Modelagem Estat

1
ModelagemEstatística

• Variáveis Aleatórias

2
Variável

• Característica que pode ser observada (ou
  mensurada) nos elementos da população, devendo
  ter um e apenas um resultado para cada elemento
  observado.

3
Variáveis

• Qualitativas - O resultado da variável é uma
  resposta não numérica.
• Exemplo sexo, grau de instrução etc.
• Quantitativas - O resultado é um número.
• Exemplo idade, altura etc.

4
Variável Aleatória

• Quando os resultados de uma variável são
  determinados pelo acaso, trata-se de uma variável
  aleatória.
• Uma variável aleatória é uma função com valores
  numéricos, cujo valor é determinado por fatores
  de chance.
• Stevenson, W. (Estatística aplicada à
  administração)

5
Exemplos

• Selecionando-se uma pessoa de um município
  através de sorteio, o peso é uma variável
  aleatória.
• Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de
  funcionários é uma variável aleatória.

6
Exemplo

• Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida
  (cara ou coroa).
• Face obtida - variável qualitativa - não é uma
  variável aleatória.
• Número de caras - variável aleatória associada à
  variável qualitativa estudada.

7
Distribuição deProbabilidades

• A distribuição de probabilidades, ou modelo
  probabilístico, indica, para uma variável
  aleatória, quais são os resultados que podem
  ocorrer e qual é a probabilidade de cada
  resultado acontecer.

8
Exercício

• Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
  Construir a distribuição de probabilidades para a
  variável aleatória número de caras.

9
Distribuição deProbabilidades

• Resultados Probabilidade Possíveis
• 0 0,5
• 1 0,5
• Total 1

10
Distribuição deProbabilidades

• k P(Xk)
• 0 0,5
• 1 0,5
• Total 1

11
Exercício

• Considerando-se que 2 moedas tenham sido
  lançadas, construir a distribuição de
  probabilidades para a variável aleatória número
  de caras.

12
Probabilidade

• Regra da Multiplicação
• A probabilidade de que dois eventos independentes
  ocorram é igual à multiplicação das
  probabilidades individuais.
• P(A e B) P(A B) P(A) x P(B)

13
Probabilidade

• Evento - Qualquer situação ou resultado que nos
  interessa.
• Dois eventos são independentes se a ocorrência de
  um não alterar a probabilidade de ocorrência do
  outro.

14
Exercício

• Considerando-se que 2 moedas tenham sido
  lançadas, construir a distribuição de
  probabilidades para a variável aleatória número
  de caras.

15
Exercício
Resultados possíveis Coroa Coroa Cara
Coroa Coroa Cara Cara Cara

• Resultados
• numéricos
• 0
• 1
• 1
• 2

Probabilidade 0,5 x 0,5 0,25 0,5 x 0,5
0,25 0,5 x 0,5 0,25 0,5 x 0,5 0,25
16
Diagramade Árvore
2o lançamento
1o lançamento
0,5
P 0,25
cara
0,5
P 0,25
0,5
0,5
0,5
P 0,25
coroa
P 0,25
0,5
17
Distribuição deProbabilidades

• Resultados Probabilidade Possíveis
• 0 0,25
• 1 0,50
• 2 0,25
• Total 1

18
Probabilidade

• Regra da Adição
• A probabilidade de que um entre dois eventos
  mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das
  probabilidades individuais.
• P(A ou B) P(A U B) P(A) P(B)

19
Probabilidade

• Dois eventos são mutuamente excludentes, ou
  exclusivos, se a ocorrência de um impedir a
  ocorrência do outro.
• Exemplo No problema anterior, havia basicamente
  4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas
  quatro situações são excludentes, isto é, somente
  uma delas poderá ocorrer.

20
Exercício
Resultados possíveis Coroa Coroa Cara
Coroa Coroa Cara Cara Cara

• Resultados
• numéricos
• 0
• 1
• 1
• 2

Probabilidade 0,5 x 0,5 0,25 0,5 x 0,5
0,25 0,5 x 0,5 0,25 0,5 x 0,5 0,25
Soma 1
21
Distribuição deProbabilidades

• k P(Xk)
• 0 0,25
• 1 0,50
• 2 0,25
• Total 1

22
Exercício

• Um grande lote de peças possui 60 dos itens com
  algum tipo de defeito. Construir a distribuição
  de probabilidades para a variável aleatória
  número de itens com defeito dentre 2 sorteados
  aleatoriamente.

23
Exercício
Resultados possíveis Bom Bom Bom Def. Def.
Bom Def. Def.
Resultados numéricos 0 1 1 2
Probabilidade 0,4 x 0,4 0,16 0,4 x 0,6
0,24 0,6 x 0,4 0,24 0,6 x 0,6 0,36
1o item
2o item
24
Exercício
0,48

• k P(Xk)
• 0 0,16
• 1 0,48
• 2 0,36
• Total 1

0,36
0,16
25
Exercício

• Um grande lote de peças possui 60 dos itens com
  algum tipo de defeito. Construir a distribuição
  de probabilidades para a variável aleatória
  número de itens com defeito dentre 3 sorteados
  aleatoriamente.

26
Exercício
Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D
D B D D D
Res. num. 0 1 1 1 2 2 2 3
Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 0,064 0,4 x 0,4 x
0,6 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 0,096 0,6 x 0,4 x
0,4 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 0,144 0,6 x 0,4 x
0,6 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 0,144 0,6 x 0,6 x
0,6 0,216
27
Exercício

• k P(Xk)
• 0 0,064
• 1 0,288
• 2 0,432
• 3 0,216
• Total 1

28
Valor Esperado

• O valor esperado, ou esperança, ou média, de uma
  distribuição de probabilidades corresponde à
  média dos resultados da variável aleatória quando
  o número de observações for muito grande.

29
Valor Esperado

• E(X) ?x ? (xi.pi)

30
Variância

• E(X) ?x ? (xi.pi)

31
Exercício - 1

• Um grande lote de peças possui 60 dos itens com
  algum tipo de defeito. Calcular o número esperado
  de itens com defeito dentre 3 sorteados
  aleatoriamente e o desvio padrão.

32
Exercício

• k P(Xk)
• 0 0,064
• 1 0,288
• 2 0,432
• 3 0,216
• Total 1

?x ??? itens
?x ?????? item
33
Probabilidade

• Regra da Multiplicação
• A probabilidade de que dois eventos não
  independentes ocorram é igual à multiplicação das
  probabilidades individuais.
• P(A e B) P(A B) P(A) x P(B / A)

34
Probabilidade Condicional

• P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer
  dado que o evento A tenha ocorrido.

35
Exemplo

• Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se
  forem retiradas duas peças do lote, qual é a
  probabilidade de serem retiradas
• a) duas peças boas?
• b) duas peças defeituosas?

36
Exemplo
B - Peça Boa
D - Peça Defeituosa
37
Exemplo

• Se a primeira peça for
• Boa Defeituosa

38
Exemplo
0,6316 ou 63,16
4
3
0,0316 ou 3,16
a) P(DD)
20
19
39
Probabilidade

• Regra da Adição
• A probabilidade de que pelo menos um entre dois
  eventos não excludentes ocorra é igual a
• P(A ou B) P(A U B) P(A) P(B) - P(A B)

40
Exemplo

• A Petrobrás perfura um poço quando acha que há
  probabilidade de ao menos 40 de encontrar
  petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui
  as probabilidades de 40 e 50 . Qual é a
  probabilidade de que pelo menos um poço produza
  petróleo?

41
Exemplo

• P(A) 0,4
• P(B) 0,5
• P(A e B) 0,4 . 0,5 0,2
• P(A ou B) 0,4 0,5 - 0,2 0,7

42
Exemplo
Resultados possíveis Produz Não Produz
Produz Não Produz Não Não
Probabilidade 0,4 x 0,5 0,2 0,4 x 0,5
0,2 0,6 x 0,5 0,3 0,6 x 0,5 0,3
0,7
poço A
poço B
43

• MODELOS PROBABILÍSTICOS

44
Modelos Probabilísticos

• Em problemas práticos, normalmente não é
  necessário deduzir as probabilidades de
  ocorrência, pois existem alguns modelos
  probabilísticos que se aplicam a várias situações
  práticas, fornecendo a regra de determinação das
  probabilidades.

45
Modelos Probabilísticos

• O problema não é como se deduzem os valores?,
  mas sim como se usam as distribuições para
  resolver problemas?

William J. Stevenson
46
Exercício Anterior

• Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida.
  Construir a distribuição de probabilidades para a
  variável aleatória número de caras.

47
Distribuição deProbabilidades

• k P(Xk)
• 0 0,5
• 1 0,5
• Total 1

48
Distribuição de Bernoulli

• A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois
  resultados possíveis (sim ou não), com
  probabilidade de sucesso igual a p.

49
Distribuição deBernoulli

• k P(Xk)
• 0 (1-p)
• 1 p
• Total 1

E(X) ?x p
50

• Distribuição Binomial

51
Distribuição Binomial

• O modelo binomial pressupõe
• São efetuados n experimentos iguais e
  independentes.
• Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados
  possíveis e excludentes (sim e não).
• Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para
  cada experimento é constante.
• A variável aleatória de interesse é o número de
  sim obtidos nos n experimentos.

52
DistribuiçãoBinomial

• Para identificar uma distribuição binomial,
  bastam os parâmetros n e p.

53
Exercício Anterior

• Um grande lote de peças possui 60 dos itens com
  algum tipo de defeito. Construir a distribuição
  de probabilidades para a variável aleatória
  número de itens com defeito dentre 3 sorteados
  aleatoriamente.

54
Exercício Anterior
Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D
D B D D D
Res. num. 0 1 1 1 2 2 2 3
Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 0,064 0,4 x 0,4 x
0,6 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 0,096 0,6 x 0,4 x
0,4 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 0,144 0,6 x 0,4 x
0,6 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 0,144 0,6 x 0,6 x
0,6 0,216
55
Exercício Anterior

• k P(Xk)
• 0 0,064
• 1 0,288
• 2 0,432
• 3 0,216
• Total 1

56
Distribuição Binomial

• O exemplo apresentado pode ser representado por
  uma distribuição binomial.
• n 3
• p 0,6 (item com defeito sim)
• (Deseja-se o número de itens
  com defeito)

57
Equação da Binomial
58
DistribuiçãoBinomial

• k P(Xk)
• 0 P(X0)
• 1 P(X1)
• ... ...
• n P(Xn)
• Total 1

E(X) ?x np
59
Exemplo

• n 3
• p 0,6

1
60
Exemplo

• n 3
• p 0,6

61
Exemplo

• n 3
• p 0,6

62
Exemplo

• n 3
• p 0,6

1
63
Exercício

• k P(Xk)
• 0 0,064
• 1 0,288
• 2 0,432
• 3 0,216
• Total 1

64
Distribuição Acumulada

• k P(Xk) Prob. Acumulada
• 0 0,064 0,064
• 1 0,288 0,352
• 2 0,432 0,784
• 3 0,216 1,000
• Total 1 -

65
Exercício 2

• Considerando a mesma situação do exemplo
  anterior, construir a distribuição de
  probabilidades para o caso de 5 itens.
• n 5
• p 0,6

66
Exercício

• k P(Xk) Probab. Acumul.
• 0 0,01024 0,01024
• 1 0,07680 0,08704
• 2 0,23040 0,31744
• 3 0,34560 0,66304
• 4 0,25920 0,92224
• 5 0,07776 1,00000
• Total 1 -

67
Tabela Binomial

• As probabilidades para algumas binomiais podem
  ser encontradas em tabelas nos livros de
  estatística.
• Também podem ser utilizados softwares.

68
Exercício 3

• Em um grande lote, sabe-se que 10 da peças são
  defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se
  retirarem 6 peças ao acaso
• a) Apenas uma ser defeituosa?
• b) No máximo uma ser defeituosa?
• c) Pelo menos duas serem defeituosas?

0,3543 0,8857 0,1143
69
Exercício 4

• Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de
  qualidade, através de uma amostra com 12 peças,
  antes de serem enviados aos consumidores, podendo
  ser classificados em A (de ótima qualidade), B
  (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 de um
  grande lote forem do tipo A, 20 forem do tipo B
  e o restante for do tipo C, qual é a
  probabilidade de que a amostra apresente no
  máximo 5 peças tipo B ou C?

0,8822
70
Exercício 5

• Sabe-se que 1 dos produtos fabricados por uma
  empresa apresentam problemas de qualidade. Dois
  clientes encomendam um grande lote cada um, mas
  as remessas têm que passar pela inspeção de
  qualidade no recebimento. O cliente A seleciona
  ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não
  existir nenhuma peça com problema de qualidade. O
  cliente B toma uma amostra com 20 produtos e
  aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar
  problemas de qualidade. Qual é a probabilidade
  dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?

71
Exercício
p

• Cliente A Cliente B
• n n
• P(X0) P(X0) P(X1)
• P(A e B) 0,8891 ou 88,91

72
Distribuição Multinomial
73
Distribuição Multinomial

• O modelo multinomial é uma generalização do
  binomial
• São efetuados n experimentos iguais e
  independentes.
• Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados
  possíveis e excludentes (k resultados).
• A probabilidade de sim para o resultado k (pk)
  (i1, 2, ...) em todos os experimentos é
  constante.
• A variável aleatória de interesse é o número de
  sim em cada categoria.

74
Distribuição Multinomial
n x1 x2 ... xk
75
VARIÁVEIS CONTÍNUAS
76
Exemplo

• Um jogo de azar é realizado da seguinte forma
  toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes
  iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é
  fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o
  número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

77
Exemplo

• Construir a distribuição de probabilidades para o
  número obtido neste experimento.

1
2
78
Distribuição deProbabilidades

• k P(Xk)
• 1 0,5
• 2 0,5
• Total 1

79
Exemplo

• Considerar a mesma situação, só que o círculo é
  dividido em quatro partes iguais. Construir a
  distribuição de probabilidades para o número
  obtido neste experimento.

80
Exemplo

• Construir a distribuição de probabilidades para o
  número obtido neste experimento.

1
2
3
4
81
Distribuição deProbabilidades

• k P(Xk)
• 1 0,25
• 2 0,25
• 3 0,25
• 4 0,25
• Total 1

82
Exemplo
1
2

• Construir a distribuição de probabilidades para o
  número obtido neste experimento.

3
8
4
7
5
6
83
Histograma
Número obtido
84
Exemplo
1
2

• Construir a distribuição de probabilidades para o
  número obtido neste experimento.

3
16
4
15
5
14
6
13
7
12
8
11
10
9
85
Histograma
Número obtido
86
Dúvida...

• Qual é o número máximo de setores que se consegue
  em um círculo?
• Resp Infinitos

87
Variável Contínua

• Como existem infinitos resultados possíveis, o
  número obtido no experimento, temos uma situação
  próxima à da variável contínua.
• Como ficaria o histograma?

88
Histograma?
89
Dúvida...

• Qual é a probabilidade dessa variável aleatória
  contínua assumir um determinado valor (10, por
  exemplo)?
• Resposta A probabilidade de uma variável
  aleatória contínua assumir exatamente um
  determinado valor é zero.

90
Probabilidades...

• As probabilidades não podem mais ser calculadas
  através de equações do tipo P(Xk) FÓRMULA.
• Para identificar uma distribuição contínua,
  existe a função densidade de probabilidade, que é
  uma equação do tipo yf(x).

91
Função da Densidade de Probabilidade

• A função densidade de probabilidade está
  relacionada com a probabilidade da variável
  aleatória contínua assumir algum resultado
  possível.

92
Função Densidade de Probabilidade
f(x)
variável aleatória
93
Variável Contínua

• O estudo de uma variável aleatória contínua é
  análogo ao das variáveis discretas.
• A distribuição de probabilidades indica, para uma
  variável aleatória, quais são os resultados que
  podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada
  resultado acontecer.

94
Variável ContínuaCaracterísticas

• A área sob a função densidade é 1.

área 1 (ou 100)
95
Variável ContínuaCaracterísticas

• A probabilidade da variável aleatória assumir um
  valor determinado é zero, pois existem infinitos
  resultados possíveis.
• As probabilidades sempre se referem a intervalos
  de valores.

96
Características
P(Xk) 0
97
Variável ContínuaCaracterísticas

• A probabilidade da variável aleatória assumir um
  valor em um intervalo é igual à área sob a função
  densidade naquele intervalo.

98
Características
P(altXltb)
b
P(a lt X lt b) área amarela
99
Exercício

• Sobre o centro de um círculo, é fixado um
  ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo
  formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como
  na figura a seguir.

100
Exercício

• Definir a função densidade de probabilidades para
  o ângulo (?) obtido neste experimento.

?
101
Exercício
102
Exercício

• Qual é a probabilidade de se obter um ângulo
  entre 30o e 60o?

103
Exercício
P(30o lt X lt 60o)
104
DistribuiçãoUniforme
f(x)
X
?
?
105
DistribuiçãoUniforme
b - a
P(a lt X lt b)
?????
106
Distribuição Normal
107
Função Densidade
? - média ? - desvio padrão
108
DistribuiçãoNormal
109
Características

• Variável identificada pela média e pelo desvio
  padrão.

?
X
?
110
Média e Desvio Padrão
111
Média e Desvio Padrão
112
Características

• Simetria em relação à média.

50
X
?
113
Características

• A área sob a curva entre a média e um ponto
  qualquer é função da distância padronizada entre
  a média e aquele ponto.
• Distância padronizada - distância expressa em
  função do número de desvios padrões (distância
  dividida pelo desvio padrão).

114
Exemplo
115
Exemplo
116
Exemplo
117
Características
As áreas referem-se a probabilidades.
P ( X lt a )
118
NormalPadronizada

• O cálculo de áreas sob a curva normal é
  consideravelmente complexo.
• Por isso, é conveniente trabalhar com valores
  padronizados.

119
NormalPadronizada

• Para padronizar uma variável normal, toma-se a
  média como ponto de referência e o desvio padrão
  como medida de afastamento.

120
NormalPadronizada
Z - variável normal padronizada X - variável
normal ? - média ? - desvio padrão
121
NormalPadronizada
?? 1
Z
?? 0
122
NormalPadronizada
Z
0
-1
1
-2
2
123
Exemplo

• O peso de uma peça é normalmente distribuído com
  média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas.
• Encontrar os valores padronizados relativos aos
  pesos 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.

124
Exemplo

• X 510 g

2
125
Exemplo
126
Exemplo
P(Xlt510) P(Zlt2)
?? 5
510
500
127
Exercício

• Com base na tabela da normal padronizada,
  calcular
• a) P(Z lt -1)

0,158655
128
Exercício

• b) P(Z gt 1)

0,158655
0
1
129
Exercício

• c) P(Z lt 1)

0,841345
130
Exercício

• c) P(-1 lt Z lt 1)

1- 0, 158655 - 0,158655 0,68269
131
Exercício

• c) P(-2 lt Z lt 2)

1 - 0, 022750 - 0,022750 0,9545
132
Exercício

• c) P(-3 lt Z lt 3)

1- 0,001350 - 0,001350 0,9973
133
Exercício 6

• Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
  seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
  padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um
  pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil
  de
• a) menos de 49.000 Km?

0,158655
134
Exercício 6

• Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
  seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
  padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um
  pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil
  de
• b) mais de 51.000 Km?

0,158655
135
Exercício 6

• Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
  seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
  padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um
  pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil
  de
• c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?

0,68269
136
Exercício 6

• Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
  seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
  padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um
  pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil
  de
• d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?

0,9545
137
Exercício 6

• Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões
  seja normal, com média de 50.000 Km e desvio
  padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um
  pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil
  de
• e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?

0,9973