Title: UN SISTEMA DE DEDUCCI
1UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL
CÁLCULO PROPOSICIONAL
- Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
- Academia de Filosofía, UACM
- Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
- parv_at_servidor.unam.mx
2ANTECEDENTES
- Una primera versión del sistema de reglas de
deducción natural para el cálculo proposicional
que presento a continuación fue elaborada por los
profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la
primera mitad de la década de los 90s. Hasta la
fecha no he sabido de alguien más que proponga un
sistema similar a aquél. - La elaboración de ese sistema obedecía a
objetivos didácticos y prácticos. - El sistema que presento a continuación pretende
mejorar el sistema original atendiendo a los
mismos objetivos.
3OBJETIVOS DEL SISTEMA
- EN LO DIDÁCTICO
- Está diseñado expresamente para facilitar la
enseñanza y el aprendizaje de las reglas del
cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco
grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su
utilidad a diferencia de las presentaciones
tradicionales, que las clasifican únicamente en
dos grupos, como reglas de implicación y reglas
de equivalencia, atendiendo sólo a su forma
lógica. - EN LO PRÁCTICO
- Está diseñado expresamente para facilitar el
empleo de las reglas al efectuar deducciones,
justo debido a sus ventajas didácticas.
4VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA
- El sistema está diseñado expresamente para
facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la
lógica proposicional, debido básicamente a dos
aspectos - Debido al modo peculiar en que se expone y
contextualiza dentro del sistema cada regla en
particular, como ilustraremos a continuación.
5VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA
- 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se
incluyen dos conjuntos de ejercicios. Uno
diseñado para el grupo mismo y otro para la
conjunción de ese grupo con los anteriores que ya
hayan sido expuestos. - De modo que al final de la exposición del
sistema el alumno adquiere los siguientes saberes
prácticos - Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y
cómo articular ese saber práctico dentro del
manejo del grupo al que la regla pertenece y, más
en general, dentro del manejo del sistema en el
que ésta se inserta. - Es capaz de realizar inferencia con todas las
reglas de manera fluida.
6ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA
- Hay seis aspectos de cada regla que se consideran
dentro del sistema. Veamos un ejemplo - Nombre Doble Negación.
- Abreviatura DN.
- Presentación formal A ? ??A.
- Lectura estructural Una fórmula equivale a su
doble negación. - Prueba de validez
-
-
A A ? ??A
v f v vf v fv
7ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA
- 6. Utilidad
- Individual Permite introducir o eliminar el
signo de negación en fórmulas o subfórmulas
individuales. - Grupal Misma que la anterior, dado que el grupo
de reglas al que pertenece incluye una sola
regla. - Sistémica Es auxiliar de todas aquellas reglas
que incluyen negación.
8REGLA AUXILIAR
- 1. Doble Negación (DN)
- A ? ??A
9I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA
DISYUNCIÓN
- 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp)
- A A ? B
- B______ /? A
- /? A ? B
- 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD)
- A______ A ? B
- /? A ? B ?A __
- /? B
10II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL
- 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT)
- A ? B A ? B
- A____ ?B___
- /? B /? ?A
- 8. Silogismo Hipotético (SH)
- A ? B
- B ? C___
- /? A ? C
11III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y
LA DISYUNCIÓN
- 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc)
- (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ?
C) ? (A ? B) ? C - (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
B) ? C - 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist)
- A ? (A ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
B) ? (A ? C) - A ? (A ? A) A ? (B ? C) ?
(A ? B) ? (A ? C)
12IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL
- 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp)
- (A ? B) ? (?B ? ?A) (A ? B) ? C ? A ?
(B ? C) - 15. Distribución del Condicional (DC)
- (A ? B) ? C) ? (A ? C) ? (B ? C)
- A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C)
13V. REGLAS DE TRADUCCIÓN
- 16. Leyes de Morgan (de M) 17. Implicación
Material(IM) - ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? (?A ? B)
- ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? ?(A ? ?B)
- 18. Equivalencia Material (EM) 19. Ley Expansiva
Fundamental (LEF) - (A ? B) ? (A ? B) ? (B ? A) A ? (A ? B) ?
(A ? ?B) - (A ? B) ? (A ? B) ? (?A ? ?B) A ? (A ? B) ?
(A ? ?B)
14- GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS
15CONDICIONALIZACIÓN Y REDUCCIÓN AL ABSURDO EN
UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO
PROPOSICIONAL
- Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
- Academia de Filosofía, UACM
- Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
- parv_at_servidor.unam.mx
16INTRODUCCIÓN
- Hace poco presenté ante el TDL un sistema de
reglas de deducción natural para la lógica
proposicional (LP), el cual modificaba un sistema
anterior elaborado originalmente durante la
primera mitad de la década de los 90s por los
profesores Raúl Orayen, Arturo González y el que
esto escribe. - En lo que sigue, expondré los métodos de prueba
condicional (PC) y de reducción al absurdo (RAA)
dentro del sistema modificado.
17INTRODUCCIÓN
- Primero, presentaré informalmente ambos métodos.
Luego, propondré demostraciones semánticas y
sintácticas de validez para cada uno, mostrando
las ventajas didácticas de las primeras sobre las
segundas (estas últimas las desarrollaré dentro
del sistema modificado). Por último, hablaré
sobre la utilidad de estos métodos de prueba. - Debo aclarar que la exposición de ambos métodos
es una elaboración mía, por lo que cualquier
error lógico que contenga no debe atribuirse a
los otros profesores mencionados.
18TRES MÉTODOS FORMALES DE PRUEBA MD, PC Y RAA
- Los sistemas deductivos de LP suelen contar con
tres tipos de métodos formales o sintácticos de
demostración el método directo (MD) y dos
métodos indirectos, la PC y la RAA. - El MD consiste en deducir una conclusión a partir
de un conjunto dado de premisas usando sólo ese
conjunto de premisas y las reglas de deducción
habituales (conjunción, adición, etc.). - Los métodos indirectos operan sumando premisas
extra al conjunto original de premisas y
deduciendo, con el auxilio de las reglas
habituales, no directamente la conclusión, sino
otras fórmulas (de las que la conclusión deseada
es deducible en cualquier caso).
19DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA PC Y LA RAA
- La PC opera añadiendo como premisa extra el
antecedente de un condicional que se desea
demostrar y deduciendo su consecuente (del cual
es deducible el condicional usando básicamente
adición e implicación material). - La RAA opera añadiendo como premisa extra lo
contradictorio de lo que se desea demostrar y
deduciendo a partir de ello una contradicción
cualquiera (de la cual es deducible la conclusión
usando básicamente adición y silogismo
disyuntivo).
20DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PC
- Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
argumento cualquiera y A ? B su
fórmula-conclusión, entonces - No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn ___ _ v Pn v
- /? A ? B f A___ v
- /? B f
21Demostración semántica del primer condicional de
la PC
- 1. Hipótesis 2. Por demostrar
- No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn ___ v Pn v
- /? A ? B f A___ v
- /? B f
- Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
(P1, P2, Pn) v, no es posible que A v y B
f (en 2), pues, en tal caso, A ? B f (en1), lo
cual no es posible por la hipótesis.
22Demostración semántica del segundo condicional de
la PC
- 1. Hipótesis 2. Por demostrar
- No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn v Pn_____ v
- A___ v /? A ? B f
- /? B f
- Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
(P1, P2, Pn) v, no es posible que A ? B f
(en 2), pues, en tal caso, A v y B f (en 1),
lo cual no es posible por la hipótesis.
23DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PRUEBA POR RAA
- Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
entonces - No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn _ v Pn v
- /? A f ?A_____ v
- /? B ? ?B f
-
24Demostración semántica del primer condicional de
la prueba por RAA
- 1. Hipótesis 2. Por demostrar
- No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn _ v Pn v
- /? A f ?A _____ v
- /? B ? ? B f
- Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
(P1, P2, Pn) v, no es posible que ?A v (en
2), pues, en tal caso, A f (en 1), lo cual no
es posible por la hipótesis.
25Demostración semántica del segundo condicional de
la prueba por RAA
- 1. Hipótesis 2. Por demostrar
- No es posible que No es posible que
- P1 v P1 v
- P2 v P2 v
- . ? .
- . .
- Pn v Pn__ v
- ?A______ v /? A f
- /? B ? ? B f
- Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
(P1, P2, Pn) v, no es posible que A f (en
2), pues, en tal caso, ?A v , lo cual no es
posible por la hipótesis.
26DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PC
- Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
argumento cualquiera y A ? B su
fórmula-conclusión, entonces - P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn_______ Pn
- /? A ? B A___
- /? B
27Demostración formal del primer condicional de la
PC
- Hipótesis Por demostrar
-
- P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn_____ Pn
- /? A ? B A___
- /? B
28Demostración
- 1. P1
- 2. P2
- .
- .
- n. Pn
- n1. A /? B
- .
- .
- nk. A ? B 1, 2,, n, Hip.
- nk1. B n1, nk, MP
-
29Demostración formal del segundo condicional de la
PC
- Hipótesis Por demostrar
-
- P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn Pn____
- A___ /? A ? B
- /? B
30Demostración
- 1. P1
- 2. P2
- .
- n. Pn /? A ? B
- .
- n(n-1). P1 ? P2 ? Pn 1, 2,n, Conj.
- .
- n(n-1)k. (P1 ? P2 ? Pn ? A) ? B Hip.,
LEF - n(n-1)k1. (P1 ? P2 ? Pn) ? (A ? B) n(n-1)k,
Exp. - n(n-1)k2. A ? B n(n-1), n(n-1)k1, MP
31DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PRUEBA POR RAA
- Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
entonces - P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn__ Pn
- /? A ?A______
- /? B ? ?B
-
32Demostración formal del primer condicional de la
prueba por RAA
- Hipótesis Por demostrar
-
- P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn__ Pn
- /? A ? A________
- /? B ? ? B
33Demostración
- 1. P1
- 2. P2
- .
- .
- n. Pn
- n1. ?A /? B ? ?B
- .
- .
- nk. A 1, 2,, n, Hip.
- nk1. A v (B ? ?B) nk Ad
- NK2 B ? ?B n1, nk1, SD
34Demostración formal del segundo condicional de la
prueba por RAA
- Hipótesis Por demostrar
-
- P1 P1
- P2 P2
- . ? .
- . .
- Pn Pn__
- ?A_____ /? A
- /? B ? ?B
-
35Demostración
- 1. P1
- 2. P2
- .
- .
- n. Pn /? A
- .
- .
- nk. ? A ? (B ? ?B) Hip., PC
- Nk1. ??A v (B ? ?B) nk, IM
- nk2. A v (B ? ?B) nk1, DN
- nk3. (A v B) ? (A v ?B) nk2, Dist
- nk4. A nk3, LEF
36UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA
- En general, la utilidad de ambos métodos radica
en que facilitan las deducciones pues, debido a
la premisa extra que permiten añadir, aumentan
las posibilidades deductivas respecto del
conjunto original de premisas. - En particular, la PC se aplica con provecho a la
demostración de fórmulas cuya conectiva principal
sea ?, o v mientras que la RAA se puede
aplicar con provecho a cualquier tipo de fórmula. - Usando cualquiera de ambos métodos pueden
deducirse conclusiones intermedias que coadyuven,
luego, a deducir la conclusión final de
argumentos también pueden combinarse ambos en
una misma deducción. En todos estos casos deben
introducirse hipótesis con alcances limitados en
las demostraciones, cuidándose de cerrarlos
adecuadamente a fin de evitar falacias en las
deducciones.
37UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA
- El sistema de reglas de deducción natural para la
LP modificado, mencionado al principio de esta
charla, cuenta con una LEF para introducir
tautologías, por lo que es completo A ? (A ?
B) ? (A ? ?B). Mediante esta regla puede
demostrarse que una tautología se deduce de
cualquier fórmula. - Los métodos de la PC y la RAA también permiten
introducir tautologías en las demostraciones. Se
diferencian de LEF en que son más manejables,
debido a lo ya mencionado, y más potentes, pues
permiten demostrar que una tautología se deduce
del conjunto vacío de fórmulas. - En sistemas de deducción directa incompletos en
los que no se pueden demostrar tautologías (como
el de Copi en Lógica simbólica) estos métodos
permiten, pues, completarlos (tal como lo hace
Copi con su sistema mencionado).
38- GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS