Apresenta

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Universidade Federal de Pernambuco Departamento
de Física
Modelos Não Gaussianos para Precificação de Opções
Giovani L. Vasconcelos Rio de Janeiro, 09 de
novembro de 2007
Colaboradores Rogério Costa, Antônio Mário
Ramos, José Augusto Carvalho Filho, Domingos
Salazar
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Roteiro

• O que são Opções?

• Breve histórico

• Hipótese do mercado eficiente e o movimento
  browniano

• Modelo de Black-Scholes

• Análise do Ibovespa

• Modelo Exponencial para Opções

• Conclusões

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Mercado de Opções
Uma opção é um contrato que dá o direito, mas não
a obrigação, de comprar ou vender um determinado
ativo S por um preço K pré-determinado (preço de
exercício) em um tempo T futuro (vencimento).
Opção de Compra (Call)
Na data T do vencimento

• se S(T) lt K, o titular não exerce a opção.

• se S(T) gt K, o titular exerce a opção. Compra
  por K, revende no mercado por S e embolsa a
  diferença (S-K).

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Mercado de Opções
Uma opção representa um direito. Logo, é
necessário que se pague por tal direito.
Surge então a seguinte questão
Quanto deve valer um contrato de opção?
Para responder essa questão é necessário modelar
a dinâmica de preços do ativo S de referência.
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Breve Histórico

• 1600s - Holanda Bolha da Tulipa ? Opções.
• 1900 - Louis Bachelier defende a tese
• Théorie de la Especulation, em que modela
• preços como um movimento browniano.
• 1955 - Paul Samuelson Moderna teoria de
  apreçamento logaritmo dos preços descreve um MB.
• 1970 - Eugene Fama Hipótese do Mercado
  Eficiente

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Breve Histórico

• 1963 Benoit Mandelbrot propõe distribuições de
  Levy (não-gaussianas) para os retornos.
• 1973 Opções começam a ser negociadas na Bolsa
  de Opções de Chicago (CBOT).
• 1973 - Fischer Black, Myron Scholes e Robert
  Merton desenvolvem o Modelo de Black-Scholes
  para opções.
• 1979 Bovespa lança opções em ações.
• Década de 90 Nasce a Econofísica.

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Breve Histórico

• 1997 - Merton e Scholes recebem o Nobel de
  economia.

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Hipótese do Mercado Eficiente

• Em um mercado eficiente o preço atual reflete
  toda informação disponível.
• O passado não contém qualquer informação que já
  não esteja incorporada no preço atual.
• Preços variam com a chegada de novas
  informações
• ? flutuações imprevisíveis ? descrição
  probabilística
• Variações futuras do preço são independentes das
  variações anteriores.
• ? preços seguem um movimento
  browniano!

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Movimento Browniano
1827- Robert Brown estuda grãos de pólen em
suspensão na água e observa o movimento errático
de partículas.
Reprodução (1992) partículas de gorduras do
leite em suspensão .
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Movimento Browniano
1905- Einstein formula e resolve o problema
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Distribuição Gaussiana
deslocamento quadrático médio
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Hipótese do Mercado Eficiente

• Retornos x(t) lnS(t) seguem um movimento
  browniano
• x(t1) x(t) flutuação aleatória
• Em tempo contínuo

• Distribuiçao gaussiana (normal) para os
  retornos

• Preço S(t) segue uma distribuiçao log-normal.

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Modelo de Black-Scholes

• Ativo livre de risco (conta bancária)
• Ativo de risco S segue um MB geométrico
• R(t) ? ???(t)
• Distribuição log-normal para S(t)

taxa de juros
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Abordagem Neutra a Risco (Merton)

• Em um mundo indiferente ao risco
• O preço justo da opção C é o valor esperado do
  
• ganho futuro corrigido a tempo presente
• Opção de compra

m r
C(S,t) e-r(T-t) EC(S,T)rn
C(S,T) max(S-K,0)
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Fórmula de Black e Scholes
A fórmula de Black-Scholes encontra-se disponível
em qualquer calculadora moderna com funções
financeiras!
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Análise do Ibovespa
Retornos
Ibovespa

• Os sucessivos retornos são independentes?
• A distribuição é gaussiana?

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Expoente de Hurst
desvio padrão ? t H
H 1/2 sem memória (mov. browniano) H ? 1/2
efeitos de memória (correlação)

• Memória persiste até 6 meses!
• Similar a outros mercados emergentes.

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Dependência no tempo
Costa e Vasconcelos, Physica A, 2003
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Scientific American Brasil, agosto de 2004
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Histograma dos Retornos
J.A. Carvalho-Filho, 2004

• região linear ? distribuição exponencial!

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Modelo Exponencial para Retornos
Condição de normalização Escolhendo
covenientemente
Obtemos, usando as duas igualdades, as expressões
Consequentemente
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Cotações Intraday
J.A. Carvalho-Filho, 2004

• Exponencial para ? gt 1h

• Lei de potência para ? lt 1h

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Cotações Intraday
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
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Distribuições com lei de potência

• Distribuição de Tsallis (ou q-gaussiana)

variância
Cauda com lei de potência
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Análise Empírica do Ibovespa
Distribuição de Tsallis
Distribuição de Levy
A. M. T. Ramos, 2007
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Ajuste Empírico ao Ibovespa
q-gaussiana exponencialmente truncada
q-gaussiana
q1.64
q1.75
A. A. G. Cortines, R. Riera, Physica A 2007
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Modelo Exponencial para Opções
McCauley, Gunaratne, Physica A 2003

• Aplicando a abordagem neutra a risco

• Resulta uma fórmula explícita para o preço da
  opção

neutralidade a risco
Dois parâmetros não conhecidos ? e ?
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Comparação entre os Modelos para Opção
Série IBOVL, vencimento 13/12/2006
gaussiano é melhor
exponencial é melhor
T 14 dias
T 36 dias
A. M. T. Ramos, 2007
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Comparação entre os Modelos para Opção
Próximo do vencimento o modelo exponencial é
melhor
Em alguns casos o ajuste exponencial apresenta
resíduo bem menor do que o gaussiano.
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Outros Modelos Alternativos de Opções

• Modelos com Distribuição de Lévy Truncada (A.
  Matacz, Int. J. Theor. Appl. Finance, 2000)
• Modelos com processos de Lévy
• (Lévy Processes in Finance, Wim Schoutens,
  2001)
• Modelo q-Gaussiano (L. Borland, PRL 2002)
  fórmula explícita aproximada.
• Modelo de Black-Scholes Fracionário (C.
  Necula, 2002 Cajueiro e Barbachan, 2003)
  retornos seguem um movimento browniano
  fracionário, H ? 1/2.
• Modelos com Volatilidade Estocástica.

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Conclusões e Desafios

• Efeitos não-gaussianos são abundantes no mercado
  financeiro.

• Presença de correlações (H gt 0.5) no Ibovespa
  antes, e mais eficiência (H ? 0.5), após o Plano
  Collor.

• Retornos seguem uma distribuição exponencial
  para 1 h lt t lt 30 dias, e q-gaussiana para t lt 1
  h.

• O modelo exponencial descreve melhor o mercado
  de opções do Ibovespa próximo do vencimento.

• Como utilizar modelos não-gaussianos de opções
  para gerar estratégias de investimento?

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