PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

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PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE

• Logica Matematica

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PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA

• AA
• 2) (A A)
• 3) A v A

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INDIMOSTRABILI DI CRISIPPO

1. Se p, allora q. Ma p dunque q. ( es. Se é giorno,
   c'é luce. Ma é giorno, dunque c'é luce)
2. Se p, allora q. Ma non q, dunque non p ( es . Se
   é giorno, c'é luce. Ma non c'é luce, dunque non é
   giorno )
3. Non possono essere p e q insieme. Ma p, dunque
   non q ( es . Non può essere insieme giorno e
   notte. Ma é giorno, dunque non é notte )
4. O p o q. Ma p, dunque non q ( es . O é giorno o é
   notte. Ma é giorno, dunque non é notte)
5. O p o q. Ma non q, dunque p ( es . O é giorno o é
   notte. Ma non é notte, dunque é giorno)

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PROPOSIZIONI E CONNETTIVI
Una proposizione atomica è unespressione di
senso compiuto formata da un soggetto, un
predicato ed eventuali complementi per la quale
abbia senso chiedersi se è vera o falsa. Le
proposizioni composte si ottengono da quelle
atomiche tramite i connettivi 1) v
vel (disgiunzione inclusiva) 2) aut
(disgiunzione esclusiva) 3) ? se
allora (implicazione logica) 4) lt?gt se e
solo se (coimplicazione logica) 5) ? et
(congiunzione logica)
5
TAVOLA DELLE VERITÀ
P Q P ?Q P? Q P Q P?Q Plt?gtQ
F F F F F V V
F V F V V V F
V F F V V F F
V V V V F V V


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VERIFICA CON ESEMPIO

• Stasera vado al cinema o in pizzeria
• Non vado al cinema
• -------------------------------- (corretto)
• Vado in Pizzeria
• Un esempio di ragionamento scorretto (detto anche
  paralogismo) è invece il seguente
• Se la benzina finisce allora la macchina si ferma
• La benzina non finisce
• ---------------------------------(non corretto)
• Allora la macchina non si ferma

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PROBLEMINO LOGICO

• Antonio afferma che Barbara mente
• Barbara afferma che Carlo mente
• Carlo afferma che Antonio e Barbara mentono
• E facile accorgersi che Antonio non può dire il
  vero, altrimenti Barbara direbbe il falso, da cui
  Carlo direbbe il vero Antonio e Barbara
  mentono. Quindi avremmo che Antonio mente e
  non mente , contraddizione. Quindi Antonio
  mente, Barbara dice il vero e Carlo mente.

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QUANTIFICATORI

• In logica ci sono i quantificatori universale e
  esistenziale che corrispondono rispettivamente
  alle espressioni ogni cosa e qualcosa
• In simboli
• per ogni
• esiste almeno un

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CANTOR

• Cantor
• Dato un insieme X, l'insieme delle parti di X
  (cioè l'insieme formato da tutti i possibili
  sottoinsiemi di X) ha sempre cardinalità maggiore
  di quella di X.

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DIMOSTRAZIONE TEOREMA DI CANTOR (DIAGONALE DI
CANTOR)
Sia A N e P(A) linsieme dei sottoinsiemi di N.
Si suppone, per assurdo, che esista una
corrispondenza biunivoca tra gli elementi di N e
i sottoinsiemi di N. Si costruisce una tabella
nelle cui colonne sono inseriti i numeri naturali
e nelle righe i sottoinsiemi, il primo insieme è
quello dei numeri pari e così via.
1 2 3 4 .
Pari NO SI NO SI
Dispari SI NO SI NO
Primi NO SI SI NO
Multipli di 3 NO NO SI NO
.
Nuovo SI SI NO SI
Questo nuovo sottoinsieme non è corrispondente di
nessun numero naturale, non si trova in alcuna
riga della tabella.
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CANTOR E LINFINITO

• 1.Supponiamo per assurdo che l'intervallo 0,1
  sia numerabile.
• 2.ciò implica che gli elementi di 0,1 possono
  essere posti in corrispondenza biunivoca con i
  numeri naturali dando luogo ad una successione di
  numeri reali r1, r2, r3, ... che esaurisce
  tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1.
• 3.Possiamo rappresentare ciascun numero della
  successione in forma decimale e visualizzare la
  successione di numeri reali come una matrice
  infinita che avrà più o meno quest'aspetto
• r1 0, 5 1 0 5 1 1 0 ...
• r2 0, 4 1 3 2 0 4 3 ...
• r3 0, 8 2 4 5 0 2 6 ...
• r4 0, 2 3 3 0 1 2 6 ...
• r5 0, 4 1 0 7 2 4 6 ...
• r6 0, 9 9 3 7 8 3 8 ...
• r7 0, 0 1 0 5 1 3 5 ...
• ...
• In realtà ci sono numeri che hanno più di una
  rappresentazione decimale quelli che terminano
  con una sequenza infinita di 9 o di 0 ne hanno
  due, in tal caso conveniamo di prendere la
  rappresentazione che termina con 0.
• 4.Costruiamo un r tale che abbia la prima cifra
  decimale diversa da quella r1, la seconda cifra
  decimale diversa da quella di r2, la terza cifra
  decimale diversa da quella di r3, e così via...
• 5.Si deduce dunque che r non è nell'elenco
  mostrato, il quale aveva lo scopo di enumerare
  tutti i numeri reali compresi nell'intervallo
  0,1. L'intervallo in questione dunque non è
  numerabile e a maggior ragione non lo è R.

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COROLLARI DEL TEOREMA

• Ogni insieme infinito può essere messo in
  corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme
  proprio
• Un segmento è equipotente ad una retta
• Un segmento è equipotente ad un quadrato
• Indicata con L la cardinalità di N, linsieme
  delle parti di N, cioè P(N), ha cardinalità
  maggiore di
• Tale cardinalità è chiamata cardinalità del
  continuo
• Risulta lt 2
• In particolare linsieme dei numeri reali ha la
  cardinalità del continuo.

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TORRI DI CANTOR

• 
  ..
• PPPPX Y PPPPY
  Z
• PPPX
  PPPY
• PPX
  PPY
• PX ..
  PY
• X PPPPZ
  Y
• PPPZ
• PPZ
• PZ
• Z

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ANTINOMIE

• Paradosso del mentitore
• Io dico Sto mentendo .
• Ho detto la verità ??
• CELEBRI
• Russell
• Consideriamo linsieme di tutti gli insiemi che
  non sono elementi di se stessi. Se esso è un
  elemento di se stesso, allora non è un elemento
  di se stesso. Se non lo è, lo è.

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REALIZZATO DA

• Serena Pinelli
• Andrea Raia
• Marco Preziosi
• Giuseppe Iodice