I numeri celebri

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I numeri celebri

• Dai numeri naturali ai numeri complessi

13/09/2004
2
Un tentativogenealogico
Lalbero dei numeri, liberamente tratto dal libro
I numeri celebri di Luciano Cresci, rappresenta
un tentativo di indicare schematicamente soltanto
le principali suddivisioni dei numeri, senza
alcuna pretesa di esaustività, anzi sono stati
trascurati rametti vari, per evitare di
complicare la raffigurazione.
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Precisazioni

• Ogni diramazione, visibile nellalbero dei numeri
  (che compare nella seconda diapositiva),
  rappresenta un sottoinsieme proprio della
  diramazione precedente.
• Ipotizzo sicuramente futuri sviluppi nellambito
  della ricerca matematica, grazie ai quali
  potranno sorgere nuove diramazioni

4
I numeri naturali N

• Sono i numeri interi positivi.
• Zero è un numero naturale? A tale domanda, Mario
  Ferrari, dellUniversità di Pavia, risponderebbe
  che cè il diritto di libertà. Noi lo collochiamo
  tra i numeri naturali, ma chi non è daccordo è
  libero di non collocarlo. Georg Cantor ha
  affermato Lessenza della matematica è la
  libertà.

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I numeri cardinali

• Linsieme dei numeri naturali è un insieme
  infinito il numero cardinale di tale insieme non
  è un intero naturale e si dice numero
  transfinito la potenza dellinsieme dei numeri
  naturali si dice potenza del numerabile, o
  semplicemente si dice che linsieme dei numeri
  naturali è numerabile.
• Un insieme si dice finito se il suo numero
  cardinale è un numero naturale, altrimenti si
  dice infinito.
• Il numero cardinale, o potenza di un insieme A, è
  la classe degli insiemi che possono essere posti
  in corrispondenza biunivoca con A.

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Esempio

• Quando si considera, ad esempio, il numero
  naturale 9, sintende un insieme composto da 9
  elementi e 9 rappresenta la cardinalità
  dellinsieme 9.

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Numeri tranfiniti

• Il numero cardinale dellinsieme dei numeri
  naturali è un numero transfinito.
• Cantor stabilì di chiamare aleph 0 il numero
  cardinale dellinsieme costituito da uninfinità
  di elementi che possano essere contati.

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Comè possibile numerare un insieme infinito?
(1/3)

• Il termine numerabile è dovuto al fatto che, se
  un insieme qualunque A è numerabile, stabilendo
  una corrispondenza biunivoca tra A e linsieme
  dei numeri naturali, si possono numerare gli
  elementi di A.
• Consideriamo, ad esempio, linsieme A formato da
  tutti i numeri quadrati 1, 4, 9,16Essi possono
  essere messi in corrispondenza biunivoca con i
  numeri naturali
• 1 2 3 4
• 1 4 9 16

9
Comè possibile numerare un insieme infinito?
(2/3)

• Qualunque sia il numero quadrato, esisterà sempre
  uno e un solo numero naturale corrispondente
  quindi i numeri quadrati si possono numerare alla
  stessa stregua dei numeri naturali.

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Comè possibile numerare un insieme infinito?
(3/3)

• Perciò, anche linsieme dei numeri quadrati, che
  è un sottoinsieme dei numeri naturali, ha lo
  stesso numero cardinale dellinsieme di questi
  ultimi.
• Se ne deduce che un insieme infinito può essere
  messo in corrispondenza biunivoca con un suo
  sottinsieme, cioè con una sua parte.

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I numeri ordinali transfiniti

• Si dice numero ordinale il numero associato a un
  insieme ordinato che caratterizza, oltre alla
  quantità degli elementi che lo compongono, anche
  lordine in cui gli elementi sono disposti.
• E Georg Cantor (1845-1918) ad aver esteso
  allinfinito anche gli ordinali, creando così i
  numeri ordinali transfiniti.

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Primo principio

• Sono due i principi che presiedono alla
  generazione degli ordinali
• Il primo principio è il seguente di ogni
  ordinale a si può fare il successore, indicato
  con a 1
• Indicando con 0 il più piccolo ordinale e
  applicando ripetutamente tale principio, si
  ottiene una successione di ordinali
• 0, 1, 2, 3,,n

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Il numero omega

• Georg Cantor aggiunge il numero omega (?)
  definendolo così Un nuovo numero, che
  indichiamo con omega,, che possiamo immaginare
  come il limite a cui tendono i numeri n, che cioè
  deve essere dichiarato superiore a ogni numero n.

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Secondo principio

• Il numero ? supera la successione infinita degli
  ordinali finiti e termina, quindi, con un numero
  infinito, o transfinito.

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Applicazione del primo principio

• Applicando il primo principio,che presiede alla
  generazione degli ordinali, otteniamo la
  successione
• 0,1, 2, 3,,n,, ?, ?1, ?2,?n

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Applicazione del secondo principio

• Passando al secondo principio che presiede alla
  generazione degli ordinali, si ottiene
• lim (? n), che si indica con ?? ?2
• Si dice ?2 e non 2?, in quanto negli ordinali
  transfiniti le proprietà commutative usuali
  dellaritmetica non sono più valide.

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Spiegazione (1/2)

• Se sommo un numero finito, per esempio 1, a un
  numero infinito come ?, il risultato sarà ancora
  ? mentre se sommo 1 non a ?, ma partendo da ?,
  ho ? 1. Quindi la proprietà commutativa non è
  più valida.

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Spiegazione (2/2)

• Se si considera 2?, cioè ? coppie dellordinale
  2, poste bene ordinate una dietro laltra, si
  ottiene un insieme ordinato il cui numero
  ordinale è ?. Se, invece, si considera un
  ordinale costituito da due ?, uno dietro laltro,
  si ottiene lordinale ? ?, che si indica con
  ?2

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I numeri primi

• Un numero naturale pgt1 è primo se ha esattamente
  due divisori
• I primi numeri della serie sono 2, 3, 5, 7, 11

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I numeri composti

• Un numero naturale p è composto se ha più di due
  divisori.
• Un record appartiene al numero 7560, che vanta
  ben 64 fattori divisori e, nellambito di tutti i
  numeri fino a 10.000, il suo record è imbattuto,
  anche se eguagliato da 9240.

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I numeri fattoriali

• Sono contrassegnati dal punto esclamativo n
  fattoriale si scrive n!
• Il simbolo fu introdotto nel 1808 in Germania da
  Christian Kramp, a significare lo stupore per la
  rapidità con cui il fattoriale di n cresce al
  crescere di n.

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I numeri perfetti

• Un numero si dice perfetto se è uguale alla somma
  dei suoi divisori, inclusa lunità, ma escluso il
  numero stesso
• 6 e 28, ad esempio, sono numeri perfetti, perché
• 6 1 2 3
• 28 1 2 4 7 14

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I numeri poligonali

• Il nome di questi numeri poligonali deriva dalle
  disposizioni di punti che sono state studiate
  almeno fin dai tempi di Pitagora (circa 540 a.C.)
• Tali numeri comprendono i numeri triangolari, i
  numeri quadrati, i numeri pentagonali, ecc.

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I numeri triangolari

• Sono esprimibili mediante la formula
  n(n1)/2
• Quindi i primi numeri della serie sono 1, 3,
  6, 10, 15, 21

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I numeri quadrati

• Ogni numero quadrato n2 è la somma di due
  numeri triangolari successivi.
• Esempi rispettivamente con n4 n5 n6
• 42 16 6 10
• 52 25 10 15
• 62 36 15 21

26
I numeri pentagonali

• Sono dati dalla formula n(3n 1)/2
• I primi numeri della serie sono 1, 5, 12, 22,
  35
• Ogni numero pentagonale può essere ottenuto
  dalla somma di tre numeri triangolari
• 5 1 1 3
• 12 3 3 6
• 22 6 6 10
• Ecc.
  

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Numeri esagonali e numeri eptagonali

• I numeri esagonali sono dati dalla formula
  n(2n 1)
• I primi numeri della serie sono 1, 6, 15, 28,
  45
• I numeri eptagonali sono dati dalla formula
  n(5n 3)/2
• I primi numeri della serie sono 1, 7, 18, 34

28
I primi numeri della serie dei numeri esagonali
ed eptagonali
29
I numeri interi relativi Z

• I numeri naturali costituiscono un sottoinsieme
  proprio di un insieme più generale, che è quello
  dei numeri interi relativi, cioè dei numeri
  contraddistinti dal segno positivo o negativo.
• Anche linsieme dei numeri interi relativi è
  numerabile.

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I numeri razionali Q (1/2)

• I numeri razionali si compongono di una parte
  intera e di una parte decimale, il periodo,
  formato da un numero finito di cifre, che si
  ripete indefinitamente. Se il periodo è 0, il
  numero decimale si dice limitato,(e il periodo
  non si scrive) se il periodo è diverso da 0, il
  numero si dice illimitato periodico.
• I numeri razionali sono esprimibili mediante un
  rapporto di interi, quindi mediante frazioni.
• Linsieme dei numeri razionali è numerabile.

31
I numeri razionali Q (2/2)

• La potenza dellinsieme dei numeri razionali è
  ancora numerabile, è cioè la stessa
  dellinsieme dei naturali. (Come è stato
  dimostrato da Georg Cantor, i due insiemi si
  possono contare e possono, quindi, essere messi
  in corrispondenza biunivoca).

32
I numeri irrazionali (1/2)

• I numeri irrazionali sono numeri non interi e non
  esprimibili mediante un rapporto di interi.
• La scoperta dellesistenza di grandezze tra loro
  non confrontabili numericamente, cioè
  incommensurabili, sconvolse i pilastri
  concettuali della scuola pitagorica, che riteneva
  i numeri interi come misura di tutte le cose. I
  pitagorici si resero conto che il rapporto tra il
  lato di un quadrato e la sua diagonale non può
  essere espresso da numeri interi.

33
I numeri irrazionali (2/2)

• Il rapporto tra la diagonale d di un quadrato e
• il suo lato a, cioè d/a vale V2, che non è
  esprimibile come rapporto di due numeri interi.

34
I numeri reali R (1/2)

• I numeri razionali e irrazionali costituiscono
  nel loro insieme i numeri reali.
• Un numero reale x si dice algebrico se è
  soluzione di unequazione del tipo
• anxn an-1xn-1 ... a1x a0 0
• dove ogni aj (j 1,...,n)è un intero
• Un numero reale non algebrico si dice
  trascendente e necessariamente esso è un numero
  irrazionale.

35
I numeri reali R (2/2)

• Georg Cantor (1845-1918) ha dimostrato che sono i
  numeri irrazionali trascendenti, presenti in
  numero infinito in qualsiasi intervallo
  prefissato, a conferire ai reali la densità
  necessaria per generare una potenza maggiore del
  numerabile quindi linsieme dei numeri reali non
  è più numerabile. La presenza dei numeri
  irrazionali trascendenti nel corpo dei numeri
  reali fa sì che la potenza del loro insieme sia
  la potenza del continuo, maggiore della potenza
  del numerabile.
• La cardinalità dellinsieme dei numeri reali è
  espressa dal numero cardinale aleph 1.

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I numeri trascendenti (1/2)

• Il numero trascendente non è un numero algebrico,
  quindi non è soluzione di unequazione algebrica
  con coefficienti razionali e con un numero finito
  di termini.
• Nel 1873 Charles Hermite (1822-1901) ha
  dimostrato che il numero e, base dei logaritmi
  naturali,definito come elim(n??) (11/n)n
  non poteva essere la soluzione di alcuna
  equazione algebrica a coefficienti razionali.

37
I numeri trascendenti (2/2)

• Nel 1882 è stato Carl Ferdinand Lindermann
  (1852-1939) a raggiungere la prova che anche p è
  trascendente infatti non può essere il risultato
  di unequazione algebrica.
• Aleph-uno è la potenza di Infinito associata ai
  numeri irrazionali trascendenti.

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SCHEMA di sintesi, relativo ai NUMERI REALI
Aleph-zero
Naturali
Aleph- zero
Numeri reali
Aleph-zero
Razionali
Aleph-uno
Non interi
Aleph-zero
Algebrici
Aleph-uno
Irrazionali
Aleph-uno
Trascendenti
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I numeri complessi C (1/2)

• E stato C.F.Gauss (1777-1855) a coniare il
  termine numeri complessi per quei numeri a
  coppia abi
• dove a e b sono numeri reali, e i V-1 si
  definisce unità immaginaria.
• Essendo i V-1, ne consegue che
• i2 (V-1) (V-1) -1
• i3 i2 i -1 i - i
• a bi e a bi si dicono numeri complessi
  coniugati il loro prodotto è uguale a
• (a bi)(a bi)a2 b2

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I numeri complessi C (2/2)

• Linsieme dei numeri complessi può essere pensato
  sia come unestensione dei reali, sia come
  unestensione degli immaginari e raccoglie le
  proprietà caratteristiche degli uni e degli altri
  (inoltre rende possibile lesecuzione
  delloperazione di radice, senza restrizioni).
•  

41
I numeri infinitesimi e iperreali (1/4)

• E stato lamericano Abraham Robinson (1918-1974)
  a sviluppare negli anni sessanta la non-standard
  analysis che introduce, a fianco dei numeri
  reali, i numeri iperreali, comprendenti anche i
  numeri infinitesimi.

42
I numeri infinitesimi e iperreali (2/4)

• Alcune informazioni base saranno sufficienti per
  introdurre linnovativa impostazione di A.
  Robinson. Si parte dagli infinitesimi un
  infinitesimo (limitandoci ai positivi) è un
  numero maggiore di zero e inferiore a qualsiasi
  numero reale positivo. Rispetto a Leibniz,
  secondo il quale gli infinitesimi erano delle
  variabili, Robinson attribuisce agli epsilon la
  dignità di numeri ben determinati la categoria
  dei numeri iperreali è linsieme dei reali e
  degli infinitesimi. Gli infinitesimi vengono,
  così, promossi a numeri veri e propri e si può
  parlare di due numeri iperreali infinitamente
  vicini se la loro differenza è rappresentata da
  un numero infinitesimo.

43
I numeri infinitesimi e iperreali 3/4

• Un numero iperreale finito ha la forma
• a ?
• dove a è un consueto numero reale ed ? un
  infinitesimo.
• Intorno a un numero iperreale a finito esiste un
  alone di numeri infinitesimi, che costituiscono
  linsieme dei numeri a?. Tale insieme viene
  detto, in omaggio a Leibniz, monade ed è indicato
  con µ(a).

44
I numeri infinitesimi e iperreali 4/4

• Per i numeri iperreali valgono le stesse
  operazioni dei reali ma il cosiddetto assioma di
  Archimede (che afferma Dato un numero reale a,
  esiste un numero intero n tale che na è maggiore
  di qualsiasi altro numero reale b.) nellanalisi
  nonstandard deve essere abbandonato.

45
I numeri immaginari I (1/3)

• Fu Raffaele Bombelli (sec. XVI) a fornire per
  primo lidea di pensare a ununità immaginaria
  detta i, tale che il suo quadrato fosse lunità
  negativa, cioè i2 - 1. Bombelli fornì anche
  regole algoritmiche su tale entità. Ancora nel
  1702 Leibniz esplicitava, forse, limbarazzo dei
  matematici riguardo a questa idea assurda di un
  quadrato negativo, dal momento che egli scriveva
  a proposito del numero immaginario Miracolo
  dellanalisi, mostro del mondo ideale, quasi
  anfibio tra essere e non essere.

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I numeri immaginari I (2/3)

• Un numero immaginario è il prodotto tra un numero
  reale e lunità immaginaria.
• Ad esempio i, 6i, (8/5)i, sono tutti numeri
  immaginari.
• Anche 0 si può pensare come 0i, quindi come
  numero immaginario.

47
I numeri immaginari I (3/3)

• Per comprendere lentità di tali numeri,
  analizziamo i rispettivi quadrati dei numeri che
  sono stati scelti ad esempio
• (6i)2 36(-1) - 36
• (ì8/5)2 i264/25 (-1)64/25 -(64/25)

48
Operazioni elementari in I

• In I si possono anche definire le solite
  operazioni elementari. Basterà trattare i come se
  fosse una qualsiasi lettera e dunque applicare le
  regole scolastiche del calcolo letterale, non
  dimenticando che i2 -1
• Esempi
• Addizione 6i 7i 13i
• Sottrazione 6i 7i - i
• Moltiplicazione 6i3i 18i2 -18
• Divisione 6i / 3i 2

49
I quaternioni (1/2)

• Lestensione a una terza dimensione delle
  proprietà peculiari del piano complesso
  impegnarono a lungo lirlandese William Rowan
  Hamilton (1805-1865) il passaggio dai numeri
  complessi aib a terne ipercomplesse aibjc,
  essendo i e j operatori simili, eluse per oltre
  dieci anni i suoi tentativi, non per loperazione
  di somma, facile, ma per la moltiplicazione.

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I quaternioni (2/2)

• Nel 1843 ebbe lilluminazione, mentre passeggiava
  con la moglie doveva usare quaterne numeriche
• abicjdk
• invece di terne, con a, b,c,d numeri reali e i,
  j, k aventi la stessa proprietà di i, cioè
  i2j2k2-1 e, sacrificando la proprietà
  commutativa della moltiplicazione, fare inoltre
  ij k, ma ji -k e ki j e ik -j
• Le quattro unità 1, i, j, k e le loro opposte 1,
  -i, -j, -k formano un gruppo dellottavo ordine
  non commutativo, detto gruppo dei quaternioni.

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Ottetti o numeri di Carley

• Sulla scia di Hamilton (che fu il primo a
  presentare un lavoro completo sui quaternioni), è
  fiorita tutta una serie di nuove algebre, tra cui
  lalgebra di Arthur Cayley (1821 1895),
  brillante studente a Cambridge, che formulò una
  teoria con 7 radici immaginarie di 1, creando
  così
• un algebra di numeri a otto dimensioni. Tali
  numeri, chiamati ottetti o numeri di Cayley, sono
  utilizzati nello studio di spazi a n dimensioni.