Rappresentazione dei numeri positivi e negativi

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Rappresentazione dei numeri positivi e negativi

• Esiste un problema come rappresentare i numeri
  negativi
• Prima soluzione rappresentazione in Modulo e
  Segno (anche detta Binario Naturale)
• Si utilizza un bit per rappresentare il segno
  del numero considerato
• 0 ? (numero positivo)
• 1 ? - (numero negativo)
• Se consideriamo un byte, rimangono ora 7 bit per
  il modulo del numero i numeri rappresentabili
  sono perciò ?0-127

/- b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
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Rappresentazione dei numeri positivi e negativi
Significato in modulo e segno Rappresentazione binaria Significato in valore assoluto
7 0 111 7
6 0 110 6
5 0 101 5
4 0 100 4
3 0 011 3
2 0 010 2
1 0 001 1
0 0 000 0
-0 1 000 8
-1 1 001 9
-2 1 010 10
-3 1 011 11
-4 1 100 12
-5 1 101 13
-6 1 110 14
-7 1 111 15

• Consideriamo per
• semplicità solo 4 bit.
• In modulo e segno
• In valore assoluto

/- b2 b1 b0
b3 b2 b1 b0
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Rappresentazione dei numeri in Modulo e Segno
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Rappresentazione in modulo e segno problemi

• Addizione e sottrazione sono le operazioni di cui
  si deve disporre per poter realizzare qualsiasi
  operazione aritmetica più complessa
• Si supponga che il calcolatore abbia una Unità
  Aritmetica che realizzi indipendentemente le due
  operazioni.
• Di fronte ad una somma algebrica, il calcolatore
  dovrebbe
• confrontare i due segni
• se uguali, attivare il circuito di addizione
• se diversi, identificare il maggiore (in valore
  assoluto) ed attivare il circuito di sottrazione
• completare il risultato con il segno corretto
• I passi indicati non sono eseguibili
  contemporaneamente perché ognuno dipende dai
  precedenti
• In pratica per effettuare somma e sottrazione si
  ricorre ad un unico circuito, utilizzando un
  metodo che permette di evitare le operazioni di
  confronto

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Complemento alla base di un numero

• Nella rappresentazione in complemento alla base
  con n cifre le bn combinazioni rappresentano
  numeri positivi e negativi.
• In particolare
• le combinazioni da 0 a bn2 - 1 rappresentano i
  numeri positivi, rispettando la usuale
  rappresentazione posizionale
• Le combinazioni da bn2 fino a bn 1
  rappresentano i numeri negativi, con la seguente
  definizione
• dato un numero positivo X, il suo corrispondente
  negativo è dato da
• bn-X

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Complemento alla base 1 di un numero

• Nella rappresentazione in complemento alla base
  1 con n cifre le bn combinazioni rappresentano
  numeri positivi e negativi.
• In particolare
• le combinazioni da 0 a bn2 - 1 rappresentano i
  numeri positivi, rispettando la usuale
  rappresentazione posizionale
• Le combinazioni da bn2 fino a bn 1
  rappresentano i numeri negativi, con la seguente
  definizione dato un numero positivo X, il suo
  corrispondente negativo è dato da
• (bn-1)-X

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Complemento alla base

• b2, n5
• Positivi da 0 a 01111
• Negativi da 10000 a 11111
• X 01011 trovo -X
• 1 0 0 0 0 0 -
• 0 1 0 1 1

b2, n7 Positivi da 0 a 0111111 Negativi da
1000000 a 1111111 X0011000 trovo -X 1 0 0
0 0 0 0 0 - 0 0 1 1 0 0 0
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 0 0
Regola pratica partendo dal bit meno
significativo, si riportano invariati tutti i bit
fino al primo bit a 1 compreso si complementano
i rimanenti bit (0 ? 1, 1 ? 0)
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Complemento alla base -1

• X36, b10, n2
• in complemento alla base -1 è 99 - 36 63
• Si ottiene complementando a 9 ogni singola cifra
• X01011, b2, n5
• -X in complemento alla base -1 è (25 - 1) - X
  (100000 - 1) - X
• 11111 - 01011 10100
• Si ottiene complementando ogni singolo bit (0 ?
  1, 1 ? 0)

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Rappresentazione in complemento Riepilogo

• Rappresentazione in complemento a 2 i numeri
  positivi sono rappresentati dal loro modulo e
  hanno il bit più significativo (segno) posto a 0.
  I numeri negativi sono rappresentati dalla
  quantità che manca al numero positivo per
  arrivare alla base elevata al numero di cifre
  utilizzate, segno compreso. Pertanto i numeri
  negativi hanno il bit del segno sempre a 1
• Metà delle configurazioni sono perciò riservate
  ai numeri positivi e metà ai numeri negativi
• Discorsi analoghi possono essere fatti per basi
  diverse da 2 in base 10 un numero è negativo se
  la prima cifra è ? 5, in base 8 se ? 4, in base
  16 se ? 8

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Rappresentazione in complemento alla base

• Con n bit a disposizione
• Il numero minimo rappresentabile è -2n-1
• Il numero massimo rappresentabile è 2n-1 - 1
• -1 è rappresentato da tutti 1 qualunque sia il
  numero di bit considerato
• Il numero può essere interpretato considerando il
  bit più significativo con segno negativo

b3 b2 b1 b0
N - b3 ? 23 b2 ? 22 b1 ? 21 b0? 20
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Utilità del complemento alla base

• Con la tecnica del complemento si può utilizzare
  un solo circuito per effettuare sia laddizione,
  sia la sottrazione
• Operiamo in base 10 e vogliamo calcolare A B.
• Si supponga di conoscere il risultato
  delloperazione 10 - B (complemento a 10 di B).
  Allora
• A - B A (10 - B) a condizione che si
  trascuri il riporto
• Analogo discorso con k cifre purché si disponga
  del risultato delloperazione 10k B
  (complemento a 10k). Si ricordi sempre di fissare
  il numero di cifre
• Se operiamo in base 2, con k cifre
• A - B A (2k - B) a condizione che si
  trascuri il riporto
• Se si utilizza la tecnica del complemento alla
  base -1 occorre sommare il riporto al risultato
  finale

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Operazioni aritmetiche in complemento

• Esempi con 6 cifre binarie
• Complemento a 2 Complemento a 1
• 19 (-17) 19 (-17)
• 0 1 0 0 1 1
  0 1 0 0 1 1
• 1 0 1 1 1 1
  1 0 1 1 1 0
• 1 0 0 0 0 1 0 (2) 1 0 0 0 0 0 1
• 1
• 0 0 0 0 1 0 (2)

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Operazioni aritmetiche in complemento

• Esempi con 6 cifre binarie
• Complemento a 2 Complemento a 1
• (-17) (-2) (-17) (-2)
• 1 0 1 1 1 1
  1 0 1 1 1 0
• 1 1 1 1 1 0
  1 1 1 1 0 1
• 1 1 0 1 1 0 1 (-19) 1 1 0 1 0 1 1
• 1
• 1 0 1 1 0 0 (-19)

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Operazioni aritmetiche in complemento

• Esempi con 6 cifre binarie
• 19 17
• 0 1 0 0 1 1
  
  0 1 0 0 0 1

1 0 0 1 0 0 (-28)
Si sono sommati due numeri positivi e si è
ottenuto un numero negativo. Il risultato
corretto (36) non è rappresentabile in
complemento a 2 con 6 bit (massimo numero
rappresentabile 31) Il fenomeno si chiama
traboccamento o overflow
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Operazioni aritmetiche in complemento
Esempi con 6 cifre binarie

• Complemento a 2
• (-19) (-17)
• 1 0 1 1 0 1
• 1 0 1 1 1 1

Complemento a 1 (-19) (-17) 1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 (28)
0 1 1 0 1 1 (27)
Si sono sommati due numeri negativi e si è
ottenuto un numero positivo. Il risultato
corretto (-36) non è rappresentabile in
complemento a 2 con 6 bit (minimo numero
rappresentabile -32 in C.a 2 e 31 in C. a
1) Il fenomeno si chiama traboccamento o overflow
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Somma di numeri di N bit in complemento a 2
0 ? A ? 2N-1 -1 0 ? B ? 2N-1 -1 -2N-1 ? A lt 0 0 ? B ? 2N-1-1 0 ? A ? 2N-1 -1 -2N-1 ? B lt 0 -2N-1 ? A lt 0 -2N-1 ? B lt 0
0 ? S ? 2N-2 -2N-1 ? S lt 2N-1-1 -2N-1 ? S lt 2N-1-1 -2N ? S lt 0
Sommando due numeri positivi si ha overflow se si ottiene un numero negativo. S potrebbe non essere rappresentabile in N bit ma lo è sempre in N1 bit. Non ci sono mai problemi di overflow. Non ci sono mai problemi di overflow. Sommando due numeri negativi si ha overflow se si ottiene un numero positivo. S potrebbe non essere rappresentabile in N bit ma lo è sempre in N1 bit.
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Esempi di somma di numeri binari

• Complemento a 2
• 120
• 105
• - 31
• Overflow1

Valore Assoluto 120 105 225 Riporto0
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 1
251 240 235 Riporto1
- 5 - 16 - 21 Overflow0
1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
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Tecnica delleccesso

• Usato per scopi particolari
• Viene sommata una costante fissa, ad esempio con
  n bit pari a 2n-1-1, al numero dotato di segno da
  rappresentare il numero risultante viene
  convertito in binario
• Con questa convenzione il bit di segno è invertito

8 1111
7 1110
6 1101
5 1100
4 1011
3 1010
2 1001
1 1000
0 0111
-1 0110
-2 0101
-3 0100
-4 0011
-5 0010
-6 0001
-7 0000