEG, 2002.
• Mukerji, T., Jorstad, A., Makvd, G, Granil, J.,
  Applying statistical rock physics and seismic
  inversion to map lithofacies and pore fluid
  probabilities in a North Sea reservoir, URE,
  Norgewian University of Science and Technology ,
  2002
• Peres Gouveia, W., Bayesian Seismic Waveform
  Inversion, Ph. D. Doctoral dissertation, Colorado
  School of Mines, 1996.

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Propiedad concreta Cálculo de volúmenes de
minerales

• Volúmenes de minerales Describen la composición
  de minerales en las rocas
• Entradas
• Datos del pozo Densidad, Porosidad, Sónico

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Centroides
calcita dolomita
lutita fluido Densidad 2.71
2.87 2.5 1.0 Sónico 46.0
43.5 90.0 189.0 Porosidad 0.01
2.5 30.0 100.0

• Son los valores característicos de Densidad,
  Porosidad y Sónico medidos en el laboratorio de
  minerales puros
• En un crossplot de los datos del pozo, estos
  datos representan centroides

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Ejemplo

• Sea una sección de roca que se compone de
• 20 Calcita (Azul)
• 60 Dolomita (Rosa)
• 15 Lutita (Verde)
• 5 Porosidad (Blanco)

Reproducción de datos Multiplicar la matriz de
centroides por los volúmenes
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Cálculo de volúmenes de minerales

• Vi y Phi son las incógnitas
• Los otros términos en las ecuaciones son datos de
  los centroides
• Los términos independientes son los datos del
  pozo
• Restricción

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Definiciones

• Espacio latente El espacio de
  soluciones posibles del simplejo positivo de
  dimensión 4 con K elementos.
• un conjunto de datos de un pozo
• un conjunto
  de centroides de los minerales supuestos
• una matriz para realizar una
  trans-formación lineal entre X y Y

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Transformación entre espacios
Transformación
Espacio de Soluciones (Latente)
Espacio de Datos
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Definiciones 2

• p la probabilidad uniforme sobre todos los
  elementos del espacio latente
• Probabilidad condicional de cada por cada
• Probabilidad marginal

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Problema

• Maximizar el logaritmo de la probabilidad
  conjunta

23
Solución

• Sea una densidad de de
  probabilidad (no-nula), entonces

(1)
Desigualdad de Jensen
La probabilidad posterior es La cota (1) se
maximiza usando la probabilidad posterior
24
Solución

• Al sumar (1) sobre todos los datos , se
  obtiene
• donde

25
Solución

• Al derivar por los miembros del conjunto de
  parámetros y despejar cuando las derivadas son
  cero, se tiene
• Para obtener W se utilizó la Descomposición de
  Valor Singular

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Comentarios

• A este método de solución se le denomina
  varacional (Grahramani et al, 1999)
• Al experimetar con probabilidad a priori,
  convergió más rápido, si una de ellas es mucho
  más grande que las otras
• Se está trabajando para un número arbitrario de
  minerales

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Algoritmo implementado para calcular volúmenes

• Algoritmo CalculaVolumenes
• Entradas
• Conjunto X
• Conjunto Y
• Matriz de Centroides A
• Tolerancia Eps
• Salida Para cada encontrar un
  tal que sea máxima
• Parámetros

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Algoritmo

• BEGIN
• Inicializar parámetros, Lant y L
• Mientras fabs (Lant - L) gt Eps
• BEGIN
• PASO E Calcular L y para cada
  y
• Paso M Calcular
• Lant L
• END
• END

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Convergencia

• (Neal and Hinton, 1998) Probaron que
• Maximizar por una parte, L con respecto a
• Y luego maximizar L con respecto a
• Maximiza la probabilidad conjunta
• (Dempster et al, 1977) Probaron que cada
  iteración de este algoritmo es no decreciente (y
  es acotada) por tanto debe converger.
• ATENCION Probaron la convergencia, mas no la
  tasa de convergencia!

30
Resultados
31
Resultados
32
Método Tradicional de Cálculo
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Incorporación de conocimiento previo

• Sea la base canónica en
• Sea una probabilidad dada sobre cada
  vector
• La probabilidad de cada ahora es
• Y la probabilidad marginal es

34
Incorporación de conocimiento previo

• La probabilidad de cada ahora es
• La probabilidad posterior es

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Incorporación de conocimiento previo

• Una nueva cota para L es
• Que tendría las mismas soluciones que para el
  caso anterior excepto que la probabilidad a
  posteriori y para cada dato se calcula diferente

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Convergencia L
37
Convergencia W
38
Convergencia Varianza
39
Px (.3,.1,.3,.3)
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Publicaciones presentadas

• Póster Reyes Ramos, Fidel y Molina Félix, Luis
  Carlos, Lithofacies characterization by means of
  Generative Topographic Maps, IJCAI, Acapulco,
  Agosto de 2003
• Sometido como Reyes-Ramos Fidel Conditional
  Inversion for Mineral Volumen Characterization,
  2004 International Conference and Exhibition of
  the AAPG, Cancún 2004

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Problemas por resolver

• Condicionamiento automático
• Maximizar
• Sujeto a
• Método de solución Multiplicadores de Lagrange

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Aceleración de Convergencia

• Aplicar algún método de optimización (de
  direcciones conjugadas o gradiente) con el fin de
  acelerar la convergencia

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Volúmenes condicionales

• Definición Sea un
  conjunto de variables aleatorias que representan
  volúmenes de minerales
• Una red bayesiana de U es el par
  donde G es un grafo dirigido, un conjunto de
  parámetros
• La red bayesiana expresa un nodo es
  independiente de sus no descendientes dado sus
  padres (???)
• La red bayesiana expresa una probabilidad
  conjunta de las variables aleatorias

Pozo 1
Pozo 2
Pozo 5
Pozo 3
Pozo 6
Pozo 4
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Método para generar modelos Triangulación de
Delaunay

• Definición Dado una serie de puntos en el plano,
  una triangulación de Delaunay se forma de
  triángulos cuyo ángulo mínimo sea el mayor
  posible
• Los vértices de cada triángulo caen en el
  perímetro de un círculo, el cual no incluye a
  otro punto.
• Su construcción se realiza en tiempo de O(nlogn)
  (Knuth et al)