UN SISTEMA DE DEDUCCI

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UN SISTEMA DE DEDUCCIÓN NATURAL PARA EL
CÁLCULO PROPOSICIONAL

• Dr. Pedro Arturo Ramos Villegas
• Academia de Filosofía, UACM
• Colegio de Filosofía, FFyL, UNAM
• parv_at_servidor.unam.mx

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ANTECEDENTES

• Una primera versión del sistema de reglas de
  deducción natural para el cálculo proposicional
  que presento a continuación fue elaborada por los
  profesores Raúl Orayen, Arturo Yáñez y yo en la
  primera mitad de la década de los 90s. Hasta la
  fecha, no he sabido de alguien más que proponga
  un sistema similar a aquél.
• La elaboración de ese sistema obedecía a
  objetivos pedagógicos y prácticos.
• El sistema que presento a continuación pretende
  mejorar el sistema original atendiendo a los
  mismos objetivos.

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OBJETIVOS DEL SISTEMA

• EN LO PEDAGÓGICO
• Está diseñado expresamente para facilitar la
  enseñanza y el aprendizaje de las reglas del
  cálculo proposicional, al clasificarlas en cinco
  grupos atendiendo a sus propiedades lógicas y su
  utilidad a diferencia de las presentaciones
  tradicionales, que las clasifican únicamente en
  dos grupos, como reglas de implicación y reglas
  de equivalencia, atendiendo sólo a su forma
  lógica.
• EN LO PRÁCTICO
• Está diseñado expresamente para facilitar el
  empleo de las reglas al efectuar deducciones,
  justo debido a sus ventajas pedagógicas.

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VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA

• El sistema está diseñado expresamente para
  facilitar la enseñanza y el aprendizaje de la
  lógica proposicional, debido básicamente a dos
  aspectos
• Debido al modo peculiar en que se expone y
  contextualiza dentro del sistema cada regla en
  particular, como ilustraremos a continuación.

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VENTAJAS PEDAGÓGICAS DEL SISTEMA

• 2. Debido a que anexo a cada grupo de reglas se
  incluyen dos conjuntos de ejercicios. uno,
  diseñado para el grupo mismo y otro, para la
  conjunción de ese grupo con los anteriores que ya
  hayan sido expuestos.
• De modo que al final de la exposición del
  sistema el alumno adquiere los siguientes saberes
  prácticos
• Sabe para qué sirve cada regla, en particular, y
  cómo articular ese saber práctico dentro del
  manejo del grupo al que la regla pertenece y, más
  en general, dentro del manejo del sistema en el
  que ésta se inserta.
• Es capaz de realizar inferencia con todas las
  reglas de manera fluida.

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ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA

• Hay seis aspectos de cada regla que se consideran
  dentro del sistema. Veamos un ejemplo
• Nombre Doble Negación.
• Abreviatura DN.
• Presentación formal A ? ??A.
• Lectura estructural Una fórmula equivale a su
  doble negación.
• Prueba de validez

A A ? ??A
v f v vf v fv
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ASPECTOS QUE SE CONSIDERAN EN LA EXPOSICIÓN DE
CADA REGLA

• 6. Utilidad
• Individual Permite introducir o eliminar el
  signo de negación en fórmulas o subfórmulas
  individuales.
• Grupal Misma que anterior, dado que el grupo de
  reglas al que pertenece incluye una sola regla.
• Sistémica Es auxiliar de todas aquellas reglas
  que incluyen negación.

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REGLA AUXILIAR

• 1. Doble Negación (DN)
• A ? ??A

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I. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA LA CONJUNCIÓN Y LA
DISYUNCIÓN

• 2. Conjunción (Conj) 3. Simplificación (Simp)
• A A ? B
• B______ /? A
• /? A ? B
• 4. Adición (Ad) 5. Silogismo Disyuntivo (SD)
• A______ A ? B
• /? A ? B ?A __
• /? B

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II. REGLAS DE IMPLICACIÓN PARA EL CONDICIONAL

• 6. Modus Ponens (MP) 7. Modus Tollens (MT)
• A ? B A ? B
• A____ ?B___
• /? B /? ?A
• 8. Silogismo Hipotético (SH)
• A ? B
• B ? C___
• /? A ? C

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III. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA LA CONJUNCIÓN Y
LA DISYUNCIÓN

• 9. Conmutación (Conm) 10. Asociación (Asoc)
• (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ?
  C) ? (A ? B) ? C
• (A ? B) ? (B ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
  B) ? C
• 11. Idempotencia (Idem) 12. Distribución (Dist)
• A ? (A ? A) A ? (B ? C) ? (A ?
  B) ? (A ? C)
• A ? (A ? A) A ? (B ? C) ?
  (A ? B) ? (A ? C)

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IV. REGLAS DE EQUIVALENCIA PARA EL CONDICIONAL

• 13. Transposición (Tr) 14. Exportación (Exp)
• (A ? B) ? (?B ? ?A) (A ? B) ? C ? A ?
  (B ? C)
• 15. Distribución del Condicional (DC)
• (A ? B) ? C) ? (A ? C) ? (B ? C)
• A ? (B ? C) ? (A ? B) ? (A ? C)

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V. REGLAS DE TRADUCCIÓN

• 16. Leyes de Morgan (de M) 17. Implicación
  Material(IM)
• ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? (?A ? B)
• ?(A ? B) ? (?A ? ?B) (A ? B) ? ?(A ? ?B)
• 18. Equivalencia Material (EM) 19. Ley Expansiva
  Fundamental (LEF)
• (A ? B) ? (A ? B) ? (B ? A) A ? (A ? B) ?
  (A ? ?B)
• (A ? B) ? (A ? B) ? (?A ? ?B) A ? (A ? B) ?
  (A ? ?B)

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• GRACIAS POR SUS COMENTARIOS Y CRÍTICAS