SISTEMI DI

1

• SISTEMI DI
• RAPPRESENTAZIONE
• DI NUMERI

2
indice sistemi posizionali

• rappresentazione di numeri
• sistema unario
• storia dei sistemi di numerazione
• il sistema latino
• codici posizionali in varie basi
• un quiz
• somme numeri in base 2, 3, ..
• prodotto in binario
• base sedici (esadecimale)
• cambio base
• esercizi
• frazioni
• 0,1 da base 10 a base due
• limiti e overflow

3
indice capitolo numeri con segno

• NUMERI CON SEGNO
• numeri con segno
• numeri in complemento a uno
• somme con segno
• complemento a due
• rappresentazione in eccesso di k
• esercizi sui numeri con segno

4
indice capitolo numeri in virgola mobile

• NUMERI IN VIRGOLA MOBILE
• rappresentazione di n.i grandi/piccoli
• precisione
• limiti
• esercizio
• somma in floating point
• overflow
• standard IEEE 754 floating point
• esercizi
• fine parte numeri

5
rappresentazione di numeri

• codifica dei numeri

6
rappresentazione di numeri

• i primi codici numerici codificavano un numero
  il dato numerico in "unario" per rappresentare
  n si usa un simbolo ripetuto n volte (unario
  ce un solo simbolo, luno)
• uno I sei III III
• due I I sette IIII III
• tre I I I otto IIII IIII
• quattro I I I I nove III III III
• cinque I I I I I
• dieci III II III II e poi?
• venti
• trenta
  
• ma...
• per scrivere cento oppure mille ... e
  unimpresa !!

7
rappresentazione di numeri

• unario per codificare n uso un solo simbolo
  ripetuto n volte
• uno I sei III III
• ... ...
• quattro I I I I nove III III III
• cinque I I I I I
• la rappresentazione unaria va bene per numeri
  piccoli,
• oppure per situazioni teoriche (casi particolari
  di alcune macchine di Turing lo vedremo in
  seguito)
• non va bene per la scrittura abituale
• non va bene per il calcolatore
• ...
• e l'umanita' se ne e' accorta abbastanza presto !

8
rappresentazione di numeri

• per semplificare la rappresentazione di numeri
• circa 5000 anni fa in Egitto, Mesopotamia,
  poi India, Cina, piu tardi in America (centro
  e sud),
• per evitare la ripetizione eccessiva nel caso di
  numeri maggiori di 10
• si introdusse una codifica piu' economica
• si usarono dei simboli diversi per indicare
  
• un gruppo di 10, 20, 30, 100, 500, 1000
  simboli ecc
• Il sistema inizialmente non prevedeva un simbolo
  per indicare il numero zero, ne' per indicare la
  cifra zero
• per un sistema posizionale la cifra zero e'
  importante (indica la mancanza di numeri di quel
  peso) e fu introdotto abbastanza presto nel
  sistema babilonese (600 anni p.c.), poi
  reinventato in india, e poi ritornato nei paesi
  arabi e in Europa.

9
rappresentazione dei numeri i sumeri e i
babilonesi

• sono considerati i piu' antichi i sistemi
  sumero-babilonesi e egiziani - anche perche'
  poco e'rimasto delle prime civilta' indu'
  preindoeuropee

wedgecuneo
10
numeri egiziani
11
numeri egizi
bastone
osso del tacco
rotolo di corda
girino
12
numeri egizi

• un esempio di scrittura di un numero grande
• 46206
• 4 x 10.000 (dito indice ripetuto 4 volte)
• 6 x 1000 (6 fiori di loto)
• 2 x 100 ( 2 rotoli di corda)
• 6 unita' (6 barre)
• (nessuna decina)
• (scritto da destra verso sinistra, ma si legge
  anche se cambia l' ordine di scrittura quello
  che conta e' il simbolo,non la posiz)

13
codifica numeri

• nell'antichita' i numeri erano usati per
  memorizzare quantita' di oggetti e date di
  trattati o donazioni e eventi memorabili,
• e - dove richiesto - posizioni e date di eventi
  astronomici (a uso di predizione per agricoltura
  o per uso del re...)
• molti popoli hanno sviluppato piu' o meno
  autonomamente vari sistemi di numerazione, di
  cui ci interessano alcuni
• babilonesi (base sessanta, posizioni in gradi
  sessagesimali delle stelle e misura del tempo in
  ore, minuti e secondi)
• egiziani (da cui poi i greci e poi i..) gtgt
  romani
• ... di seguito cenni dei sistemi di
  numerazione
• greci e romani
• maya (i primi a inventare lo zero, senza
  effetti
• successivi sul resto del mondo)
• indu' (brahmi-gtdevanagari-gtarabi
  occidentali-gteuropa

14
numerazione greca

• gli antichi Greci erano bravissimi in geometria,
• ma usavano un sistema di scrivere numeri non
  posizionale
• Euclide, Archimede, Tolomeo ecc scrivevano i
  numeri con il sistema greco (da cui il sistema
  romano)
• i numeri "importanti" erano indicati con le
  lettere iniziali della parola usata per indicare
  tale numero (penta,deka,hekta, ... vedi pagina
  seguente
• i matematici greci non usarono il sistema
  posizionale
• un sistema di numerazione efficiente non era
  importante per gli studi di geometria
• gli astronomi greci adottarono dai babilonesi
  l'uso dello zero (lo zero nel sistema posizionale
  Babilonese, usato come marcatore di posizione
  zero, esso era noto a Ptolomeo, ma non era
  considerato un numero, e fu dimenticato)

15
numerazione greca
16
numerazione greca

• in seguito, per economia di scrittura, furono
  adottati in Grecia dei
• simboli singoli
• per indicare i numeri "piu' usati", da 1 a
  1000
• i simboli usati erano semplicemente quelli
  dell'alfabeto
• per i numeri dopo il 1000 si usava una codifica
  per il peso mille e una codifica diversa per il
  peso 10.000 -
• ma il sistema non era posizionale,
• e cosi' rimase per i latini

17
numerazione greca
18
numerazione greca

• per scrivere numeri molto grandi i greci usavano
  un sistema misto del simbolico non posizionale
  puro e con due pesi (mille e diecimila)...

19
rappresentazione di numeri

• Dai sistemi di numerazione babilonesi ... greci
  deriva il sistema di numerazione romano. Il
  sistema latino e' un codice non posizionale
  (ibrido) il valore numerico associato ad un
  simbolo dipende in minima parte dalla sua
  posizione ed e' in gran parte fisso (nota
  semplificazione 4 da IIII a IV)
• 1 I 6 VI 11 XI
• 2 II 7 VII 12 XII
• 3 III 8 VIII 13 XIII
• 4 IV 9 IX 14 XIV
• 5 V 10 X 15 XV
• 20 XX
• 30 XXX
• 40 XL
• 50 L e, ancora, -gt

20
rappresentazione di numeri

• sistema romano
• 1 I 4 IV 5 V
  
• 10 X
• 20 XX 60 LX
• 30 XXX 70 LXX
• 40 XL 80 LXXX
• 50 L 90 XC
• 100 C 600 DC
• 200 CC 700 DCC
• 300 CCC 800 DCCC
• 400 CD 900 CM
• 500 D 1000 M
• ....

21
numeri - il sistema romano

• le operazioni aritmetiche con il sistema di
  numerazione romano o latino sono "piuttosto
  scomode"
• Si provi ad es. verificare che
• MCMXCVI piu IV MM
  ()
• oppure
• X L V I I I volte X I X
  CMXII ()
• ________
• () 1000900906 piu' 4 1996 piu' 42000
• () 48 19 912

22
rappresentazione di numeri

• per semplificare le operazioni di addizione
• (e le altre operazioni aritmetiche)
• si ricorreva al pallottoliere (abaco)
• il pallottoliere e' rimasto in uso in molti paesi
  fino a
• pochi decenni fa (Russia, Cina, Giappone)
• dove il suo uso era insegnato a scuola
• (talvolta lo e' ancora)
• il sistema romano era una via poco praticabile e
  fu abbandonato anche se solo dopo piu' di mille
  anni ...
• tracce di uso rimangono in varie situazioni e in
  vari paesi ...

23
numeri indiani

• Il sistema posizionale decimale fu inventato in
  India
• duemila anni prima il sistema di numerazione
  posizionale fu inventato dai sumeri e babilonesi,
  ma con base 60
• gli indu' ripresero il sistema posizionale, con
  base 10
• (non noto se lo ripresero dai babilonesi
  attraverso le prime culture proto-indu' di
  Harappa e Mohendjo Daro, (culture distrutte
  dagli indo-europei) o se lo reinventarono)
• Laplace scrive

24
Laplace sul sistema indo-arabo

• Laplace
• il sistema ingegnoso di esprimere ogni numero
  possibile con l'uso di soli dieci simboli
  (assegnando ad ogni simbolo un valore di
  posizione e un valore assoluto) nasce in India.
• Oggi l' idea sembra tanto semplice che il suo
  significato e la sua profonda importanza non sono
  piu' apprezzati. Il sistema ha portato ad una
  tale semplificazione dei calcoli da portare
  l'aritmetica tra le invenzioni piu' utili per
  l'umanita'.
• Si comprende l'importanza di questa invenzione se
  si considera che essa non fu alla portata dei
  matematici maggiori dell'antichita' come Euclide,
  Archimede o Apollonio...
• (a difesa di quelli si ricorda che gli interessi
  dei matematici dell' antichita' era volto verso
  la geometria, meno verso i calcoli numerici)

25
Numeri Brahmi
numeri indiani
nota l'evoluzione del 2 da e del 3 da
26
numeri indiani

• Sulle origini dei numeri Brahmi (da cui derivano
  i numeri Devanagari, i numeri arabi
  (piu'varianti) e infine i numeri come oggi li
  usiamo) si sa poco
• poco si sa anche sulle cause che portarono
  all'invenzione del sistema posizionale
• gli studi numerologici in India furono motivati
  dall'astrologia e dal fascino per i numeri grandi
  tipico della cultura dell'India
• ( racconto del 2 secolo d.c. sul dialogo tra
  Boddishatva e il suo maestro di matematica su
  come si ottengono dei numeri molto grandi
  Boddishatva arriva ad un dato dell' ordine di
  grandezza di 10450 ! )

27
numeri indo-arabi
28
numeri cinesi
29
numeri giapponesi
30
numeri ...

• si potrebbe continuare
• l'elenco di sistemi di numerazione,
• menzioniamo solo un esempio ancora,
• che e' circa contemporaneo ai numeri Brahmi,
• ma di tutt'altra regione ...

31
Numerazione Maya

• le culture del continente africano erano a
  contatto con l'area mediterranea e dell'india
• le culture del continente australiano
  (condizioni climatiche diverse) non hanno dato
  luogo a organizzazioni statali complesse che
  richiedessero archivi e corrispondenza...
• le culture del continente americano hanno avuto
  uno sviluppo separato nell'arco di 10.000 anni
  (seconda ondata di popolazione del continente,
  attraverso la Siberia e l'Alasca), e sono
  arrivate alla scrittura e ai sistemi di
  numerazione con uno sviluppo autonomo la
  maggior parte del sapere delle culture del
  continente americano e' stata distrutta dai
  colonizzatori spagnoli.
• segue un cenno al sistema di numerazione Maya,
  sviluppato molti secoli prima dell'arrivo degli
  spagnoli.

32
Numerazione Maya
33
Numerazione Maya
proviamo scrivere 508 ricorda che la base e'
20, quindi 508 va pensato e riscritto come 8
unita' (8 decimale) 5 ventine (100
decimale) 1 ventina al quadrato (2020
400 decimale) quindi 50810 158 20 che in Maya
scriviamo . ...
34
numeri maya

• qualche esempio di numeri maya

35
sullo zero

• L'introduzione del sistema posizionale porto'
  alla scoperta dello zero
• si noti che i sistemi "additivi" come l'antico
  egiziano o il sistema romano non richiedono l'uso
  dello zero
• 2040 si scrive MMXL, 24 si scrive XXIV ...
• in un sistema posizionale lo zero e' importante
  
• devo distinguere tra
• 24, 204, 240, 2004, 2040, 2400, 20004,
  200400, 24000 ...
• quindi come codice di "posizione vuota" lo zero
  appare assieme al sistema posizionale,
• mentre il NUMERO ZERO appare secoli dopo,
• con la generalizzazione delle regole di
  aritmetica di somma, prodotto, moltiplicazione e
  divisione ...

36
storia numeri indu'

• 200 d.c. cifre Brahmi,
• 500 sistema posizionale e introduzione della
  cifra zero
• (non come numero, ma come marcatore di
  posizione vuota),
• 630 zero come numero il matematico Brahmagupta
  si occupa dell'uso dello zero nelle operazioni
  aritmetiche
• Br. scrive se z sta per zero, n per negativo,
  p per positivo, nn per numero negativo, np per
  numero positivo
• addizione la somma di z e di un nn e' n, la
  somma di un np con z e' p, la somma di z con z
  e' z
• sottrazione un nn (o np) sotratto dallo z e' p
  (o n), z sotratto da un np (o nn) e' p (o n), z
  sotratto da z e' z
• moltiplicazione ... np moltiplicato per z e' z,
  ...,
• divisione z diviso un np o un nn e' zero, z
  diviso z e' z, (!!)
• np o nn diviso zero e' una frazione con zero come
  denominatore (tautologia !!) -gt non riesce a
  risolvere il x/0 ...
• 1130 Bhaskara un np diviso per z e' una frazione
  chiamata frazione infinita, che e' tale che
  f.i.n e' f.i., e f.i.-n e' f.i. ...

37
numeri cinesi

• il sistema di numerazione indu', posizionale
  decimale, con lo zero, era ben sviluppato nel 800
  d.c., e dall' India si diffuse all'est - in Cina
• i matematici Cinesi del 1200 descrivono il
  sistema posizionale decimale con l'uso della
  cifra e anche del numero zero
• e sempre dall'India si diffuse all'ovest, nei
  paesi arabi, e quindi in Italia Fibonacci,
  "Liber abaci" dove usa anche il "segno" zero (ma
  non il numero zero)
• il numero zero entro' nell'uso comune dei
  matematici Europei appena dopo il rinascimento
  (1600)
• ... Gli autori J.J. O'Connor, E.F.Robertson,
  dell' articolo sullo zero, scrivono ma lo zero
  e'ancora problematico -) si consideri ad
  esempio la data del "millenio", 1 gennaio 2000,
  che era la fine di 1999 anni del nostro sistema
  di contare gli anni, e non di 2000 anni...
• (vedi http//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/His
  tTopics/Zero.html)

38
numeri indo-arabo-europei

• I numeri standardizzati con l'introduzione della
  stampa (1500-1600)

39
rappresentazione di numeri

• CODICI NUMERICI POSIZIONALI
• Un numero e' codificato (rappresentato) da una
  sequenza di simboli, dove ogni simbolo ha un
  valore numerico definito dalla posizione del
  simbolo nella sequenza
• 1984
• rappresenta un valore dato dalla somma di
• 1 migliaia
• 9 centinaia
• 8 decine
• 4 unita'
• 1984 rappresenta 1000 1 100 9 10 8 1
  

40
rappresentazione di numeri

• CODICI NUMERICI POSIZIONALI
• Un numero e' codificato (rappresentato) da una
  sequenza di simboli, dove ogni simbolo ha un
  valore numerico definito dalla posizione del
  simbolo nella sequenza.
• Es codice numerico posizionale con 4 simboli
  (cifre)
• a b c d (o qualunque altri 4 simboli)
• Ad ogni simbolo si associa un valore numerico, ad
  es.
• a 3, b 2, c 1,
  d 0,
• Una stringa di tali simboli e' un codice di un
  numero
• ad esempio abbac
• abbac rappresenta un valore numerico dato
  da
• n a p1 b p2 b p3 a p4 c
  p5
• dove p1, p2, p3, p4 e p5 sono valori numerici
  o "pesi" associati alle posizioni nella
  stringa.

41
rappresentazione di numeri - un codice ...
strano

• cont. es 4 simboli, a b c d a cui associamo i
  valori numerici
• a 3, b 2, c 1, d 0,
• una stringa di tali simboli abbac
  rappresenta un valore numerico ottenuto dai
  simboli (cifre) moltiplicando ogni cifra per un
  peso diverso (i pesi sono convenzionali) e poi
  sommando
• n r p1 t p2 r p3 r
  p4 s p5
• es. con i pesi (NON usuali! - anzi,
  decisamente strani...)
• p1 222, p2 55, p3 17, p4 6,
  p5 1
• il codice abbdc ovvero 32201 con tale
  sistema vale
• 3222 255 217 06 11
  6661103401 811
• (sistemi simili sonostati usati per le monete di
  antichi paesi)

42
rappresentazione di numeri

• esempio rappresentazione di numeri con 4 cifre
• a,b,c,d (leggi zero, uno, due,
  tre)
• ca rappresenta il valore c peso1 a
  peso0
• bacabb rappresenta un valore numerico
  ottenuto dai simboli (cifre) moltiplicando ogni
  cifra per un peso diverso e poi sommando
• scelta abituale i pesi associati alle posizioni
  
• sono convenzionali ma NON
  sono arbitrari
• sono le potenze di una costante detta base del
  sistema,
• in un sistema a 4 cifre, base 4, si assume
  convenzionalmente
• peso0 uno, peso1 quattro
• ca c peso1 a peso0 quindi ca c
  quattro a uno

43
rappresentazione di numeri

• nel sistema in base 4 o "quaternario" abbiamo 4
  cifre a,b,c,d (leggi zero, uno,
  due, tre),
• la codifica abbac rappresenta un
  valore numerico ottenuto dai simboli (cifre)
  moltiplicando ogni cifra per un peso diverso (i
  pesi sono convenzionali) e poi sommando
• n a p1 b p2 b p3 a
  p4 c p5
• per il nostro sistema, una scelta e'
• p5 (ultimo peso a destra)vale 1 (unita') cioe' 4
  alla 0
• p4 (penultimo peso a destra) vale 10 (quartine)
  4 alla 1
• p3 vale 100 (sedicine) 4 alla due, ecc
• ba (vale bp4ap5 una quartina,zero
  unita')
• bd (vale bp4dp5 una quartina,tre
  unita')
• bac (vale bp3 ap4 cp5
• una sedicina zero quartine
  due unita')

44
rappresentazione di numeri

• sistema "quaternario", base 4, con 4 cifre
  
• a(zero), b(uno), c(due), d(tre)
• scelta abituale i pesi associati alle posizioni
  sono le potenze di una costante detta base del
  sistema,
• per il nostro sistema, con n ap1bp2bp3ap4
  cp5
• una scelta potrebbe essere p5 vale 1 (unita')
  p4 vale 10 (quartine), p3 vale 100(sedicine) ecc
• 0) a 1) b 2) c 3) d
  i primi 20 numeri
• 4) ba 5) bb 6) bc 7) bd
  si scrivono
• 8) ca 9) cb 10) cc 11) cd
  cosi' (es. cinque cioe'
• 12) da 13) db 14) dc 15) dd un
  4 piu' un 1 si scrive
• 16)baa 17)bab 18)bac 19)bad bb ,
  12 cioe' tre 4 piu'
• 20)bba 21)bbb 22)bbc 23)bbd zero 1
  si scrive ca, ecc)
• ancora bbd bsedicinebquartinedu
  nita'
• scritto in decimale 1643 23

45
rappresentazione di numeri

• riscriviamo il sistema quaternario, base 4, con
  4 cifre
• al posto di a, b, c, d scrivo 0 1 2 3
• per il nostro sistema, una scelta dei pesi
  (abituale)
• p5 vale 1 (unita') p4 vale 4 (quartine), p3
  vale 16(sedicine)
• diremo il sistema posizionale con base 4,
• e per contare in base 4 avremo
• 0) 0 1) 1 2) 2 3)
  3 i primi 20 numeri
• 4) 10 5) 11 6) 12 7) 13
  si scrivono
• 8) 20 9) 21 10) 22 11) 23
  cosi' ...
• 12) 30 13) 31 14) 32 15) 33
• 16)100 17)101 18)102 19)103
• 20)110 21)111 22)112 23)113
• ad es 113 1sedicine1quartine3unita'
• riscritto in base dieci abituale 113 1643
  23

46
rappresentazione di numeri

• il nostro sistema numerico e' posizionale con
  base dieci
• 1 1 8 7 rappresenta
• 1103 9102 8101 7100
• 11000 1100 810 7
• per un codice numerico posizionale in base b
• uso un insieme di b cifre (simboli)
• s1,s2,s3,... sb
• Un dato di n1 cifre c(n) c(n-1) c(n-2)
  c(n-3)...c(1) c(0)
• rappresenta il numero (indico con bk b
  elevato alla k)
• c(n)bn c(n-1)b(n-1) ... c(1)b1
  c(0)b0
• cioe (in base b) c n 10..00 .. c 2 100
  c 1 10 c 0 1

47
rappresentazione di numeri

• si noti che nel sistema numerico posizionale con
  base dieci
• 1 1 8 7 rappresenta
• 1103 9102 8101 7100
• 11000 1100 810 7 1
• questo si puo' scrivere anche cosi'
• (con basi a fattore comune)
• ( ( ( ( ( 110 ) 1 ) 10 8 ) 10 )
  7 )

48
rappresentazione di numeri

• riprendiamo il sistema con 4 simboli (cifre),
  base 4,
• e i pesi saranno le potenze di 4
• p4..p0 256 64 16 4 1
• e quindi d b d d c
• con
• (d 3, c 2, b 1, a 0) rappresenta
• 3p4 1p3 3p2 3p1
  2p0
• 3 10000 1 1000 3 100 3 10 2 1
  (in base 4)
• 344 143 342 341
  240 (base 10)
• 3256 164 316 34
  21
• 768 64 48 12 2 832 62 894 in
  base 10

49
rappresentazione di numeri

• I primi venti numeri sono rappresentati in
  base 4 come segue (riportati numero in decimale
  e in base quattro)
• 0 0
• 1 1 11 23
• 2 2 12 30 lt-
• 3 3 13 31
• 4 10 lt- 14 32
• 5 11 15 33
• 6 12 16 100 lt- (non 40! -)
• 7 13 17 101
• 8 20 lt- 18 102
• 9 21 19 103
• 10 22 20 110 lt-

50
rappresentazione di numeri

• es base 4
• 1323
• rappresenta (e' la codifica di)
• 1 base3 3 base2 2 base 1 3
  base0
• 1 444 3 44 2 4
  3 1
• ovvero
• 164 3 16 2 4 3
• .
• e 1987 cosa rappresenta in base 4 ?
  ltlt
• -)

51
rappresentazione di numeri

• ... in base quattro il numero 1987
  ...
• ... non rappresenta nulla
• perche' 9,8,7 non sono cifre in base quattro -
  
• in base b le cifre vanno da 0 a b-1 !!
• in ogni caso la base si scrive 10
• e rappresenta il numero b (tranne in
  unario)
• Es. in ottale ovvero con base otto le cifre
  sono
• 0 1 2 3 4 5 6 7
• e la base otto si scrive 10 !!

52
rappresentazione di numeri

• ancora, in ottale (base otto)
• il valore numerico della base e' otto,
  dove
• otto in base 8 si scrive 10
• in genere in ogni sistema posizionale con base b,
  
• la base b si scrive 10
• otto in base 8 si scrive 10, e si indica con
  108
• dato che si indica otto in base 10 con 810
• quindi
• 108 810
• come 103 310 , e 106 610 e 107 710
  e 1016 1610

53
rappresentazione di numeri

• in ottale (base otto) si conta
• 0 1 2 3 4 5 6 7 a cui segue -gt
• 10() 11 12 13 14 15 16 17 () 108 810
• 20 21 22 23 24 25 26 27
• 30 ... ...
• ... ... 65 66 67
• 70 71 72 73 74 75 76 77 -gt 787 63
• 100 101 102 107
• 110 111 112 117 -gt 6487 79
• ....

54
rappresentazione di numeri

• ad es. in base 12 ho dodici cifre,
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B
• dieci e undici in base 12 sono cifre, indicate
  con A e B !
• quindi i primi 36 numeri - conto da 0 a 35 (35
  in base 10)
• 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A
  B ( B vale 11)
• 10 11 12 13 36 ... 19 1A 1B
  (1B vale 23)
• 20 21 22 23 35 ... 29 2A 2B
  (2A vale 34)
• 30 31 32 33 34 ... 39 3A
  3B (39 vale 45)
• 41 42 43 44 ... 49 4A 4B
• 50 ...
  (4B vale 412B4811)
• 60 ...

55
rappresentazione di numeri

• ad es. in base 16 ho sedici cifre,
• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
• dieci, undici,.. quindici in base 16 sono cifre,
  
• indicate con A,B,.. F
• quindi i primi 20 numeri - conto da 0 a 20
  (20 in base 10)
• 0 1 2 3 4 5 6 7 (da
  0 a 7 come in decimale)
• 8 9 A B C D E F (B vale
  11, F vale 15)
• 10 11 12 13 14 15 16 17 (10 vale
  16 in base 10)
• 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F (1E vale 30 in
  base 10)

56
rappresentazione di numeri

• CONVERSIONE
• da base b generica a base 10,
• e da base 10 a base generica

57
rappresentazione di numeri

• CONVERSIONE da base b generica a base 10,
  esempio
• da base 8 a base 10, per definizione
• 17 187 15,
• 20 28 16,
• 76 786 62,
• 100 164 64 ecc
• Per decodificare in base 10 un numero
  rappresentato
• in base 8 basta ricordare la definizione
• ad es. 5 1 5 ( in base 8) vale in base
  10
• 5100 110 51 (in base 8)
• 5 64 1 8 51 (in base 10)
• 320 8 5 333 (in base
  10)

58
rappresentazione di numeri

• ancora un es
• il numero 3 7 1 3 in base 8 diventa in base
  10
• 3 1000 7 100 1 10 3 1
• tutto in base 8, che in base 10 diventa
• 3512 7 64 1 8 3 1
• 1536 448 8 3
• 1995 10

59
rappresentazione di numeri

• un es. in base 3 ... (cifre 0,1,2 )
• come si conta in base tre ?
• 0 1 2 e poi?
• 10 11 12 che sono tre,
  quattro e cinque,
• cioe' una
  terna piu' zero, uno e due,
• poi
• 20 21 22 che sta per
  sei, sette e otto, ovvero
• due terne
  piu' zero, uno e due,
• cui segue
  nove ovvero tre terne
• 100 cioe' una
  (terna)2 piu'zero terne
• piu' zero
  unita'

60
rappresentazione di numeri

• in base tre ... (cifre 0,1,2 )
• contare in base tre
• 0 1 2 10 11
  12 20 21 22
• 100 101 102 110 111 112
  120 121 122
• 200 201 202 210 211 212
  220 221 222
• 1000
• che corrispondono ai numeri in base 10
• 0 1 2 3 4
  5 6 7 8
• 9 10 11 12 13 14
  15 16 17
• 18 19 20 21 22 23
  24 25 26
• 27

61
rappresentazione di numeri

• esercizio
• quanto vale 1 2 2 1 0 1 (dato in base 3) in
  base dieci ?
• 1 2 2 1 0 1
• in base tre il significato e'
  noto
• 1 100000 2 10000 2 1000 1 100 0
  10 1 1
• tutto in base tre ...
• vediamo di riscrivere in base dieci
• ricorda come si conta in base tre
• 0 1 2 10 11 12 20
  21 22 100 ovvero,
• 0 1 2 3 4 5
  6 7 8 9 in base 10,

62
rappresentazione di numeri

• esercizio
• quanto vale 1 2 2 1 0 1 (dato in base 3)
  in base dieci ?
• in base tre il significato e'
  noto
• 1 2 2 1 0 1
• 1 100000 2 10000 2 1000 1 100 0
  10 1 1
• che diventa in base dieci
• 135 234 233 132 031 130
• 1 243 2 81 2 27 1
  9 0 3 1 1
• 243 162 54
  9 1
• 469 10 122101 3

63

• e finalmente arriviamo
• al sistema usato dai calcolatori
• numeri in base 2
• due cifre sole, 0 e 1

64
rappresentazione di numeri

• In base due abbiamo due cifre 0 1
• (cifre binarie,BInary digiT BIT)
• per rappresentare i due numeri zero e uno, e 10
  per rappresentare il numero due i primi 20
  numeri in binario
• 1 1 11 10112
• 2 102 12 11002
• 3 112 13 1101
• 4 100 14 1110
• 5 101 15 1111
• 6 110 16 10000
• 7 111 17 10001
• 8 1000 18 10010
• 9 1001 19 10011
• 10 10102 20 101002
• nota 101 4 15 110 426 1101
  84113 ecc

65
rappresentazione di numeri

• ricorda alcune potenze di due in binario
• 2 2 alla 1 4 2 alla 2
  8 due alla 3
• 16 2 alla 4 32 2 alla 5 64 2
  alla 6
• 128 due alla 7 256 2 alla 8 512
  2 alla 9
• 1024 2 alla 10 20482 alla 11 40962
  alla 12
• 32768 2 alla 15 65536 2 alla 16 ...
• 1024 2 alla 10 ... 1 Kilo
• 1 048 576 2 alla 20 1 Mega
• 1 073 741 824 2 alla 30 1 Giga ... e un
  Tera ?
• in base due scrivo le potenze di due come
• 2 -gt102 4-gt100 2
  8-gt1000 2 16-gt10000 2
• 32-gt10 00002 64-gt100 0000 2 128-gt1000 0000
  2
• 256-gt1 0000 0000 2 ecc

66
rappresentazione di numeri

• es. il numero
• 1011012
• rappresenta (tutto in binario)
• 11000002 0100002 110002 11002 0 102
  12 ovvero (in decimale)
• 1 3210 01610 1 810 1
  410 0 210 1
• 4510

67
rappresentazione di numeri

• conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare
  le potenze di due ed il significato del codice,
• 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8
• 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23
• 4 2 1 ad es 10000 2 2
  alla 4 16
• 22 21 20
• per cui 10100 124 023 122 021
  020
• rappresenta 116 08 14
  02 01 20

68
rappresentazione di numeri

• conversione da base 2 a base 10 -basta ricordare
  le potenze di due ed il significato del codice,
• 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8
• 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23
• 4 2 1
• 22 21 20
• esercizio ... convertire in base dieci il numero
  dato in base due (qui inseriti tre spazi per
  migliore lettura)
• 101 0110 0110 01012

69
rappresentazione di numeri

• soluzione esercizio " convertire in base dieci il
  numero dato in base due "
• 101 0110 0110
  0101
• onm lkji hgfe
  dcba
• ricordando i pesi che sono 1 per lultima cifra
  a destra, a, poi due per la penultima cifra b,
  poi 4 per c, poi 8 per d, ecc,
• e 1024 per la decima cifra k, 2048 per l, 4096
  per m(12a cifra) 8192 (13.a cifra n), 16384 per
  la 14.a cifra o,
• quindi (tolte le cifre zero, restano le cifre
  uno),
• in notazione mista
• o m k j g
  f c a
• 16384 4096 1024 512 64 32 4
  1
• 22117

70
rappresentazione di numeri

• soluzione esercizio " convertire in base dieci il
  numero dato in base due "
• 101 0110 0110 0101
• un po' piu' veloce se raggruppo a 4 a 4 i bit, e
  ricordando i pesi di questi gruppi, che sono le
  potenze di 16
• (un gruppo di 4 cifre binarie permette di contare
  da 0 a 15),
• 1 per lultimo a destra, 16 per il penultimo a
  destra, 256 per il terzultimo a destra (il
  secondo) e infine 4096 per il primo
• quindi (in notazione mista)
• 1014096 0110256 011016 01011
• ricordando la tabellina dei primi 16 numeri in
  binario,
• 101 5, 0110 6, 0101 5, quindi
• 54096 6256 616 5 20480 1536 96 5
  22117

71
esercizio (quiz)

• quale numero segue nella sequenza, e perche' ?
• (ovvero come e costruita questa sequenza?)
• 10 11 12 13 14 20 22 101 ?

72
quiz

• un aiuto ...
• dieci in base dieci si scrive dieci piu' zero,
  cioe' 10,
• dieci in base nove si scrive nove piu' 1, cioe'
  11
• dieci in base otto come si scrive?

73
rappresentazione di numeri - tabella di
corrispondenza

• num\ base 2 3 4 5 6 7
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• uno 1 1 1 1 1 1
• due 10 2 2 2 2 2
• tre 11 10 3 3 3 3
• quattro 100 11 10 4 4 4
• cinque 101 12 11 10 5 5
• sei 110 20 12 11 10 6
• sette 111 21 13 12 11 10
• otto 1000 22 20 13 12 11

nota in base 4 quattro scrivo 10, cinque scrivo
11 ecc nota la diagonale in tabella in cor-
rispondenza della riga colonna base, e le
diagonali immediatam. sopra e sotto...
74
rappresentazione di numeri

• aritmetica elementare, date tabelle di
  addizione base 2 e 3
• 0 1 0 1 2
• ---- ----------
• 0 0 1 0 0 1 2
• 1 1 10 1 1 2 10
• 2 2 10 11
• 011 1110 (binario) 112 2110
  (ternario)
• da cui le somme in base 2,3,10 (stessi dati in
  basi diverse)
• 1 1 0 1 1 1 1 1 3
• 1 0 2 2
• ------- ----- -----
• 1 1 1 1 1 2 0 1 5
• 2 3 10

75
rappresentazione di numeri ... ancora somme

• nove piu' cinque (decimale) in base 2 e 3
• 1 0 0 1 1 0 0 9
• 1 0 1 1 2 5
• ------- ----- --
• 1 1 1 0 1 1 2 14
• 2 3 10
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------------------
  
• undici e cinque (decimale) in base 2 e 3
• 1 0 1 1 1 0 2 11
• 1 0 1 1 2 5
• ------- ----- --
• 1 0 0 0 0 1 2 1 16
• 2 3 10
• -

76
rappresentazione di numeri ... ancora somme

• quindici piu' uno (decimale) in binario e
  ternario
• 1 1 1 1 1 2 0 15
• 1 1 1
• -------- ----- --
• 1 0 0 0 0 1 2 1 16
• 2 3 10

77
rappresentazione di numeri

• addizione in base otto
• --------------------------------------------------
  ---
• 0 0 1 2 3 4 5 6 7 da cui ad
• 1 1 2 3 4 5 6 7 10 es. 7110
• 2 2 3 4 5 6 7 10 11
• 3 3 4 5 6 7 10 11 12
• 4 4 5 6 7 10 11 12 13
• 5 5 6 7 10 11 12 13 14
• 6 6 7 10 11 12 13 14 15
• 7 7 10 11 12 13 14 15 16
• 1 5 13 1 3 11 ottale /
• 2 2 5 5 decimale
• --- -- --- --
• 1 7 15 2 0 16
• 8 10 8 10

78
rappresentazione di numeri

• PRODOTTO base 2 e 3
• 0 1 0 1 2
• --- -----------
• 0 0 0 0 0 0 0
• 1 0 1 1 0 1 2
• 2 0 2 11
• base 2 base tre
• 100 12 2
• 111 22 11

79
rappresentazione di numeri

• es. (1213156)
• in base due
• 1 1 0 0 1 1 0 1
• ------------------
• 1 1 0 0
• 1 1 0 0
• 0 0 0 0
• 1 1 0 0
• ---------------
• 1 0 0 1 1 1 0 0
• in base 10
• 128 1684 156

PRODOTTObase 2 e 3 0 1 0 1 2 ---
--------- 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 2
2 0 2 11
80
rappresentazione di numeri

• base 3
• 1216192
• 1 1 0 1 2 1
• ----------------
• 1 1 0
• 2 2 0
• 1 1 0
• -----------
• 2 1 0 1 0
• che e'
• 281127091301
• 162273 192

PRODOTTO base 2 e 3 0 1 0 1 2 ---
----------- 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
2 2 0 2 11 base 2 base tre 100
12 2 111 22 11
81
esercizio prodotto

• esercizio calcolare 18 5 in base due
• ( 18 5 9 10 90 in base 10,
• in base 2 90 64 16 8 2
• 164 032 116 18 04 12
  01
• ovvero 1 0 1 1 0 1
  0
• con i pesi 64 32 16 8 4 2 1
  )
• se passo prima in binario, e poi faccio il
  prodotto in binario
• 18 16 2 (in base 2) 10000 10 10010
• 5 4 1 (in base 2) 101

82
cont.esercizio prodotto

• continua esercizio calcolare 18 5 in base
  due
• 18 16 2 (in base 2) 10000 10 10010
• 5 4 1 (in base 2) 101
• quindi 1 0 0 1 0 x 1 0 1
• ------------
• 1 0 0 1 0
• 0 0 0 0 0
• 1 0 0 1 0
• ----------------------
• 1 0 1 1 0 1 0 64
  16 8 2

83
rappresentazione di numeri

• tavola delle moltiplicazioni
• in base otto
• PRODOTTO 2410,3517
• 1 2 3 4 5 6 7
• --------------------------
• 0 0 0 0 0 0 0 0
• 1 1 2 3 4 5 6 7
• 2 2 4 6 10 12 14 16
• 3 3 6 11 14 17 22 25
• 4 4 10 14 20 24 30 34
• 5 5 12 17 24 31 36 43
• 6 6 14 22 30 36 44 52
• 7 7 16 25 34 43 52 61

1 4 1 5 ------(base 8) 1 4 7
4 (o) ------ 2 3 4 (o) nb 458248 ho
48, riporto 28,poi 15852(rip)7.. (in base
10 12 13 36 ------- 156
84
esadecimale (base 16)

• In base 16 si usano 16 cifre, normalmente
  indicate con
• 0 1 2 3 4 5 6 7
• 8 9 A B C D E F
• leggi zero, uno, .. nove, dieci, undici,
  dodici, ... quindici)
• I primi 20 numeri in base 16 sono(base10/base16)
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 base 10
• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A base 16
• 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 base 10
• B C D E F 10 11 12 13 14 base 16
• esercizi 1) quanto vale C D in base 16 ?
• 2) costruire la tabella di moltiplicaz. per base
  16.

85
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE

• (rip.) per decodificare in base 10 un numero
  scritto in una base generica e' sufficiente
  ricordare la definizione. Es
• dato (in binario)
• 1 0 0 0 1 1 1 1 (cifre)
• 7 6 5 4 3 2 1 0 (rango)
• 128 64 32 16 8 4 2 1 (peso)
• 127 026 .. 123
• 122 121 120
• 1128 064 .. 18
• 14 12 11 143
• anche cosi'
• ((( ((( 120)20)20)2 1)21)21)21
• dove il primo 1 viene moltiplicato per 27, il
  secondo (zero) per 26 ecc

86
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO-gt

• Raggruppando le cifre binarie (bit) a tre a tre,
  partendo da destra verso sinistra, si converte la
  rappresentazione da base due a base otto
• il dato di partenza 143 (base 10) ovvero in base
  due
• 10 00 11 11 vale (cifre bin. a tre a
  tre)
• 010 001 111
• (120) 26 (04021) 23
  (14121) 20
• 2 64 1 8
  7 1
• 2 82 1 81
  7 80 2 1 7
• in
  base 8, che vale
• 2 64 1 8 7 128 8 7 143 in
  base dieci

87
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE - dal BINARIO-gt

• per passare da base due a base sedici e'
  sufficiente raggruppare i bit a quattro a
  quattro
• lo stesso dato 143 che in base due si scrive
  10 00 11 11
• vale 1000 1111
• (1804020) 24 (18141210)
  20
• 8 16 15 1
• 8 F in base sedici
• 8 16 15
• 128 15 143 in base 10
• NOTA lesadecimale si usa solo come
  rappresentazione piu concisa del binario
  raggruppiamo il binario a 4 a 4 cifre partendo
  da destra e abbiamo l esadecimale
• .. il binario perche e usato dal calcolatore
  ...

88
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE

• Ricordiamo ancora la tabella di
• corrispondenza dei codici
• numerici da 1 a 15 nelle basi
• (10)(16)(8)(2)
• 0 0 0 000 8 8 10 1000
• 1 1 1 001 9 9 11 1001
• 2 2 2 010 10 A 12 1010
• 3 3 3 011 11 B 13 1011
• 4 4 4 100 12 C 14 1100
• 5 5 5 101 13 D 15 1101
• 6 6 6 110 14 E 16 1110
• 7 7 7 111 15 F 17 1111
• ________________________________

il numero 10 (base 10) in base otto si scrive 12,
e in base 2 si scrive 1010 il numero 14 in base
8 e' 16 e in base 2 e' 1110 ...
89
RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...

• - due es da base 2 a base 8 o 16
• per passare da base 2 a base 8 prendo i bit a tre
  a tre,
• da base 2 a base 16 prendo i bita a 4 a 4
• (sempre da destra verso sinistra)
• dato 10 00 11 11
• 10 001 111 2 1 7 base 8 nota il
  raggruppamento
• 1000 1111 8 F base 16 inizia
  da destra verso sin.
• dato 10 10 10 10 10
• 1 010 101 010 1 2 5 2 base 8,
  bit a tre a tre
• 10 1010 1010 2 A A base 16,
  bit a 4 a quattro

90
RAPPRESENTAZIONE BIN ... ultimi 4 esempi ...

• ... e due es. da base 16 a base 8 (uso base
  2)
• 7B5C dato in base 16
• 0111 1011 0101 1100 cambio
  raggruppamento
• 0 111 101 101 011 100
• 0 7 5 5 3 4 (in
  base 8)
• 1991 dato in base 16
• 0001 1001 1001 0001 cambio
  raggruppamento
• 0 001 100 110 010 001
• 0 1 4 6 2 1 (in
  base 8)

91
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ...

• procedimento per passare da base 10 ad altra
  base richiede un po' piu' lavoro, ma e' ancora
  basato sulla definizione
• L'ultima cifra di un codice numerico posizionale
  in base b e' sempre il resto della divisione
  per b
• cio che resta dopo aver raggruppato gli
  oggetti a b a b",
• quindi dato un numero in base 10 ad es. 152,
  
• l'ultima cifra "a" della sua rappresentazione in
  base b , ...fedcba, e' data da (13 MOD 5
  resto di 13 diviso 5 3 !!)
• n MOD b 152 MOD b (...fedcba) MOD b a
• ad es. se b8 allora la cifra a n MOD 8

92
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ...

• (ripeto..) dato numero n in base 10, l'ultima
  cifra "a" della sua rappresentazione in base b ,
  ...fedcba, e' data dal resto della divisione
  di n per la nuova base b
• n
  MOD b (...fedcba) MOD b a
• per passare da codifica da base 10 (es. 152) in
  base 8, calcolo le singole cifre (dall'ultima in
  poi) dividendo ripetutamente (ad ogni passo
  prendo come dividendo il quoziente del passo
  precedente) per la base nuova (qui otto) e mi
  segno i resti (ottengo per prima l'ultima cifra)
• 152 19 8 0 -gt resto 0 -gt "a" 0,
• 19 2 8 3 -gt resto 3 -gt "b" 3,
• 2 0 8 2 -gt resto 2 -gt "c" 2,
• 0 0 8 0 -gt resto 0 -gt "d" 0,
• a questo punto smetto,
• quindi 15210 2308

93
CAMBIO DI RAPPRESENTAZIONE DA DECIMALE ...

• ancora, lo stesso dato in base 4
• 152 38 4 0 -gt resto 0 -gt "a" 0,
• 38 9 4 2 -gt resto 2 -gt "b" 2,
• 9 2 4 1 -gt resto 1 -gt "c" 1,
• 2 0 4 2 -gt resto 2 -gt "d" 2,
• 0 0 4 0 -gt resto 0 -gt "e" 0,
• quindi
• 152 2120
• 10 4
• verifica (da ottale in base 4, passando per il
  binario)
• 2 3 0 010 011 000 0 10 01 10 00 2120
• 8 2 2 4

... ricordiamo che era 152 230
10 8
94
esercizi

• calcolare 11011 110111 in base 2 ltltlt
• quanto fa 322 123 in base 4 ?
• quanto fa 322 123 in base 5 ? ltltlt
• quanto fa 304 552 in base 6 ?
• calcolare 701 77 in base 8
• calcolare 1202 x 22 in base 3 ltltlt

95
esercizi
calcolare 11 011 110 111 in base 2

• 1 1 0 1 1 addendo
• 1 1 0 1 1 1 addendo
• ------------ passo 1
• 1 0 1 1 0 0 somme1
• 1 1 1 riporti1
• 1 0 1 1 0 0 somme2
• 1 1 1 riporti2
• ------------ passo 2
• 0 0 1 0 1 0 somme3
• 1 0 0 1 0 0 riporti 3

0 0 1 0 1 0 somme3 1 0 0 1 0 0 riporti 3
------------ passo 3 1 0 0 0 0 1 0
somme4 1 riporti4 1 0 0 0 0 1 0
somme4 1 riporti4 ------------
passo 4 1 0 1 0 0 1 0 somma finale
riporti finali
verifica 110112 16832710 110 111
321675510 2755 8210
8210 641621 010 010
96
esercizi

• quanto fa 322 123 in base 4 ?
• 3 2 2
• 1 2 3 (n.b 2311)
• ------ in breve
• 0 0 1 somme parziali 3 2 2
• 1 1 1 riporti 1 2 3
• ------ -------
• 1 1 1 0 somma finale 1 1 1 1
• quanto fa 322 123 in base 5 ?
• in breve 3 2 2
• 1 2 3
• ------
• 1 0 0 0

97
esercizi

• quanto fa 304 552 in base 6 ?
• 3 0 4
• 5 5 2
• 1 3 0 0
• Ricorda (parto dalla colonna a destra)
• 42 610 , quindi 106 , scrivo cifra 0
  riporto 1
• 051 610 , quindi cifra 0 e riporto 1,
• 351910 136 , scrivo cifra 3 riporto 1
• 001110 16 , e abbiamo finito

verifica 3046 3364 108411210
552653656218030221210 quindi
1121021210 32410 1216 3360601
13006
98
esercizi

• calcolare 701 77 in base 8
• 7 0 1
• 7 7
• 1 0 0 0
• (7018 76410 1 44810 1449 77 877
  567 6310,
• 449106310 51210 10008 )
• calcolare 1202 x 22 in base 3
• 1 2 0 2 x 2 2
• 1 0 1 1 1
• 1 0 1 1 1
• 1 1 1 2 2 1
• verifica 12023272924710 22362810
  prodotto 478 37610
• 3763125,r 1 125341,r 2 41313,r 2
  1334,r 1 431,r 1
• 1112213 1243181127292312438127186
  137610

1 8 64 512 4096 (0, 3, 6, 9, 12 bit)
1 3 9 27 81 243 ..
99
esercizi

• verificare
• 1a) 1984 (base 10) 2201111 (base 3)
• 1b) 3700
  (in base 8)
• 2) 2576 in base 8 010101111110 (in base
  2)
• 3) 14 15 31 (base 8)
• 4) C D 9C (base 16)
• (segue soluzione)

100

• 1a) 1984 (base 10) 2201111 (base 3)
• 1984/3 661 resto 1
• 18
• 04 661/3 220 resto 1
• 1 6
• 01 220/3 73 resto 1
• 10
• 1 73/3 24 resto 1
• 13
• 1 24/3 8 resto 0
• 0
• 8/3 2 resto 2
• 2
• 2/3 0 resto 2

verifica 2201111 3 vale in base
10 (((((232)30)31)31)31)31 ((((
830)31)31)31)31 ((( 2431)31)31)3
1 ((7331)31)31 (22031)31 66131
19831 1984
101
esercizi

• 1b) 1984 (base 10) 3700 (in base 8)
• 1984/8 248, resto 0
• 38
• 64 248/8 31, resto 0
• 0
• 31/8 3, resto 7
• 3/8 0, resto 3
• Verifica
• 383 782 0 0 3512 764
• 1536 448 1984

102
esercizi

• 2) 2576 in base 8 010101111110 (in
  base 2)
• basta espandere le cifre ottali in gruppi di 3
  bit,
• Ricordando la tabellina di corrispondenza
  binario - ottale
• 0 000 da cui
• 1 001 2 5 7 6
• 2 010 010 101 111 110
• 3 011
• 4 100 che e' il risultato richiesto ..
• 5 101
• 6 110
• 7 111

103
esercizi

• 3) 14 15 31 (base 8) .. ricorda la
  tabella di addizione
• -------------------------- da cui
• 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 4
• 1 1 2 3 4 5 6 7 10 1 5
• 2 2 3 4 5 6 7 10 11 ------
• 3 3 4 5 6 7 10 11 12 2 1
• 4 4 5 6 7 10 11 12 13 lt-1
• 5 5 6 7 10 11 12 13 14 ------
• 6 6 7 10 11 12 13 14 15 3 1
• 7 7 10 11 12 13 14 15 16
• verifica 148158121013102510 318

8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 11 12 13 14 15
16 17 20 17 18 19 20 21 22 23 24 25 21 22 23 24
25 26 27 30 31
104
esercizi

• 4) C D 9C (base 16)
• C 12 (ricorda A10, B11, C12, D13,
  E14, F15)
• D 13
• 12 13
• --------
• 12
• 36
• --------
• 156 10
• 15610, divido ripetutamente per 16
• 156/16 9 (169 144, 156-14412restoC)
• 9/160, resto 9, quindi 15610 9C16

105
frazioni

• FRAZIONI
• 3,14 10 xxxx,yyyyyyy k in base k
• 0,0005 10 aaaa,bbbbbb k in base k
• 2007,9797 10 cccc,dddddd k in base
  k

106
FRAZIONI

• conversione di FRAZIONI
• Cosa significa / come si interpreta in base 4
  
• 2321,0222
• Oppure
• come si trasforma la codifica
• 39,71 da base 10
  in base generica ?

107
FRAZIONI

• nota il significato delle cifre dopo la virgola
  in base B e'
• il contributo al valore complessivo dato dal
  prodotto della cifra volte il peso associato alla
  posizione
• i pesi sono ora 1/(potenza della base)
• 0,abcde... in base B
• rappresenta il numero
• a b c d e
• --- --- --- --- --- ...
• B B2 B3 B4 b5

108
FRAZIONI

• Cambio base
• 29,45 29 0,45
• per cambiare base trasformo separatamente
• la parte intera e separatamente la parte
  fratta
• Per la parte intera sappiamo gia' come fare
• 29 (base 10) xxx (base b)
• Per la parte fratta
• 0,45 0,abcdef... in altra base
  b ?

109
FRAZIONI

• Per la parte fratta
• 0,45 0,abcdef... in altra base
  b ?
• ricorda la definizione
• 0,45 4/10 5/100 ... e
• 0,abcde in base b significa ovviamente
• a/10 b/100 c/1000 d/10000 e/100000
• essendo 10, 100, 1000 ecc espressi nella nuova
  base,
• ovvero b, b2, b3, ecc

110
FRAZIONI

• Ancora
• 0,5 in base 10 vale 0,1 in base 2
  (un mezzo)
• -- ovvero
• 5/10 (base 10) 1/2 in base 10 1/10
  (base 2)
• quindi
• 0,510 0,12
• Ancora
• 0,125 in base 10 1/8 in base 10 1/100 in
  base 2
• quindi
• 0,12510 0,0012

111
conversione di base per frazioni

• 0,45 0,abcdef... conversione da base 10 a
  base 5
• se moltiplico entrambe le parti per b
• 0,45 5 0,abcdef... 5
  ottengo
• 2,25 a,bcdef...
• devono essere separatamente uguali la parte
  intera e la parte fratta, quindi 2 a
• ottengo la prima cifra della parte fratta
  moltiplicando il dato di partenza (in base 10)
  per la base nuova b (qui cinque)
• ripeto con solo la parte fratta
• 0,25 5 0,bcdef 5
  ottengo
• 1,25 b,cdef...
  e quindi 1 b

112
FRAZIONI

• 0,4510 0,abcdef... b da base 10 ad altra
  base b
• procedimento per calcolare le cifre abcdef...
  della parte fratta nella nuova base
• moltiplico entrambe le parti per b -
• 0,xxx b 0,abcdef... b
• ottengo a sinistra e a destra una cifra intera,
• y,zzz a,bcdef...
• devono essere uguali sia la parte intera che la
  parte fratta, separatamente, quindi ottengo la
  prima cifra della parte fratta !
• y a ...
  e poi ripeto ...

113
conversione di base per frazioni

• 0,45 0,abcdef... conversione da base 10 a
  base 5
• moltiplico ripetutamente entrambe le parti per
  b,
• ad ogni passo ottengo una cifra della parte
  fratta in base b, e poi ripeto con solo la parte
  fratta rimasta
• 0,45 5 0,abcdef... 5 ottengo
• 2,25 a,bcdef... quindi a 2
  ripeto
• 0,25 5 0,bcdef... 5 ottengo
• 1,25 b,cdef... e quindi b 1
  ripeto
• 0,25 5 0,cdef... 5 ottengo
• 1,25 c,def... e quindi c 1
  ripetendo,
• 0,4510 0,211111... 5 in base 5
  (periodico)

114
conversione di base per frazioni

• 2) esempio trasformare 0,71 da base 10 in
  base 5,
• cioe' trovare le cifre a,b,c,d,... della parte
  fratta in base 5.
• 0,71 0,abcdefg.. gtgt moltiplico
  ripetutamente per 5
• / in base 10 \ / parte in base 5 \
• 0,71 5 3,55 a,bcdefg... quindi a 3
• 0,55 5 2,75 b,cdefg.... quindi b 2
• 0,75 5 3,75 c,defg..... quindi c 3
• 0,75 5 3,75 d,efg...... quindi d 3
• (periodico)
• quindi 0,7110 0 , 3 2 3 3 3 35
  cioe'
• 7 1 3 2 3 3
• --- --- --- --- --- --- ...
• 10 100 5 25 125 625
• nota spesso ottengo un numero periodico nella
  nuova base!

115
conversione di base per frazioni

• 3) es. trovare la rappresentazione di 0,45
  (dato in base 10) in base 8, ovvero trovare le
  cifre a,b,c,d,e,f,g, ... tali che
• 0,4510 0,abcdefg ... 8
• Moltiplico per la base nuova ripetutamente
• ParteFratta 0,458 3,6 a,bcdefg-gt a3
• 0,6 8 4,8 b,cdefg... b4
• 0,8 8 6,4 c,defg... c6
• 0,4 8 3,2 d,efg... d3
• 0,2 8 1,6 e,fg... e1
• 0,6 8 4,8 f,g... f4
• 0,8 8 6,4 g,... g6
• la sequenza 4 6 3 1 si ripete, quindi
• 0,45 (base 10) 0,3 4631 4631 4631 ...

116
nota sul cambio di base

• Entrambi i procedimenti di conversione
• (parte intera e parte fratta)
• sono basati sul fatto che
• dividere (o moltiplicare) per la base b
• significa
• spostare la virgola (di base b) di una posizione
  
• a sinistra (o a destra) (come ovvio in
  base 10)
• Esempi in binario
• 11 x 10 110 (3 x 2 6) 101 x 10
  1010 (5 x 2 10)
• 110 x 10 1100 (6 x 2 12) 111 x 10
  1110 (7 x 2 14)
• 1110 10 111 (14 2 7)