Fisica 1 Gravitazione

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Fisica 1Gravitazione
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Programma della lezione

• Richiami matematici sulle coniche
• Leggi di Keplero
• Legge di gravitazione di Newton
• Soluzione del problema dei due corpi
• Scelta del sistema di riferimento
• Momento della quantita di moto
• Energia
• Dimostrazione delle leggi di Keplero
• Considerazioni sullenergia

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Richiami di matematica le coniche

• In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come
  origine, lequazione di una conica è
• ove r è la distanza tra un punto della conica e
  il fuoco e ? è langolo compreso tra lasse della
  conica e il vettore r
• e è detta eccentricità della conica
• Si può mostrare che la formula scritta
  rappresenta sempre una conica, il cui tipo
  dipende dal valore delleccentricità elt1
  ellisse, e1 parabola, egt1 iperbole

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Richiami di matematica lellisse

• Lellisse è caratterizzata dal fatto che la somma
  delle distanze di un punto dai fuochi è costante
• Detto E il centro dellellisse, EBa è il
  semiasse maggiore ed EDb il semiasse minore
• La distanza dei fuochi dal centro è EF2EF1ea
• Il semiasse minore si può esprimere in funzione
  del semiasse maggiore e delleccentricità

Larea dellellisse è
Quanto vale la costante? Dimostrare la relazione
tra b e a, e
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Gravitazione universale

• Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa
• Supponiamo inizialmente che le masse abbiano
  dimensione trascurabile rispetto alla distanza
  reciproca (caso ideale di masse puntiformi)
• È descritta dalla legge di Newton
• Ove F21 è la forza agente sulla massa 2, dovuta
  alla massa 1, m1 e m2 sono le masse dei corpi, r
  la loro distanza, r12 il versore orientato da 1 a
  2
• La combinazione -r12 il indica che la forza è
  attrattiva

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Gravitazione universale

• G è una costante fisica universale di dimensioni
  (nel sistema MKS)
• E di valore

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Energia potenziale gravitazionale

• Dalla legge di forza
• possiamo calcolare lenergia potenziale

r
dl
F
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Leggi di Keplero

• Newton arrivò alla sua legge studiando lopera di
  Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi
  valide per il moto dei pianeti del sistema solare
• Prima legge lorbita percorsa da un pianeta
  giace su di un piano e ha forma di ellisse, di
  cui il sole occupa uno dei due fuochi

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Leggi di Keplero

• Useremo un sistema di coordinate polari per
  descrivere lorbita del pianeta
• Il raggio vettore r, con origine nel sole e
  vertice nel pianeta, è definito dal modulo r e
  dallangolo ? (detto anomalia o azimut)
• Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal
  sole è detto afelio il punto B in cui il pianeta
  è più vicino al sole è detto perielio
• Entrambi son detti apsidi

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Leggi di Keplero

• La prima legge si può esprimere matematicamente
• Ove p ed e sono due parametri orbitali e è
  leccentricità dellorbita (sempre lt1 per
  unellisse)
• Esercizio esprimere p in funzione degli altri
  parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio
  (ra-ae, ?0)

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Leggi di Keplero

• Seconda legge larea spazzata dal raggio
  vettore è proporzionale al tempo impiegato per
  spazzarla Akt, in termini infinitesimi dAkdt
• Ovvero la velocità areale è costante
• Storicamente fu scoperta per prima

• Possiamo esprimere la costante k mediante larea
  e il periodo

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Leggi di Keplero

• Terza legge il quadrato del periodo di
  rivoluzione di un pianeta attorno al sole è
  proporzionale al cubo del semiasse maggiore
  dellorbita
• La costante di proporzionalità è uguale per tutti
  i pianeti
• Una legge analoga vale per il sistema di Giove e
  i suoi satelliti
• La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è
  diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come
  vedremo)

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Il problema dei due corpi

• Consideriamo un sistema isolato costituito da due
  masse puntiformi interagenti con forza newtoniana
• Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui
  descrivere il sistema dei due corpi

• Siano r1 e r2 i vettori posizione (in S) delle
  due masse
• La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le
  due masse r r2 - r1

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Il problema dei due corpi

• Introduciamo anche il vettore R, posizione del
  centro di massa

• Le trasformazioni inverse permettono di esprimere
  r1 e r2 in funzione di R e r

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Il problema dei due corpi

• Poiché il sistema è isolato, il centro di massa
  si muove di moto rettilineo uniforme
• Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere
  un sistema di riferimento inerziale più
  conveniente S uno con lorigine O coincidente
  con il centro di massa dei due corpi (i due punti
  coincidono e traslano assieme)
• Dora in poi, anche se con abuso di notazione,
  continueremo ad usare gli stessi simboli nel
  nuovo sistema S (però ora R0)

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Il problema dei due corpi

• Risolvere il problema significa trovare la
  dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le
  coordinate delle masse si ottengono (ora R0)
  semplicemente da
• Un fatto importante è che nel sistema S, le
  velocità v1 e v2 sono parallele
• Ciò significa che i vettori v1, v2 e r sono
  complanari

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Forze centrali

• La forza gravitazionale rientra in un tipo più
  generale di forze, dette centrali
• Queste forze hanno limportante proprietà di
  essere dirette lungo la congiungente dei corpi in
  interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r

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Il momento delle forze

• Calcoliamo il momento delle forze interne,
  sfruttando il fatto che la forza è centrale
• Lannullarsi del momento delle forze, implica che
  il momento della quantità di moto sia costante

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Il momento della qdm

• Abbiamo mostrato che v1, v2 e r sono complanari
• Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono
  paralleli
• Calcoliamo ora il mqm totale
• Il fatto che l1, l2 (e quindi L) siano paralleli,
  assieme al fatto che L si conservi, significa che
  il moto dei due corpi avviene su di un piano
  (perpendicolare a L e contenente v1, v2, r)
• Il problema è quindi ridotto a due dimensioni.
  Scegliamo il sistema S su questo piano un
  sistema di riferimento polare di coordinate r e ?

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Il momento della qdm

• Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O (e
  anche cambiare lunghezza )
• Ciò significa che la velocità angolare delle due
  masse è uguale

d?2
O
d?1
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Il momento della qdm

• Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e
  detta v? la componente azimutale della velocità,
  il modulo L è

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Il momento della qdm

• Ovvero
• Esprimendo r1 e r2 in funzione di r, (R0),
  otteniamo

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Il momento della qdm

• Ove ? è una costante con le dimensioni di una
  massa, detta massa ridotta
• Il risultato ottenuto
• si può interpretare dicendo che il sistema dei
  due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa
  ? a distanza r da un centro fisso di forza
• Risultato utile per esprimere la velocità
  angolare in funzione della distanza r (e delle
  costanti ? , L)

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2a legge di Keplero

• Siamo ora in grado di dimostrare questa legge
  nellambito della teoria di Newton

• Esprimiamo larea del triangolo infinitesimo
  SP1P2 in coordinate polari

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2a legge di Keplero

• Dividendo per il tempo otteniamo la velocità
  areale
• Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo
• Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che
  la FG è di tipo centrale il risultato è quindi
  valido per qualunque forza centrale

CDD
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Energia

• Finora abbiamo usato la legge di conservazione
  della qdm
• Usiamo ora una seconda legge di conservazione,
  quella dellenergia
• Ove T è lenergia cinetica delle due masse e V
  (già calcolata) è lenergia potenziale
  gravitazionale dovuta allattrazione mutua

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Energia cinetica

• Calcoliamo lenergia cinetica

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Energia cinetica

• Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per
  quanto riguarda T, il sistema dei due corpi
  equivale ad un corpo solo di massa ridotta ?
• Esprimendo la velocità in termini delle
  componenti radiale e azimutale

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Energia

• Tornando allenergia
• Esprimendo la velocità angolare in funzione di L
  e r e inserendo lespressione di V, otteniamo
  infine

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Integrazione dellequazione

• Lequazione (differenziale) precedente è una
  relazione tra la coordinata r (incognita), la sua
  derivata (incognita) e due costanti del moto E e
  L (supposte note)
• Possiamo esplicitare rispetto alla derivata

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Integrazione dellequazione

• Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza
  r (e quindi ?) in funzione del tempo
• È più interessante però determinare r in funzione
  dellangolo ?, in questo modo otteniamo
  lequazione dellorbita
• A tal fine riscriviamo la velocità radiale

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Integrazione dellequazione

• Otteniamo infine
• Questequazione si può risolvere per quadrature

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Integrazione dellequazione

• Lintegrando si può riportare ad una forma
  standard con la sostituzione u1/r
• Lintegrale è della forma

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Integrazione dellequazione

• E quindi
• E tornando alla variabile r

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1a legge di Keplero

• Lespressione precedente è della forma
• Ove leccentricità è
• E si è scelto ?0 in corrispondenza del perielio

CDD
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1a legge di Keplero

• Nel caso in cui il sole sia identificato col
  corpo 1 e un pianeta col corpo 2, abbiamo

Il sole è praticamente fermo
Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono
identificare
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Energia

• Torniamo allespressione dellenergia
• Il primo termine del membro di destra è lenergia
  cinetica radiale, il secondo termine è lenergia
  cinetica azimutale, il terzo termine è lenergia
  potenziale
• Formalmente possiamo considerare invece il
  secondo termine come energia potenziale,
  aggiuntiva a quella gravitazionale, di una
  particella fittizia di cui il primo termine
  rappresenta tutta lenergia cinetica
• Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre
  il numero di dimensioni del problema da due a una

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Energia

• Nella figura abbiamo tracciato le due energie
  potenziali con linee tratteggiate e la loro somma
  Vtot con linea continua
• Lenergia totale E è una costante (retta
  tratteggiata)
• La differenza tra E e Vtot è lenergia cinetica
  (freccia)

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Energia

• Per Egt0, r assume un valore minimo ma può
  assumere valori arbitrariamente grandi lorbita
  è aperta

Egt0
T
r
Leccentricità è gt1, come devessere per
uniperbole
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Energia

• Per Elt0, r è compreso tra un valore minimo e uno
  massimo lorbita è limitata (e chiusa)

r
Elt0
T
Leccentricità è lt1, come devessere per
unellisse
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3a legge di Keplero

• Come abbiamo visto, la 2a legge di Keplero
  stabilisce che
• Integrando questa relazione su di un periodo di
  rivoluzione, abbiamo
• Ricordando la relazione tra b, a ed e

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3a legge di Keplero

• Dalla 1a legge di Keplero, applicata al perigeo,
  avevamo trovato
• Ove ora
• Che ci permette di esprimere e in funzione di ?,
  L, k, a

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3a legge di Keplero

• Ed infine
• La teoria di Newton verifica e smentisce allo
  stesso tempo la 3a legge di Keplero
• La smentisce in quanto la costante che compare
  nella legge è diversa da pianeta a pianeta
• La conferma in quanto tale costante è con buona
  approssimazione uguale per tutti i pianeti

CDD
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Masse estese

• Newton fece qualcosa di più dimostrò che la
  legge di forza ha la stessa espressione anche per
  masse estese con simmetria sferica
• Lo dimostreremo in elettrostatica quando
  studieremo la legge di Gauss

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Il problema degli n corpi

• Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la
  forza dinterazione, il problema non ammette, in
  generale, una soluzione analitica
• Teoria delle perturbazioni
• Problema della stabilità del sistema solare