per molti la pi

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la relatività generale
per molti la più bella ed elegante teoria
fisica mai prodotta dalluomo e fra le massime
vette in assoluto della creatività umana
2
Principio di equivalenza

• La teoria della relatività ristretta si occupa
  dei sistemi di riferimento inerziali (SDRI) e di
  come in essi si propagano le radiazioni
  elettromagnetiche (dora in poi diremo
  semplicemente la luce)
• La teoria della relatività generale si occupa dei
  sistemi di riferimento non inerziali (SDRNI)
  (accelerati, ruotanti ecc.) ed in particolare
  della forza di gravità
• La forza di gravità ha la peculiarità che corpi
  di massa diversa (in assenza di attrito) cadono
  con la stessa accelerazione (g 9,8 m/s² circa
  sulla superficie terrestre)
• Daltra parte, rispetto ad un SDRNI, i corpi
  hanno una accelerazione indipendente dalla loro
  massa dovuta al moto accelerato del sistema di
  riferimento stesso rispetto ad un SDRI (per
  esempio una giostra ed il seguente caso)
• Immaginiamo una astronave sufficientemente
  lontana da ogni corpo celeste che viaggi per
  inerzia a razzi spenti (moto rettilineo uniforme
  rispetto alle stelle fisse). Tale astronave è con
  ottima approssimazione un SDRI. Immaginiamo che
  in un certo istante vengano accesi i razzi in
  modo che la navicella presenti una accelerazione
  costante pari a g 9,8 m/s² rispetto alle stelle
  fisse. Cosa sperimenteranno gli astronauti
  allinterno della navicella ? Essi vedranno
  cadere i corpi, che prima fluttuavano
  liberamente, tutti in una stessa direzione con
  accelerazione uguale a g. Gli astronauti non
  potranno in nessun modo rilevare una differenza
  rispetto a ciò che accade sulla superficie
  terrestre
• Il principio di equivalenza afferma appunto che
  un campo gravitazionale è equivalente ad un SDRNI

3
Spazio-tempo curvo

• Un campo gravitazionale è quindi descrivibile da
  un SDRNI costituito da quattro coordinate
  (x,y,z,t), le prime tre spaziali, la quarta
  temporale
• Un campo gravitazionale è quindi equivalente ad
  uno spazio-tempo quadridimensionale che può
  essere euclideo (piatto) o non euclideo (curvo)
• Lo spazio euclideo è quello in cui valgono per
  esempio il teorema di Pitagora, il teorema che
  afferma che la somma degli angoli interni di un
  triangolo è 180 , il teorema che afferma che il
  rapporto fra circonferenza e diametro vale ecc.
• Uno spazio non euclideo è quello in cui non
  valgono (anche uno solo !) i teoremi della
  geometria euclidea
• Un esempio di spazio non euclideo a due
  dimensioni è la superficie della sfera. In essa,
  per esempio, la somma degli angoli interni di un
  triangolo può essere 270 !
• Si dice che, in generale, un campo gravitazionale
  incurva lo spazio-tempo
• Per capire il perché la gravitazione incurva lo
  spazio-tempo consideriamo un sistema di
  riferimento K fisso ed una circonferenza
  solidale con esso. Consideriamo anche un sistema
  K ruotante (che è equivalente ad un campo
  gravitazionale). Rispetto a K un segmento di
  circonferenza l viene visto più corto a causa
  della contrazione di Lorentz. Per questo motivo
  il rapporto fra circonferenza e diametro, per K,
  non vale più per cui, per K, non vale più la
  geometria euclidea (quindi lo spazio, per il
  SDRNI K, è curvo)
• La fisica dei campi gravitazionali si riduce
  allora ad un problema di geometria in generale
  non euclidea (questo fatto è di fondamentale
  importanza e distingue la gravità dalle altre
  interazioni fondamentali la elettromagnetica e
  la nucleare debole e forte)
• La matematica che descrive le proprietà degli
  spazi curvi è il cosiddetto calcolo tensoriale.
  Esso è dovuto principalmente ai grandi matematici
  Gauss (1777 - 1855), Riemann (1826 - 1866),
  Ricci-Curbastro (romagnolo di Lugo, 1853 - 1925),
  Levi-Civita (1873 1941) (Einstein deve a questi
  ultimi due matematici alcune definizioni e
  teoremi senza i quali la teoria della relatività
  generale non avrebbe potuto essere scritta)

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Principio di relatività generale

• Il principio di relatività ristretta afferma che
  le leggi della fisica (includendo il campo
  elettromagnetico ma escludendo il campo
  gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi
  di riferimento inerziali (SDRI)
• Il principio di relatività generale afferma che
  le leggi della fisica (includendo il campo
  elettromagnetico ed il campo gravitazionale) sono
  le stesse in tutti i sistemi di riferimento,
  anche non inerziali (SDRNI) (Einstein, 1916)
• In questo modo, le descrizioni del mondo fatte
  rispetto a sistemi di riferimento qualunque, non
  necessariamente inerziali, sono del tutto
  equivalenti
• Rimangono escluse le forze nucleari scoperte
  successivamente al 1916 per cui oggi si sta
  tentando una unificazione della visione della
  natura che conglobi e spieghi tutte le forze
  conosciute (forza gravitazionale, forza
  elettromagnetica, forza nucleare). Tale ipotesi
  di unificazione, che avviò lo stesso Einstein, è
  tentata oggi sulla base della teoria delle
  stringhe

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Equazione gravitazionale di Einstein

• Le masse creano un campo gravitazionale che
  incurva lo spazio-tempo
• I corpi che si muovono in un tale spazio-tempo
  incurvato seguono traiettorie che sono linee
  geodetiche ovvero linee di minima distanza (vedi
  pag. seguente)
• Il legame matematico fra le masse generatrici del
  campo gravitazionale e la curvatura dello
  spazio-tempo è data dallequazione di Einstein.
  Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in
  realtà si tratta di una equazione molto
  complessa)
• curvatura dello spazio-tempo distribuzione
  della masse
• Si tratta di una equazione in grado di descrivere
  in modo completo un sistema di masse in
  interazione gravitazionale
• le masse si muovono seguendo linee geodetiche
  in uno spazio-tempo la cui curvatura è definita
  dalle masse stesse in movimento

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Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali curvi
Il concetto di geodetica è la generalizzazione
negli spazi curvi del concetto di retta dello
spazio euclideo
7
Conseguenze della teoria della relatività generale

• La teoria della relatività generale prevede che
  lo spazio-tempo non sia in generale euclideo
  (piatto) ma sia curvo. Ciò comporta delle
  conseguenze non prevedibili né descrivibili
  nellambito della meccanica classica. Queste
  conseguenze aprono nuovi ed affascinanti
  capitoli nella fisica moderna. Le principali
  conseguenze della non piattezza dello
  spazio-tempo sono
• spostamento del perielio di Mercurio
• deviazione dei raggi di luce da parte delle
  masse
• red-shift (spostamento verso i rosso)
  gravitazionale
• buchi neri
• onde gravitazionali
• ipotesi cosmologiche

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Spostamento del perielio di Mercurio

• Il perielio di Mercurio (punto dellorbita più
  vicina al Sole) si sposta molto lentamente in
  modo che lorbita del pianeta non sia una ellisse
  chiusa. Questo fenomeno era noto già da molto
  tempo prima di Einstein e non è spiegabile
  nellambito della meccanica classica. Daltra
  parte non vi sono pianeti o altri corpi celesti
  che disturbano lorbita di Mercurio, né altre
  cause tipo la non perfetta sfericità del Sole
• Il fenomeno si spiega considerando che lo spazio
  nelle vicinanze del Sole (in cui si trova ad
  orbitare Mercurio) è sufficientemente incurvato
  (secondo la relatività generale) da disturbare
  esso stesso lorbita di Mercurio
• I calcoli teorici dellincurvamento tramite
  lequazione gravitazionale di Einstein confermano
  i dati sperimentali

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Deviazione dei raggi di luce da parte delle masse

• Un campo gravitazionale produce un incurvamento
  dello spazio tale per cui la luce non segue più
  un cammino rettilineo
• Per questo motivo, durante una eclissi totale di
  sole, le stelle in prossimità prospettica con la
  superficie del Sole, vengono viste in posizioni
  apparenti diverse da quelle in assenza del Sole
• Poco dopo la pubblicazione della teoria della
  relatività generale il fenomeno fu verificato
  sperimentalmente corrispondere alla previsione
  teorica
• A livello astronomico più ampio, sono state
  scoperte recentemente delle vere e proprie lenti
  gravitazionali costituite da intere galassie

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Red-shift gravitazionale

• Un orologio posto in un campo gravitazionale
  intenso, siccome lo spazi-tempo ne è fortemente
  incurvato, viene visto rallentare rispetto ad un
  orologio posto lontano dal campo. Il tempo in un
  campo gravitazionale scorre (rispetto ad un punto
  lontano) tanto più lentamente quanto è maggiore è
  lintensità del campo.
• La luce proveniente da una stella massiccia (che
  genera un forte campo gravitazionale) sarà vista
  con frequenza minore, quindi più rossa
• Questo fenomeno si chiama red-shift (spostamento
  verso il rosso) gravitazionale (da non
  confondersi con il red-shift cosmologico (vedi
  più avanti))

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Buchi neri

• Una stella, quando le reazioni nucleari che la
  tengono in equilibrio si esauriscono, inizia un
  processo di collasso gravitazionale
• Se la massa della stella è sufficientemente
  grande si produce un buco nero
• Un buco nero possiede una concentrazione di massa
  tale da incurvare lo spazio attorno a sé in modo
  che la luce (come ogni altro corpo) non ne può
  più uscire
• Un buco nero, quindi, è in grado di assorbire
  massa ed energia dallesterno ma non è più in
  grado di emetterne (si suppone avvenga in effetti
  una lenta evaporazione a causa di effetti
  quantistici)
• Un buco nero è circondato da una superficie
  immaginaria, detta orizzonte degli eventi. Se
  qualcosa (massa o energia) entra allinterno di
  tale superficie non ne può più uscire

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Onde gravitazionali

• Se una grande quantità di materia subisce una
  rapida accelerazione (per esempio in un collasso
  gravitazionale di una stella) la curvatura dello
  spazio-tempo subisce una increspatura, vengono
  cioè generate onde gravitazionali
• Tali onde furono previste teoricamente da
  Einstein ed hanno la caratteristica di viaggiare
  alla velocità della luce c ed essere onde
  trasversali (come la luce)
• Le onde gravitazionali, data la loro estrema
  debolezza, non sono state ancora verificate
  sperimentalmente nonostante i diversi esperimenti
  in atto. Quando saranno verificate, esse
  apriranno una nuova proficua finestra per
  studiare il cosmo

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Cosmologia

• Lequazione gravitazionale di Einstein permette
  di descrivere luniverso nel suo insieme
• Con la teoria della relatività generale la
  cosmologia diventa una scienza dagli incredibili
  ed enormi sviluppi
• Ponendo alcune condizioni aprioristiche derivanti
  da considerazioni generali sulla struttura
  delluniverso, lequazione gravitazionale di
  Einstein fornisce diverse soluzioni
  corrispondenti a diversi modelli di universo
• Essenzialmente si hanno due classi di modelli i
  modelli stazionari ed i modelli non stazionari
  (evolutivi)
• I modelli stazionari possono essere
  (paradossalmente) non espansivi o espansivi
• La condizione principale che di solito si pone
  alla struttura su larga scala delluniverso è che
  lo spazio sia omogeneo ed isotropo, ovvero che
  luniverso sia mediamente lo stesso (in termini
  di densità) in ogni suo punto. Questa ipotesi è
  accettata in generale da tutti i modelli
• Per quanto riguarda lomogeneità ed isotropia del
  tempo, le cose sono più complicate. Ammettendo
  questa ipotesi, si presuppone che luniverso sia
  sempre lo stesso nel passato e nel futuro. In
  generale i modelli stazionari la ammettono, gli
  altri (ovviamente) no
• Laccettabilità fisica di un modello cosmologico
  teorico dipende se il modello è in accordo con le
  osservazioni astronomiche che via via vengono
  fatte
• Le osservazioni mostrano i seguenti fondamentali
  fenomeni di rilevanza cosmologica
• red-shift cosmologico delle galassie (rilevato
  da Hubble negli anni 20, interpretabile
  immaginando che luniverso sia in espansione per
  cui le galassie sembrano allontanarsi producendo
  effetto Doppler (lo stesso fenomeno per cui il
  fischio del treno viene udito più basso in
  frequenza quando il treno si allontana))
• radiazione fossile di fondo (rilevato da
  Penzias e Wilson negli anni 60, spiegabile
  immaginando che questa radiazione nelle
  microonde (circa 4 K di temperatura) sia la luce
  rimasta dellipotetica esplosione (il big bang)
  che ha dato origine alluniverso)

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Modelli cosmologici stazionari non espansivi

• Spazio omogeneo ed isotropo
• Tempo omogeneo ed isotropo
• Curvatura dello spazio costante e positiva
• Nel caso esemplificativo bidimensionale un tale
  modello corrisponde ad una sfera
• Il modello risulta instabile, una piccola
  disomogeneità locale può innescare una
  contrazione od una espansione
• Se si aggiunge al secondo membro dellequazione
  gravitazionale di Einstein la cosiddetta costante
  cosmologica , sono possibili modelli
  stazionari non espansivi stabili
• Il modello (proposto inizialmente dallo stesso
  Einstein) non spiega il red-shift cosmologico né
  la radiazione fossile

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Modelli cosmologici stazionari espansivi

• Modello stazionario nella densità di materia ma
  in espansione nel tempo con creazione spontanea e
  continua di un atomo di idrogeno ogni
  10.000.000.000 m³ ogni anno
• Il modello risulta omogeneo nello spazio e nel
  tempo ed allo stesso tempo risulta espansivo. La
  creazione spontanea di atomi di idrogeno mantiene
  costante la densità della materia
• Il modello spiega il red shift cosmologico ma non
  la radiazione fossile
• Il modello presenta il problema filosofico di
  ammettere la creazione continua (nulla si crea,
  nulla si distrugge, ma tutto si trasforma )

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Modelli cosmologici non stazionari

• Spazio omogeneo ed isotropo
• Tempo non omogeneo e non isotropo
• Ipotesi del big bang (circa 15 miliardi di anni
  fa tutto luniverso era concentrato in una
  regione di spazio teoricamente puntiforme, detta
  singolarità). Dal big bang trae origine,
  espandendosi, luniverso come lo conosciamo oggi
• Si hanno modelli chiusi, aperti, piatti e con
  espansione a velocità crescente
• Lipotesi del big bang è coerente con il
  red-shift cosmologico e con lesistenza della
  radiazione fossile
• Il problema fondamentale dellipotesi del big
  bang è levoluzione futura delluniverso (se
  continuerà ad espandersi ed in che modo oppure
  inizierà a contrarsi)

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Modello cosmologico non stazionario chiuso

• Curvatura costante positiva
• Modello bidimensionale superficie sferica
• Densità maggiore della massa critica
• Espansione contrazione (big bang big crunch)
  anche in sequenza

In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario aperto

• Curvatura costante negativa
• Modello bidimensionale sella
• Densità minore della massa critica
• Velocità di espansione decrescente tendente ad un
  valore positivo

In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario piatto

• Curvatura costante nulla
• Modello bidimensionale piano
• Densità uguale alla massa critica
• Velocità di espansione decrescente tendente a 0
• Geometria euclidea

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Modello cosmologico non stazionario a velocità
crescente

• Le ultime recenti osservazioni indicherebbero che
  luniverso sarebbe costituito al 95 di materia
  oscura (in piccola misura) e di energia oscura
  (in misura molto maggiore). Il rimanente 5
  formerebbe luniverso usuale che vediamo e
  misuriamo con i nostri strumenti (perché emette
  radiazione elettromagnetica)
• Sarebbe inoltre in atto una espansione accelerata
  (big rip) delluniverso in antitesi col carattere
  attrattivo della forza gravitazionale
• Lespansione accelerata sarebbe causata
  dallenergia oscura ed è descrivibile
  matematicamente con laggiunta allequazione
  gravitazionale di Einstein della costante
  cosmologica
• Lenergia oscura potrebbe essere spiegabile
  fisicamente mettendola in relazione con
  lesistenza della ZPE (zero point energy, energia
  quantistica di punto zero), energia intrinseca
  del vuoto che riempirebbe il cosmo)