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UN SISTEMA DE DEDUCCI

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UN SISTEMA DE DEDUCCI N NATURAL PARA EL C LCULO PROPOSICIONAL Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas Academia de Filosof a, UACM Colegio de Filosof a, FFyL, UNAM – PowerPoint PPT presentation

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Title: UN SISTEMA DE DEDUCCI


1
UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL
CÁLCULO PROPOSICIONAL
  • Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
  • Academia de Filosofía, UACM
  • Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
  • parv_at_servidor.unam.mx

2
ANTECEDENTES
  • Una primera versión del sistema de reglas de
    deducción natural para el cálculo proposicional
    que presento a continuación fue elaborada por los
    profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la
    primera mitad de la década de los 90s. Hasta la
    fecha no he sabido de alguien más que proponga un
    sistema similar a aquél.
  • La elaboración de ese sistema obedecía a
    objetivos didácticos y prácticos.
  • El sistema que presento a continuación pretende
    mejorar el sistema original atendiendo a los
    mismos objetivos.

3
OBJETIVOS DEL SISTEMA
  • EN LO DIDÁCTICO
  • Está diseñado expresamente para facilitar la
    enseñanza y el aprendizaje de las reglas del
    cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco
    grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su
    utilidad a diferencia de las presentaciones
    tradicionales, que las clasifican únicamente en
    dos grupos, como reglas de implicación y reglas
    de equivalencia, atendiendo sólo a su forma
    lógica.
  • EN LO PRÁCTICO
  • Está diseñado expresamente para facilitar el
    empleo de las reglas al efectuar deducciones,
    justo debido a sus ventajas didácticas.

4
VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA
  • El sistema está diseñado expresamente para
    facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la
    lógica proposicional, debido básicamente a dos
    aspectos
  • Debido al modo peculiar en que se expone y
    contextualiza dentro del sistema cada regla en
    particular, como ilustraremos a continuación.

5
VENTAJAS DIDÁCTICAS DEL SISTEMA
  • 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se
    incluyen dos conjuntos de ejercicios. Uno
    diseñado para el grupo mismo y otro para la
    conjunción de ese grupo con los anteriores que ya
    hayan sido expuestos.
  • De modo que al final de la exposición del
    sistema el alumno adquiere los siguientes saberes
    prácticos
  • Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y
    cómo articular ese saber práctico dentro del
    manejo del grupo al que la regla pertenece y, más
    en general, dentro del manejo del sistema en el
    que ésta se inserta.
  • Es capaz de realizar inferencia con todas las
    reglas de manera fluida.

6
ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA
  • Hay seis aspectos de cada regla que se consideran
    dentro del sistema. Veamos un ejemplo
  • Nombre Doble Negación.
  • Abreviatura DN.
  • Presentación formal A ? ??A.
  • Lectura estructural Una fórmula equivale a su
    doble negación.
  • Prueba de validez

A A ? ??A
v f v vf v fv
7
ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA
  • 6. Utilidad
  • Individual Permite introducir o eliminar el
    signo de negación en fórmulas o subfórmulas
    individuales.
  • Grupal Misma que la anterior, dado que el grupo
    de reglas al que pertenece incluye una sola
    regla.
  • Sistémica Es auxiliar de todas aquellas reglas
    que incluyen negación.

8
REGLA AUXILIAR
  • 1. Doble Negación (DN)
  • A ? ??A

9
I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA
DISYUNCIÓN
  • 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp)
  • A A ? B
  • B______ /? A
  • /? A ? B
  • 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD)
  • A______ A ? B
  • /? A ? B ?A __
  • /? B

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II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL
  • 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT)
  • A ? B A ? B
  • A____ ?B___
  • /? B /? ?A
  • 8. Silogismo Hipotético (SH)
  • A ? B
  • B ? C___
  • /? A ? C

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III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y
LA DISYUNCIÓN
  • 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc)
  • (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ?
    C) ? (A ? B) ? C
  • (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
    B) ? C
  • 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist)
  • A ? (A ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
    B) ? (A ? C)
  • A ? (A ? A) A ? (B ? C) ?
    (A ? B) ? (A ? C)

12
IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL
  • 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp)
  • (A ? B) ? (?B ? ?A) (A ? B) ? C ? A ?
    (B ? C)
  • 15. Distribución del Condicional (DC)
  • (A ? B) ? C) ? (A ? C) ? (B ? C)
  • A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C)

13
V. REGLAS DE TRADUCCIÓN
  • 16. Leyes de Morgan (de M) 17. Implicación
    Material(IM)
  • ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? (?A ? B)
  • ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? ?(A ? ?B)
  • 18. Equivalencia Material (EM) 19. Ley Expansiva
    Fundamental (LEF)
  • (A ? B) ? (A ? B) ? (B ? A) A ? (A ? B) ?
    (A ? ?B)
  • (A ? B) ? (A ? B) ? (?A ? ?B) A ? (A ? B) ?
    (A ? ?B)

14
  • GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS

15
CONDICIONALIZACIÓN Y REDUCCIÓN AL ABSURDO EN
UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL CÁLCULO
PROPOSICIONAL
  • Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
  • Academia de Filosofía, UACM
  • Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
  • parv_at_servidor.unam.mx

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INTRODUCCIÓN
  • Hace poco presenté ante el TDL un sistema de
    reglas de deducción natural para la lógica
    proposicional (LP), el cual modificaba un sistema
    anterior elaborado originalmente durante la
    primera mitad de la década de los 90s por los
    profesores Raúl Orayen, Arturo González y el que
    esto escribe.
  • En lo que sigue, expondré los métodos de prueba
    condicional (PC) y de reducción al absurdo (RAA)
    dentro del sistema modificado.

17
INTRODUCCIÓN
  • Primero, presentaré informalmente ambos métodos.
    Luego, propondré demostraciones semánticas y
    sintácticas de validez para cada uno, mostrando
    las ventajas didácticas de las primeras sobre las
    segundas (estas últimas las desarrollaré dentro
    del sistema modificado). Por último, hablaré
    sobre la utilidad de estos métodos de prueba.
  • Debo aclarar que la exposición de ambos métodos
    es una elaboración mía, por lo que cualquier
    error lógico que contenga no debe atribuirse a
    los otros profesores mencionados.

18
TRES MÉTODOS FORMALES DE PRUEBA MD, PC Y RAA
  • Los sistemas deductivos de LP suelen contar con
    tres tipos de métodos formales o sintácticos de
    demostración el método directo (MD) y dos
    métodos indirectos, la PC y la RAA.
  • El MD consiste en deducir una conclusión a partir
    de un conjunto dado de premisas usando sólo ese
    conjunto de premisas y las reglas de deducción
    habituales (conjunción, adición, etc.).
  • Los métodos indirectos operan sumando premisas
    extra al conjunto original de premisas y
    deduciendo, con el auxilio de las reglas
    habituales, no directamente la conclusión, sino
    otras fórmulas (de las que la conclusión deseada
    es deducible en cualquier caso).

19
DESCRIPCIÓN INFORMAL DE LA PC Y LA RAA
  • La PC opera añadiendo como premisa extra el
    antecedente de un condicional que se desea
    demostrar y deduciendo su consecuente (del cual
    es deducible el condicional usando básicamente
    adición e implicación material).
  • La RAA opera añadiendo como premisa extra lo
    contradictorio de lo que se desea demostrar y
    deduciendo a partir de ello una contradicción
    cualquiera (de la cual es deducible la conclusión
    usando básicamente adición y silogismo
    disyuntivo).

20
DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PC
  • Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
    argumento cualquiera y A ? B su
    fórmula-conclusión, entonces
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn ___ _ v Pn v
  • /? A ? B f A___ v
  • /? B f

21
Demostración semántica del primer condicional de
la PC
  • 1. Hipótesis 2. Por demostrar
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn ___ v Pn v
  • /? A ? B f A___ v
  • /? B f
  • Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
    (P1, P2, Pn) v, no es posible que A v y B
    f (en 2), pues, en tal caso, A ? B f (en1), lo
    cual no es posible por la hipótesis.

22
Demostración semántica del segundo condicional de
la PC
  • 1. Hipótesis 2. Por demostrar
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn v Pn_____ v
  • A___ v /? A ? B f
  • /? B f
  • Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
    (P1, P2, Pn) v, no es posible que A ? B f
    (en 2), pues, en tal caso, A v y B f (en 1),
    lo cual no es posible por la hipótesis.

23
DEMOSTRACIÓN SEMÁNTICA DE LA PRUEBA POR RAA
  • Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
    argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
    una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
    entonces
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn _ v Pn v
  • /? A f ?A_____ v
  • /? B ? ?B f

24
Demostración semántica del primer condicional de
la prueba por RAA
  • 1. Hipótesis 2. Por demostrar
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn _ v Pn v
  • /? A f ?A _____ v
  • /? B ? ? B f
  • Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
    (P1, P2, Pn) v, no es posible que ?A v (en
    2), pues, en tal caso, A f (en 1), lo cual no
    es posible por la hipótesis.

25
Demostración semántica del segundo condicional de
la prueba por RAA
  • 1. Hipótesis 2. Por demostrar
  • No es posible que No es posible que
  • P1 v P1 v
  • P2 v P2 v
  • . ? .
  • . .
  • Pn v Pn__ v
  • ?A______ v /? A f
  • /? B ? ? B f
  • Y, en efecto, tomando como fijos los valores de
    (P1, P2, Pn) v, no es posible que A f (en
    2), pues, en tal caso, ?A v , lo cual no es
    posible por la hipótesis.

26
DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PC
  • Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
    argumento cualquiera y A ? B su
    fórmula-conclusión, entonces
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn_______ Pn
  • /? A ? B A___
  • /? B

27
Demostración formal del primer condicional de la
PC
  • Hipótesis Por demostrar
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn_____ Pn
  • /? A ? B A___
  • /? B

28
Demostración
  • 1. P1
  • 2. P2
  • .
  • .
  • n. Pn
  • n1. A /? B
  • .
  • .
  • nk. A ? B 1, 2,, n, Hip.
  • nk1. B n1, nk, MP

29
Demostración formal del segundo condicional de la
PC
  • Hipótesis Por demostrar
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn Pn____
  • A___ /? A ? B
  • /? B

30
Demostración
  • 1. P1
  • 2. P2
  • .
  • n. Pn /? A ? B
  • .
  • n(n-1). P1 ? P2 ? Pn 1, 2,n, Conj.
  • .
  • n(n-1)k. (P1 ? P2 ? Pn ? A) ? B Hip.,
    LEF
  • n(n-1)k1. (P1 ? P2 ? Pn) ? (A ? B) n(n-1)k,
    Exp.
  • n(n-1)k2. A ? B n(n-1), n(n-1)k1, MP

31
DEMOSTRACIÓN FORMAL DE LA PRUEBA POR RAA
  • Si P1, P2, , Pn son las fórmulas-premisa de un
    argumento cualquiera, A su fórmula-conclusión y B
    una subfórmula cualquiera de P1, P2, , Pn o A,
    entonces
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn__ Pn
  • /? A ?A______
  • /? B ? ?B

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Demostración formal del primer condicional de la
prueba por RAA
  • Hipótesis Por demostrar
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn__ Pn
  • /? A ? A________
  • /? B ? ? B

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Demostración
  • 1. P1
  • 2. P2
  • .
  • .
  • n. Pn
  • n1. ?A /? B ? ?B
  • .
  • .
  • nk. A 1, 2,, n, Hip.
  • nk1. A v (B ? ?B) nk Ad
  • NK2 B ? ?B n1, nk1, SD

34
Demostración formal del segundo condicional de la
prueba por RAA
  • Hipótesis Por demostrar
  • P1 P1
  • P2 P2
  • . ? .
  • . .
  • Pn Pn__
  • ?A_____ /? A
  • /? B ? ?B

35
Demostración
  • 1. P1
  • 2. P2
  • .
  • .
  • n. Pn /? A
  • .
  • .
  • nk. ? A ? (B ? ?B) Hip., PC
  • Nk1. ??A v (B ? ?B) nk, IM
  • nk2. A v (B ? ?B) nk1, DN
  • nk3. (A v B) ? (A v ?B) nk2, Dist
  • nk4. A nk3, LEF

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UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA
  • En general, la utilidad de ambos métodos radica
    en que facilitan las deducciones pues, debido a
    la premisa extra que permiten añadir, aumentan
    las posibilidades deductivas respecto del
    conjunto original de premisas.
  • En particular, la PC se aplica con provecho a la
    demostración de fórmulas cuya conectiva principal
    sea ?, o v mientras que la RAA se puede
    aplicar con provecho a cualquier tipo de fórmula.
  • Usando cualquiera de ambos métodos pueden
    deducirse conclusiones intermedias que coadyuven,
    luego, a deducir la conclusión final de
    argumentos también pueden combinarse ambos en
    una misma deducción. En todos estos casos deben
    introducirse hipótesis con alcances limitados en
    las demostraciones, cuidándose de cerrarlos
    adecuadamente a fin de evitar falacias en las
    deducciones.

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UTILIDAD DE LOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN DE LA PC
Y LA RAA
  • El sistema de reglas de deducción natural para la
    LP modificado, mencionado al principio de esta
    charla, cuenta con una LEF para introducir
    tautologías, por lo que es completo A ? (A ?
    B) ? (A ? ?B). Mediante esta regla puede
    demostrarse que una tautología se deduce de
    cualquier fórmula.
  • Los métodos de la PC y la RAA también permiten
    introducir tautologías en las demostraciones. Se
    diferencian de LEF en que son más manejables,
    debido a lo ya mencionado, y más potentes, pues
    permiten demostrar que una tautología se deduce
    del conjunto vacío de fórmulas.
  • En sistemas de deducción directa incompletos en
    los que no se pueden demostrar tautologías (como
    el de Copi en Lógica simbólica) estos métodos
    permiten, pues, completarlos (tal como lo hace
    Copi con su sistema mencionado).

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  • GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS
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