Metodologia de Superf

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Metodologia de Superfície de Resposta

• Marília Canabarro Zordan
• Sabrina Letícia Couto da Silva

MAT 02014 - Planejamento de Experimentos II
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MÉTODOS DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA

• Conjunto de técnicas estatísticas usadas para
  analisar problemas com variáveis independentes
  contínuas em relação a variável aleatória.
• - O objetivo é buscar a combinação dos fatores
  que otimizam a resposta.

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• É usado quando
• Fixa-se um fator A e varia-se o outro B.
• Fixa-se B onde a resposta é máxima e varia-se A.
• Variando os dois fatores conjuntamente.
• - A modelagem é usada para estabelecer a relação
  entre a variável resposta e a(s) variável (is)
  independente(s), pois em geral esta não é
  conhecida e precisa de aproximação.

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O procedimento seqüencial na MSR é encontrar os
resultados da ANOVA e verificar se São
distante do ótimo, com pouca curvatura ? Modelo
de 1ª ordem Leva de forma rápida e eficiente até
a vizinhança do valor ótimo. A região ótima é
encontrada ? Modelo de 2ª ordem e análise do
ótimo
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Função e Representação Gráfica

• y é a resposta (variável dependente, p.e,
  produção de um objeto)
• x1 e x2 são os fatores (p.e, temperatura e
  pressão)
• y f(x1,x2) erro
• E(y) ? ? ? f(x1,x2) Superfície de Resposta
• y ? erro

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Uma possível representação gráfica para a SR
seria
x1 e x2 aparecem no plano y aparece no eixo
perpendicular
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Um representação alternativa é o gráfico de
contornos. Desenham-se linhas de igual resposta
de um gráfico cujas coordenadas representam os
níveis dos fatores
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Para três ou mais fatores é mais comum a
representação gráfica da superfície através do
gráfico de contornos no espaço bidimensional,
fixando um ou mais fatores no nível ótimo.

• Exemplo
• Y produção de uma reação química
• A Tempo de Reação (60,90,120,150,180 min)
• B Temperatura (210,220,230,240,250C)
• Procedimento Clássico
• Fixando B 225C ? 130 min e 75g
• Fixando A 130min ? 225C e 75g

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(No Transcript)
10
E como os fatores se comportam conjuntamente? É
preciso conduzir o experimento variando ambos os
fatores simultaneamente e então para
representação gráfica usar um gráfico de
contornos. Continuando o exemplo...
A 65 minutos B 225C Y 91g
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Conclusão do Exemplo O procedimento de
investigar uma variável independente (fator) de
cada vez falha, pois ele assume que o máximo
valor produzido por um fator é independente do
máximo produzido pelo outro fator, o que nem
sempre acontece.
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Aproximações Como nem sempre a relação entre
fatores e resposta é conhecida, o primeiro passo
em MSR é encontrar uma aproximação adequada para
a relação entre eles, dentro de uma faixa
limitada do espaço de fatores. Se a resposta é
bem modelada por uma função linear das var.
independentes y ß0 ß1x1 ... ßkxk e A
análise da SR é então feita em termos da SR
ajustada.
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Modelos de Primeira OrdemMétodo da Máxima
Inclinação Ascendente
1 - Delineamentos Exploratórios de
Tratamentos 2 Fatoriais da série 2k Onde, K
n de fatores completos ou fracionados 2 n de
níveis 3 Verificar se há acréscimo
(decréscimo) na resposta ou não, com a presença
dos fatores
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• Condições iniciais estão afastadas daquelas que
  otimizam a resposta ? Modelo de 1ª Ordem
• O objetivo é mover o experimento rapidamente
  para a vizinhança geral do ótimo utilizando um
  procedimento experimental simples, rápido,
  econômico e eficiente.
• MMIA procura a MÁXIMA inclinação ascendente
• MMID procura a MÍNIMA inclinação descendente
• O gráfico de contornos da SR de 1ª ordem são uma
  série de linhas paralelas. A direção da MIA é a
  direção na qual y estimado cresce mais
  rapidamente.

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Usualmente, toma-se como caminho da MIA a linha
a partir do centro da região de interesse e os
passos ao longo do caminho são determinados
pela experiência do pesquisador.
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• Utiliza-se um conjunto de tratamentos em torno
  do ponto inicial e estima-se por Mínimos
  Quadrados as inclinações ßi. A partir das
  magnitudes e sinais destas inclinações,
  calcula-se a direção da MIA.
• Experimentos são conduzidos ao longo do caminho
  da MIA até que nenhum incremento na resposta seja
  observado. E repetir a seqüência novamente.
• Eventualmente chega-se a vizinhança do valor
  ótimo e isto será indicado pela falta de ajuste
  do modelo de 1ª ordem.
• A aproximação por um plano se torna
  insatisfatória pelo fato dos efeitos de ordens
  mais elevadas, particularmente os de 2ª ordem
  (quadrático e de interação linear), se tornarem
  relativamente mais importantes. Nesse caso usa-se
  Modelo Quadráticos.

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EXEMPLO (produção do reagente) O processo
normal é operado com um tempo de 35min e uma
temperatura de 155F, que resulta numa produção
de 40. Como a região ótima é desconhecida
ajusta-se um modelo de 1ª ordem por MMIA. A
região experimental será (30,40) min para o tempo
de reação e (150,160)F para temperatura. As
variáveis independentes podem ser recodificadas
para (-1,1) para simplificar os cálculos.
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Se ?1 e ?2 representam as variáveis naturais
para tempo e temperatura respectivamente, os
valores são codificados
Tamanho do Passo
Média do Intervalo
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O delineamento a ser utilizado nesse experimento
consiste de um Fatorial 22 aumentado por CINCO
PONTOS (Tratamentos) CENTRAIS. Com a utilização
dos pontos centrais é possível estimar o erro
experimental e testar a adequabilidade (lack of
fit) do modelo de 1ª ordem. Além disso, nesse
caso, o tratamento central representa as
condições de operação normalmente
empregadas. Deve-se ajustar aos dados um modelo
de primeira ordem, ou seja, a equação de
regressão
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Dados
Variáveis Naturais Variáveis Naturais Variáveis Codificadas Variáveis Codificadas Resposta
?1 ?2 x1 x2 y
30 150 -1 -1 39,3
30 160 -1 1 40,0
40 150 1 -1 40,9
40 160 1 1 41,5
35 155 0 0 40,3
35 155 0 0 40,5
35 155 0 0 40,7
35 155 0 0 40,2
35 155 0 0 40,6
21
A equação de regressão encontrada é
A SQTotal é encontrada da mesma forma de
qualquer outra análise, mas é particionada em
SQRegressão e SQResíduos. A SQErro com 4GL também
é obtida de forma tradicional, porém só com os
valores dos pontos centrais. Assim, o modelo de
primeira ordem assume que os fatores possuem um
efeito aditivo sobre a resposta.
22
A interação entre os fatores pode ser obtida
adicionando o termo x1x2 e é medida pelo
coeficiente ß12. A estimativa é obtida
(considerando as variáveis codificadas) por
23
Para o exemplo...
1 GL
A estatística da falta de ajuste é
F(1,4)7,71 a 5 Logo, NS.
24
Outra verificação da adequabilidade do modelo é
obtida pela comparação da resposta média dos
quatro pontos do fatorial (40,425), com a
resposta média do centro do delineamento
(40,46). Se ß11 e ß22 são os coeficientes dos
termos quadráticos , então a
diferença das médias é uma estimativa de ß11
ß22.
25
Efeito quadrático NS a 5 de significância.
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Causas da Variação SQ GL QM F
Regressão 2,8250 2 1,4125 47,83
Resíduo 0,1772 6 0,0295
Interação 0,0025 1 0,0025 0,058
Quadr. Puro 0,0027 1 0,027 0,063
Erro 0,1720 4 0,0430
Total 3,0022 8
Significante a 1
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Assim, não existe nenhuma razão para questionar
o modelo de primeira ordem. Os próximos passos da
MIA devem seguir. Os fatores devem variar nas
proporções das estimativas dos Betas, ou seja,
para cada 0,775 unidades acrescidas em x1, x2
deve aumentar 0,325 unidades. Destransformando-a,
direção da MIA é definida por 5x0,775 3,875
minutos ? 5x0,3251,625 O caminho principal a
partir da origem (0,0) nesta direção pode ser
obtido por um incremento conveniente a um dos
fatores (p.e, 5 minutos para tempo). As mudanças
proporcionais do outro fator 0,325/0,7750,42.
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Assim, estas quantidades devem ser acrescidas
aos níveis base dando origem ao caminho da
MIA. O engenheiro realizou os ensaios de acordo
com esse caminho e observou a produção nesses
pontos até que um decréscimo na resposta foi
notado. Os resultados estão na tabela a seguir
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Variáveis Codificadas Variáveis Codificadas Variáveis Naturais Variáveis Naturais Resposta
X1 X2 ?1 ?2 y
Nível Base 0 0 35 155
Unidade 5 5
Unidade 3,875 1,625
Variação do Nível 1,00 0,42 5 2
Ensaio 1 1 0,42 40 157 41,0
Ensaio 2 2 0,84 45 159 42,9
Ensaio 3 3 1,26 50 151 47,1
Ensaio 4 4 1,68 55 163 49,7
Ensaio 5 5 2,10 60 165 53,8
Ensaio 6 6 2,52 65 167 59,9
Ensaio 7 7 2,96 70 169 65,0
Ensaio 8 8 3,36 75 171 70,4
Ensaio 9 9 3,78 80 173 77,6
Ensaio 10 10 4,20 85 175 80,3
Ensaio 11 11 4,62 90 177 76,2
Ensaio 12 12 5,04 95 179 75,1
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Incrementos na resposta são observados até o 10
passo depois há um decréscimo na produção.
Portanto, outro modelo de primeira ordem pode
ser ajustado em torno do ponto (85,175). A região
de exploração para tempo seria (80,90) e de
temperatura (170,180). Codificam-se os níveis
das variáveis tempo e temperatura novamente como
(-1,1) e um delineamento fatorial 22 acrescido
de 5 pts centrais será utilizado. Assim
repete-se todo o processo e os resultados são
analisados a seguir
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Dados para ajuste do segundo modelo de 1ª Ordem
Variáveis Naturais Variáveis Naturais Variáveis Codificadas Variáveis Codificadas Resposta
?1 ?2 X1 X2 y
80 170 -1 -1 76.5
80 180 -1 1 77.0
90 170 1 -1 78.0
90 180 1 1 79.5
85 175 0 0 79.9
85 175 0 0 80.3
85 175 0 0 80.0
85 175 0 0 79.7
85 175 0 0 79.8
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O modelo de 1ª Ordem ajustado aos dados
codificados é dado por Y 78.97 1.00 X1
0.50 X2
Causas da Variação SQ GL QM F
Regressão 5,0000 2 2,5000 47,17
Resíduo 11,1200 6
Interação 0,2500 1 0,2500 4,72
Quadr. Puro 10,6580 1 10,6580 201,09
Erro Puro 0,2120 4 0,0530
Total 16,1200 8
Significativo a 1
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• Pela tabela de ANOVA, o componente do termo
  quadrático puro foi significativo, isso implica
  que o modelo de 1ª Ordem não é uma aproximação
  adequada
• Essa curvatura na real superfície pode indicar
  que se está próximo do ótimo. Assim, análises
  adicionais devem ser feitas para localizar o
  ótimo com mais precisão.

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Algoritmo geral para determinar as coordenadas de
um ponto no caminho da máxima inclinação
ascendente - assumir que o ponto x10, x20,
...,xk0 é a base ou origem. 1. Escolha um
tamanho para uma das variáveis independentes, por
exemplo, ?xj. Geralmente, selecionamos a variável
que temos maior conhecimento, ou aquela que tem
maior coeficiente de regressão em módulo .
2. O passo nas demais variáveis é
3. Converter ?xi das variáveis codificadas para
as variáveis naturais.
35
Análise de Modelos de Segunda Ordem

• Quando o pesquisador está próximo da região de
  ótimo, um modelo que incorpora o efeito de
  curvatura é indicado.
• O modelo de 2ª Ordem é dado por

Como encontrar o ponto ótimo (estacionário)?
Qual a natureza da superfície de reposta?
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Localização do ponto estacionário
Desejamos encontrar os níveis de x1, x2, ...,xk,
que maximizam a resposta estimada (predita). Este
ponto, se existir, será um conjunto de x1, x2,
...,xk para o qual as derivadas parciais são
iguais a zero
Esse ponto, x1.S, x2.S, ...,xk.S é o dito PONTO
ESTACIONÁRIO. Este ponto pode representar um
MÁXIMO, MÍNIMO ou PONTO DE SELA.
37
(No Transcript)
38
Determinação do ponto estacionárioSolução
matemática geral. O modelo de 2ª Ordem escrito na
forma matricial fica
Onde b é um vetor (k x 1) dos coeficientes de
regressão de 1ª ordem e B é uma matriz simétrica
(k x k) onde na diagonal têm-se os coeficientes
de regressão de 2ª ordem e fora da diagonal os
coeficientes de interação. As derivadas parciais
dos valores preditos da resposta ( y chapéu) com
relação aos elementos de x e colocadas iguais a
zero são dadas por
39
O ponto estacionário é a solução da equação
anterior, ou seja,
O valor predito da variável resposta no ponto
estacionário é
Demonstração
40
Natureza da superfície de resposta

• Desejamos saber se o ponto estacionário é um
  ponto de máximo, mínimo ou ponto de cela.
• Forma mais direta gráfico de contorno do modelo
  de regressão ajustado aos dados.
• Mesmo com poucas variáveis independentes, uma
  análise mais formal, denominada de Análise
  Canônica, pode ser útil.

Análise Canônica (Facilita a interpretação dos
resultados!!!)
Considere uma translação (novo sistema de
coordenadas) da superfície de resposta da origem
(x1, x2,...,xk)(0, 0,...,0) para o ponto
estacionário xS e então rotacione os eixos desse
sistema até que eles fiquem paralelos aos eixos
principais da superfície de resposta
ajustada. Na figura no próximo slide isso pode
ser visualizado...
41
A função de resposta em termos das novas
variáveis w1, w2,...,wk (forma canônica) é dada
por
FORMA CANÔNICA DO MODELO
Onde os wi são as variáveis indep. transformadas
e os ?i são constantes. O ys é a resposta
estimada no ponto estacionário xS. Os ?i são os
autovalores ou raízes características da matriz
B.
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Estudo da natureza da Superfície de Resposta

• Este estudo pode ser feito considerando o ponto
  estacionário e os sinais e magnitudes dos (?i).
• Suponha que o ponto estacionário esteja dentro
  da região na qual foi ajustado o modelo de 2ª
  ordem.
• Se todos os valores de (?i) são positivos,
  então, xs é um ponto de resposta mínima se os
  (?i) são todos negativos, então, xs é um ponto de
  resposta máxima se os valores de (?i) tem sinais
  positivos e negativos, então, xs é um ponto de
  sela.
• Além disso, a superfície tem inclinação na
  direção de wi para o qual o valor de ?i é
  maior.
• Por exemplo, na figura anterior, xs é um ponto
  de máximo (todos os (?i) são negativos) e ?1 gt
  ?2.

43
Exemplo 2 vamos continuar com a análise do
processo químico do ex 1 (2ª fase do
estudo). Para ajustar um modelo de 2ª ordem, o
pesquisador decide aumentar o delineamento com
pontos adicionais (o engenheiro usou 4 OBS
adicionais mais ou menos no mesmo tempo em que
executou os 9 tratamentos anteriores). Os 4
tratamentos adicionais foram (x10 x2
1,414) (x1 1,414 x20) Este delineamento
denomina-se de DELINEAMENTO CENTRAL COMPOSTO.
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VARIÁVEL RESPOSTA
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Delineamento Central Composto para o exemplo 1
(processo químico)
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Response Surface for Variable PRODUCAO
Response Mean
78.476923 Root MSE
0.266290
R-Square 0.9827
Coef. of Variation
0.3393 Degrees
of Type I Sum Regression
Freedom of Squares R-Square F-Ratio
Prob gt F Linear 2
10.042955 0.3494 70.814 0.0000
Quadratic 2 17.953749
0.6246 126.6 0.0000 Crossproduct
1 0.250000 0.0087 3.526
0.1025 NS Total Regress 5
28.246703 0.9827 79.669 0.0000
Degrees of
Sum of Residual Freedom
Squares Mean Square F-Ratio Prob gt
F Lack of Fit 3 0.284373
0.094791 1.789 0.2886 NS Pure Error
4 0.212000 0.053000
Total Error 7 0.496373
0.070910
47
Análise no DOE do SAS 8.0
48
Gráfico de Contorno
Pelo gráfico de contornos, observa-se que o
processo é mais sensível (levemente) à mudanças
no tempo de reação do que para mudanças na
temperatura.
49
Superfície de Resposta
Ponto Ótimo ? (85 min 175º F)
Observa-se que o ótimo está próximo de 175oF e
85 min e que a resposta neste ponto é um ponto de
máximo.
50
Determinação da localização do ponto estacionário
(máximo).
Temos que
O ponto estacionário é dado por
X1,s
Em termos das variáveis naturais, o ponto
estacionário é dado por
51
O valor da resposta estimada no ponto
estacionário é
ANÁLISE CANÔNICA - Objetivo caracterizar a
superfície de resposta
Vamos expressar o modelo ajustado na forma
canônica. 1º precisamos encontrar os autovalores,
?1 e ?2. Os autovalores são as raízes do
determinante da equação
A equação fica
As raízes desta equação de segundo grau são
?1-0,9635 e ?2-1,4143. A forma canônica do
modelo ajustado fica