Delineamentos Fatoriais Fracion

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Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois
Níveis
MAT02264 - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2

• André Lacerda Biurrum
• Jaqueline Maschmann Goes

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FATORIAL FRACIONÁRIO

• Definição Experimento que consiste apenas parte
  das combinações de tratamentos de uma repetição
  completa.
• Principal uso experimentos pilotos (screening
  experiments) ? são experimentos, nos quais,
  usamos muitos fatores, com o propósito de
  identificar aqueles com efeito significativo.
  Geralmente são realizados numa etapa anterior ao
  experimento definitivo. Os fatores identificados
  com efeito significativo, são estudados num
  experimento mais completo.

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FATORIAL FRACIONÁRIO

• Características Os experimentos fatoriais
  fracionários caracterizam-se como experimentos
  preliminares (screening experiments) trabalhando
  com as seguintes idéias (1) Princípio do Efeito
  Escasso (sparsity effect), onde os efeitos
  principais e as interações de baixa ordem são de
  interresse inicial, (2) Propriedade de Projeção e
  (3) Experimentação Seqüencial.

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FATORIAL FRACIONÁRIO
IDÉIAS BÁSICAS 1) Quando existem muitas
variáveis, o processo ou o sistema é conduzido
por alguns poucos efeitos principais e interações
de menor ordem 2) A partir dos experimentos
fatoriais fracionários podemos projetar
experimentos mais completos (maiores) dentro de
um subconjunto de fatores significativos 3)
Pode-se combinar dois ou mais experimentos
fracionários, seqüencialmente e, assim, estimar
os efeitos e interações de interesse.
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CARACTERIZAÇÃO
Fração 1/2 de um delineamento 2k Vamos considerar
didaticamente um experimento fatorial 238
tratamentos. Porém, só podemos realizar 4
tratamentos, assim, temos
2k-p onde k3 e p1
A tabela com sinais de e - para o fatorial 23 é
dada na tabela a seguir
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CONTRASTE DE DEFINIÇÃO
Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para
o nosso experimento. Observe que o nosso
fatorial fracionário 23-1, é formado pelos
tratamentos com sinal para a coluna ABC. Então,
ABC é chamado de GERADOR da fração. Observe que,
para a fração escolhida, temos IABC
denominada de CONTRASTE DE DEFINIÇÃO. Em geral,
o contraste de definição, sempre será o conjunto
de todas as colunas que são iguais a coluna
identidade I. No exemplo, temos uma só coluna.
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ESTIMATIVAS DOS EFEITOS
A redução do tamanho do experimento, de grande
vantagem em muitas situações, não poderá ser
levada a efeito impunemente. Os resultados de um
experimento em repetição fracionada exigem, para
sua interpretação, cuidados de outra ordem que os
encontrados nos delineamentos com repetições
completas.
Observando-se a tabela de sinais ( e -), as
combinações lineares para estimar os efeitos
principais de A, B e C, são
Observamos, também, que as combinações lineares
para estimar os efeitos das interações com dois
fatores são
Observamos, que
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ESTRUTURA DOS ALIASES
A estrutura dos aliases pode ser encontrada
usando a relação de definição IABC.
Multiplicando qualquer coluna pela relação de
definição, obtemos os aliases para aquele efeito.
No exemplo, o aliás do efeito A é
A.IA.ABCA2BCA0BCBC ABC
De forma similar, encontramos
B.IB.ABCAB2CAB0CAC BAC e C.IC.ABCABC2ABC0
AB CAB
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CONSEQÜÊNCIAS

• A conseqüência do uso de uma meia repetição
  apenas é a perda de um efeito fatorial, ABC, e o
  confundimento de todos os efeitos principais como
  uma das interações simples. Se um experimento
  acusar um aparente efeito de A, não há maneira de
  saber se o observado é realmente do fator A, ou
  se é devido à interação BC, ou se é mistura de
  ambos. Na interpretação dos resultados cabe ao
  experimentador decidir a qual aliás atribuir o
  efeito observado.

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OBSERVAÇÕES

• Aliases são efeitos fatoriais estimados pela
  mesma comparação
• É possível obter novas frações caso seja de
  interesse do pesquisador. Em uma segunda divisão
  deve-se obter outro contraste de definição
• O contraste de definição é a interação de ordem
  mais elevada.

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DELINEAMENTOS DE RESOLUÇÃO

• III os efeitos principais tem como aliás as
  interações simples
• I ABC
• IV nenhum efeito principal tem como aliás outro
  efeito principal ou interação simples. As
  interações simples têm como aliás outra interação
  simples.
• I ABCD
• V os efeitos principais ou interação simples não
  tem como aliás qualquer efeito principal ou
  interação simples. As interações simples têm como
  aliás as interações tríplices.
• I ABCDE
• VI os efeitos principais têm como aliases as
  interações quíntuplas, as interações simples têm
  como aliases somente as interações quádruplas e
  as interações tríplices têm como aliases somente
  as interações tríplices.
• I ABCDEF

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Meia repetição do fatorial 24 contraste de
definição IABCD
Causas de Variação GL
Efeitos Principais 4 Erro
experimental (de interações simples) 3


Total 7
13
Meia repetição do fatorial 25 contraste de
definição IABCDE
14
Meia repetição do fatorial 26 contraste de
definição IABCDEF
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EXEMPLO
Exemplo (Montgomery). Sobre a produção de um
produto químico em um recipiente sob pressão. É
um experimento fatorial 24, com uma repetição,
onde os fatores são A Temperatura B Pressão
C Concentração de formaldeído D Taxa de
agitação. Vamos usar o delineamento 24-1, com
contraste de definição IABCD, com esta escolha
do gerador vamos conseguir um delineamento com a
maior resolução possível (IV). O delineamento é
mostrado na tabela a seguir.
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RESULTADOS
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Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos
significativos A, C, D, AC e AD. Como o fator B,
não é significativo, vamos desconsiderá-lo da
análise. Pode-se verificar o efeito das
interações na figura abaixo.
75
96
80
60

Concentração
(C)
100
45

Agitação
-
(D)
-
45
65
-

Temperatura (A)
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RESULTADOS

• Para o exemplo acima o experimentador utilizou-se
  da Propriedade de
• Projeção (2) que está apoiada na idéia de que se
  o experimentador tem
• K fatores e acredita que apenas K-1 destes têm
  efeito importante, então,
• um delineamento fatorial fracionário de
  resolução K projetar-se-á em
• um fatorial completo com K-1 fatores
  significativos. Assim, para uma
• projeção do delineamento , o
  experimentador considerou os efeitos A, C e D,
  bem como as interações AC e AD como
  significativos.

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ANOVA
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GRÁFICO DOS EFEITOS PRINCIPAIS
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GRÁFICO DAS INTERAÇÕES SIMPLES
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Fração 1/4 de um delineamento 2k

• Estes experimentos contém 2k-22k2-22k/222k/4
  tratamentos. São chamados de fatoriais
  fracionários 2k-2.
• Construção vamos através de um exemplo ilustrar
  a construção desses fatoriais fracionários.

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Fração 1/4 de um delineamento 2k

• Vamos considerar um fatorial fracionário 26-2.
• 1) Inicialmente, vamos escrever um fatorial
  completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-24 (ver
  tabela na próxima página).
• 2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada
  de interações com os primeiros k-2 fatores. Assim
  os fracionários 2k-2 , tem dois geradores.
  Suponha que escolhemos IACDF e IBCDE como
  geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE
  é ABEF portanto, o contraste de definição
  completo é dado por
• IACDFBCDEABEF , sendo
• um delineamento de resolução IV.

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Fração 1/4 de um delineamento 2k

• Os aliases, para qualquer efeito, é obtido
  multiplicando-se este fator por cada letra do
  contraste de definição. Por exemplo, para o
  efeito A, temos ACDFABCDEBEF (cada fator tem
  3 aliases).Os efeitos principais estão associados
  com interações de três e cinco fatores, ao passo
  que interações com dois fatores estão associados
  com interações de dois fatores ou mais. Portanto,
  quando estimamos A, na verdade estamos estimando,
  ACDFABCDEBEF. Se as interações triplas ou de
  maior ordem são desprezíveis, então este
  delineamento dá estimativas dos efeitos
  principais.

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Fração 1/4 de um delineamento 2k

• Exemplo usando fatorial 26-2, onde Aconcentração
  de farelo de aveia Bníveis de gordura Cníveis
  de bromato de potássio Dníveis de fermento E
  água Fleite em pó. Vamos supor que o
  pesquisador usou as 16 combinações da tabela
  abaixo

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Fração 1/4 de um delineamento 2k
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Fração 1/4 de um delineamento 2k

I ABEF ACDF BCDE A BEF
CDF ABCDE B AEF CDE ABCDF
C ADF BDE ABCEF D ACF BCE
ABDEF E ABF BCD ACDEF F
ABE ACD BCDEF AB EF ACDE
BCDF AC DF ABDE BCEF AD CF
ABCE BDEF AE BF ABCD
CDEF AF BE CD ABCDEF BC DE
ABDF ACEF BD CE ABCF
ADEF ABC DEF BDF AEF ABD
ACE BCF DEF
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ANOVA
significativo a 0,05 significativo a 0,01
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CONCLUSÃO
Os maiores efeitos são C (níveis de bromato de
potássio) D (níveis de fermento) e a interação
AF (Farelo de aveiaLeite em pó). Como a
interação AF foi significativa, para manter o
princípio da hierarquia, recomenda-se incluir no
modelo os efeitos de A e de F.
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Fatoriais fracionários 2k-p

• Quando usamos a fração 1/(2p), temos um
  experimento com 2k-p tratamentos e o experimento
  é denominado de fatorial fracionário 2k-p.
• - Necessita-se de p geradores independentes
• - A relação definição é formada pelos p geradores
  inicialmente selecionados e as 2p-p-1 interações.
  
• A estrutura de aliases pode ser encontrada
  multiplicando-se cada efeito pelo contraste de
  definição.

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Fatoriais fracionários 2k-p

• Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores
  para um fatorial fracionário 2k-p, de tal forma
  que efeitos de interesse não estejam associados
  com outros também de interesse.
• Um critério razoável é selecionar os geradores de
  tal forma que o delineamento tenha a maior
  resolução possível.
• Montgomery, 1997, página 398-400, apresenta uma
  série de experimentos fatoriais fracionários 2k-p
  para k?15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta
  sugestões de geradores os quais resultam num
  delineamento de maior resolução possível.

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PROCEDIMENTO NO MINITAB
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PROCEDIMENTO NO MINITAB