Presentazione di PowerPoint

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Argomentare e congetturare nella scuola
elementare
Per docenti di quinta elementare
Domingo Paola Liceo scientifico Issel di Finale
Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica
Università di Genova
Modena 8 Novembre 2005
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Dai documenti della commissione UMI
Il nucleo di processo argomentare e
congetturare caratterizza le attività che
preparano alla dimostrazione, ossia a una delle
attività che caratterizzano il pensiero
matematico maturo, quale sarà acquisito nella
scuola secondaria di secondo grado.
Dimostrazione
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Dai documenti della commissione UMI
Si considerano perciò quei processi eminentemente
discorsivi che concernono il pensiero matematico
essi risultano da un intreccio tra
rappresentazioni simboliche (i segni
dellaritmetica, le figure della geometria) e le
attività discorsive su questi con cui il soggetto
dà significato agli enunciati matematici che sono
generalmente di tipo misto (segni specifici del
linguaggio simbolico proprio della matematica e
parole del linguaggio naturale).
Significato
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Dai documenti della commissione UMI
Il significato dei segni matematici è
analizzabile a due livelli il primo significato
riguarda principalmente gli oggetti matematici
(per esempio un numero naturale) il secondo le
relazioni tra questi (per esempio la relazione
essere maggiore di)
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Dai documenti della commissione UMI
Perché è così?
Le attività argomentative in cui si producono
ipotesi o si generano condizionalità sono
riconducibili a due modalità principali
caratterizzate dal diverso modo con cui il
soggetto si rapporta al mondo esterno rispetto al
suo mondo interno. La prima modalità è
caratterizzata dalla produzione di congetture
interpretative di ciò che si percepisce, per
esempio al fine di organizzarlo. La seconda è
caratterizzata dalla produzione di congetture
previsionali
Come sarebbe se ...?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Seconda -
Terza elementare
Il Signor O deve andare dal punto A al punto C
che si trovano a una stessa distanza da una
strada rettilinea. Unauto sta passando sulla
strada e deve consegnare un pacco al Signor O.
Questauto può viaggiare solo sulla strada, e può
fermarsi nel punto indicato dal Signor O per
incontrarlo e consegnargli il pacco. Siccome il
Signor O è molto pigro, vuole compiere il cammino
più breve possibile dal punto A al punto C
passando per il punto in cui gli sarà consegnato
il pacco sulla strada. Qual è il punto in cui
deve farsi consegnare il pacco il Signor O per
compiere il cammino più breve possibile?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Quarta
Quinta elementare
Che cosa cambia se i punti A e C si trovano a
diversa distanza dalla strada? Dove dobbiamo far
posare il pacco? Quale sarà il percorso più breve
per il Signor O?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Scuola
primaria
Perché è così?
Che cosa possiamo aspettarci come risposte a
domande di questo tipo?
Come sarebbe se ...?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Scuola
primaria
Sotto osservazione gli alunni capiscono la
consegna? Sanno costruire un modellino della
situazione con materiale povero (cartoncino,
spilli)? Producono congetture, ipotesi, come le
validano? Come cambiano i ragionamenti dalla
prima alla seconda situazione?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Scuola
secondaria di primo grado
Lo stesso problema con Cabri, suggerendo anche
possibili interpretazioni sul piano cartesiano
della variazione della distanza AFFC al variare
di F.
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Scuola
secondaria di primo grado
Perché è così?
Che cosa possiamo aspettarci come risposte a
domande di questo tipo?
Come sarebbe se ...?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Scuola
secondaria di primo grado
Sotto osservazione che cosa cambia nelle
modalità di esplorazione con Cabri? Che cosa
cambia nella comunicazione delle osservazioni e
delle scoperte (gesti, metafore, segni ) Come
cambiano le modalità di validazione? Quali
difficoltà nella lettura del grafico?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Biennio
scuola secondaria di secondo grado
Il punto F si determina costruendo il punto A
simmetrico di A rispetto alla retta su cui giace
F e congiungendo C con A perché? Richiesta di
una dimostrazione
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Biennio
scuola secondaria di secondo grado
Perché è così?
Che cosa possiamo aspettarci come risposte a
domande di questo tipo?
Come sarebbe se ...?
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Presentazione di un esempio di attività didattica
in continuità verticale
Un esempio di attività in verticale Biennio
scuola secondaria di secondo grado
Sotto osservazione Come cambiano le modalità di
validazione? Apprezzano la potenza della
dimostrazione e della generalizzazione? Che cosa
cambia nella comunicazione delle osservazioni e
delle scoperte (gesti, metafore, segni )
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Attività 4. Come eravamo il valore del denaro
nel tempo (quinta elementare)
Prima fase racconto di esperienze personali
Seconda fase progettazione e realizzazione di un
cartellone murale con una striscia del tempo dal
1946 a oggi e progettazione e realizzazione di
una copia personale in scala
Terza fase raccolta di documenti e informazioni
Quarta e quinta fase rappresentazione con
adeguati diagrammi cartesiani delle variazioni
dei prezzi di vari prodotti e uso di adeguati
indici per effettuare confronti
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Importanza degli strumenti come mediatori nel
processo di costruzione di conoscenza
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Genesi strumentale
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Che cosè una circonferenza?
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Le calcolatrici nella scuola elementare
Come è possibile utilizzare sensatamente le
risorse che le calcolatrici mettono a
disposizione?
Che cosa si perde e che cosa si guadagna?
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Al di fuori della scuola, la calcolatrice viene
utilizzata come protesi che potenzia le nostre
limitate capacità di calcolo e rende i risultati
più affidabili. Questo schema dutilizzazione è
appropriato per la scuola elementare?
Se lobiettivo è quello di far conoscere agli
alunni laritmetica elementare, come può essere
utile uno strumento che nasconde i processi di
calcolo e le proprietà delle operazioni
limitandosi a fornire un risultato? Lo schema
duso sociale della calcolatrice che viene fatto
al di fuori della scuola non è adatto a essere
importato nelle aule scolastiche dei primi anni
della scuola elementare
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è necessario pensare ad altre modalità di
utilizzazione che consentano di perseguire
lobiettivo prefissato, magari ponendo nuovi
problemi
esplorazione, osservazione, produzione e
validazione di congetture per motivare, infine, a
porsi e a rispondere a domande del tipo ma
perché è così?
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Esempi di attività
Attività 1. (con la calcolatrice) Parti da 0 e
aggiungi 5. Continua così, aggiungi sempre 5 al
risultato che ottieni. Riuscirai mai a
raggiungere il numero 37? E il numero 72? E se,
invece, parti dal numero 2? E dal numero 3?
Perché?
Attività 2 (inizialmente senza la calcolatrice)
Date nel tempo più breve possibile, senza usare
la calcolatrice, due numeri che si avvicinino al
risultato di 112 . 3. Il primo numero deve essere
più piccolo del risultato di 112.3, mentre il
secondo numero deve essere maggiore. Lo scopo è
di rendere più piccola possibile, nel breve tempo
concesso, la differenza tra i due numeri forniti.
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Più ancora delle risposte che vengono fornite
alle domande del tipo perché? è il senso, il
significato di queste domande a essere
importante è necessario lavorare costantemente e
sistematicamente ai fianchi gli alunni per
portarli a comprendere il significato delle
domande del tipo perché. Le risposte a queste
domande possono darsi solo ricorrendo alla
teoria, ossia a un sistema di conoscenze
organizzate, nel quale certi fatti sono
utilizzati per spiegarne altri.
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Software di geometria dinamica e insegnamento
apprendimento della geometria nella scuola
elementare
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Caratteristiche di questo ambiente Fogli di
lavoro già costruiti dallinsegnante e sui quali
gli studenti possano effettuare esplorazioni e
osservazioni limitandosi alluso del mouse. Menu
equilibrato, costruito sullesperienza degli
studenti. Aspetto delicato acquisizione dello
schema duso del trascinamento.
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attività di questo tipo, se inserite in un
ambiente di insegnamento apprendimento
opportuno, potrebbero aiutare significativamente
levoluzione dallesplorazione e osservazione di
fatti geometrici, alla verbalizzazione di
quanto osservato e alla produzione e formulazione
di congetture
Ma che cosa vuol dire ambiente di insegnamento
apprendimento opportuno?
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didattica lunga, tesa alla costruzione di
significati per gli oggetti di studio
attenzione dellinsegnante rivolta ai processi di
pensiero degli studenti
motivare gli studenti a produrre pensiero e ad
ascoltare e discutere le idee che emergono con il
lavoro in classe.
condividere un concetto di razionalità più ampio
di quello che in genere si individua con il
termine razionalità scientifica
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Noi conosciamo fatti e possediamo un sapere su di
essi soltanto quando, contemporaneamente,
sappiamo perché i giudizi corrispondenti sono
veri. Altrimenti parliamo di sapere intuitivo o
implicito, di un sapere pratico di come si fa
qualcosa. Ci si può benissimo intendere di
qualcosa senza sapere che cosa è che costituisce
queste competenze. Invece lespresso sapere
qualcosa è implicitamente legato a un sapere
perché e rimanda, per questo, a potenziali
giustificazioni. Naturalmente ciò non
significa che opinioni o convinzioni razionali
siano sempre composte di giudizi veri. Chi
condivide opinioni che si dimostrano non vere non
è ipso facto irrazionale irrazionale è chi
difende dogmaticamente le proprie opinioni e le
mantiene, pur vedendo che non può motivarle. Per
qualificare unopinione come razionale basta che
essa, nel contesto di giustificazione dato, possa
con buone motivazioni essere ritenuta vera, ossia
accettata razionalmente
Habermas
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Ma che cosa vuol dire didattica sensata?
Sensatus giudizioso, ragionevole
Sensus sentire per mezzo dei sensi
Didattica sensata ragionevole e legata ai sensi
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Galileo Galilei, quando parlava di sensata
esperienza, si riferiva alla necessaria
compresenza, per lo studio del mondo, di aspetti
percettivi e di aspetti razionali. Il sogno di
Galileo è unimmagine del sapere. In essa si dice
che gli uomini possono conoscere il mondo facendo
appello solamente alle dimostrazioni matematiche
e agli esperimenti Secondo Galileo, infatti,
i discorsi nostri hanno a essere intorno al mondo
sensibile e non sopra un modo di carta

E. Bellone
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I nostri studenti possono conoscere il mondo
facendo appello ai sensi e alle teorie quelli
per percepire e fondare, sulle percezioni, i
significati degli oggetti di studio, quelle per
aiutare a orientarci nel labirinto delle
percezioni, per sistemare e organizzare le nostre
conoscenze in modo da poter rispondere ai perché.
con l'uso degli strumenti
Da modalità di insegnamento apprendimento
ricostruttivo simboliche a modalità percettivo
motorie
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Un'indicazione di lavoro
Attività di matematica
sensate
Matematica 2001
secondo un'idea di
didattica lunga