Chapitre 6 : M

1
Chapitre 6 Méthodes de calcul de champs
Un champ prend une valeur différente en chaque
point ? une infinité de degrés de liberté ?
calcul en tout point impossible de façon
purement numérique. Solution décrire le champ
par une fonction analytique comportant un nombre
fini de paramètres. Exemple T Aelx où A et l
sont des nombres.
2
Forme des solutions du modèle champ Sauf pour
des problèmes très simples (voir cours de
physique de bac), on ne peut trouver une solution
exacte couvrant tout le domaine de calcul. Le
plus souvent, on subdivise le domaine de calcul
en sous-domaines et on donne sur chacun
séparément une expression du champ. Sur chaque
sous-domaine, une solution peut être exacte
(vérifiant toutes les équations) ou approchée (ne
satisfaisant une ou plusieurs équations que de
façon approchée) De même, les conditions de
raccordement aux frontières des sous-domaines
peuvent être satisfaites de façon exacte ou de
façon approchée. Attention on parle ici de
solutions  exactes  par rapport au modèle, pas
par rapport à la  réalité .
3

• Solutions analytiques exactes
• champs uniformes
• champs à une dimension
• autres champs à haute symétrie (cylindrique,
  sphérique )
• - superposition (? dipôle), juxtaposition,
  méthode des images
• - calcul par séparation des coordonnées (ex.
  entrefer épais)
• - calcul par transformation conforme (ex. coeff.
  de Carter)
• - expression trouvée de façon heuristique
  (souvent variation
• autour d une expression trouvée par une autre
  méthode)
• Il existe des catalogues de solutions (moins
  connus que par le passé par manque de temps ?
• par aversion pour  les maths  ? )
• Une utilisation que nous avons déjà rencontrée
  des solutions exactes est la détermination de
  paramètres de type  circuit .

4
Champ uniforme
Exemple le plus simple calcul simplifié du
champ dans un élément en forme de prisme
(entrefer, colonne magnétique, dent). On suppose
le potentiel magnétique constant sur chaque base
du prisme et les surfaces latérales imperméables
au champ (pas deffets de bord).
donc
La relation constitutive (du point de vue circuit
magnétique) se déduit de celle du matériau
soit, dans le cas linéaire
5
Exemple de calcul simple appliqué à un
électroaimant de levage
6
Connaissant le champ, on peut calculer
linductance
On peut aussi calculer la force en intégrant dans
les entrefers la seule composante pertinente du
tenseur de Maxwell, soit
7

• Améliorations
• Prise en compte de la réluctance du noyau de fer
  ( tronçons rectilignes par formules rappelées en
  CM3)
• Prise en compte des réluctances de coin et de T
  (voir CM3)
• Prise en compte de la saturation (indispensable
  si loptimisation conduit à des valeurs de champ
  pour lesquelles la valeur choisie pour m nest
  plus réaliste, ce qui est probable car elle
  cherche à réduire la quantité de fer du noyau)
• Prise en compte des effets de bord dans les
  entrefers
• Prise en compte du champ de fuite à travers le
  bobinage, qui vient augmenter la saturation dune
  partie du noyau et augmenter linductance du
  bobinage.
• .

8
Cas des surfaces encochées
On remplace lensemble dents-encoche par un
volume plein, mais en ajoutant une réluctance de
surface R0 .
9
Calcul du champ associé aux aimants montés en
surface
On suppose la magnétisation orientée selon
Ox Alors, B est dirigé dans la direction 0x
Donc B est uniforme !
Pour ce qui est de léquation en H, on a en
labsence de courant rot H 0 qui est
satisfaite pour tout champ limité à Hx(x) .
10
Nous allons calculer le champ en fonction de la
force magnétomotrice
Dans les aimants, Ha est uniforme puisque B
lest. Il en est de même dans lentrefer
proprement dit où He B / m0 .
On obtient donc
11
jointe à la relation constitutive des aimants
R(Ba , Ha ) 0 fournit la valeur de B , et donc
de He et Ha .
)
12
En particulier, pour les aimants terres-rares, on
a une relation linéaire B Br ma Ha Donc
Grâce à la linéarité, on peut distinguer un champ
 dû  à laimant et un champ  dû  à la force
magnétomotrice.
13
Application à lentrefer dune machine
rotative. Considérons les deux couronnes comme
infiniment perméables.
Dire que la perméabilité des corps
ferromagnétiques est infinie revient à dire que
dans ces corps H 0 . On a donc, entre nimporte
quel point du fer rotorique et nimporte quel
point du fer statorique, la même intégrale
Si les pôles sont symétriques, on doit avoir
14
Si lépaisseur totale de lentrefer, soit g e
ea , est petite par rapport à la largeur des
aimants, on peut calculer le champ B de la même
façon quaux transparents précédents. Il sagit
cette fois dune solution approchée !
Il reste à décomposer le champ en série de
Fourier et à garder seulement la fondamentale si
on veut faire le calcul  au  premier
harmonique .
On trouve facilement
La méthode convient mal au calcul des harmoniques
car leur  longueur donde  devient vite petite
par rapport à g e ea . Bc douvrages
ignorent ce fait !
15
Le champ dentrefer calculé ci-dessus pour une
machine rotative ne vérifie exactement aucun des
deux volets déquations de Maxwell ! On peut
laméliorer un peu de façon à avoir div B 0
il suffit de considérer que Br ne dépend pas de r
, donc que
mais on garde le problème que rot H ? 0 Pour
obtenir une solution exacte, il faut considérer
le calcul du champ comme un problème 2D
16
Champ à une dimensionExemple champ magnétique
dans une encoche rectangulaire
Supposons une densité de conducteurs uniforme. On
a
Le potentiel vecteur na quune composante, Az .
Nous supposons que Az A0 sur la ligne de
séparation y0 tracée entre lentrefer et
lencoche. A0 est le potentiel vecteur associé au
champ dentrefer. Nous supposons encore que les
dents et la couronne ont une perméabilité
magnétique infinie (H 0 ).
17
Essayons une solution où le champ
est horizontal ( seule la composante Hx
est différente de 0 ). Léquation
se réduit alors à
Sachant que, en yb, Hx 0 par la continuité de
la composante tangentielle de H, on obtient
18
Pour calculer le flux du bobinage, cherchons le
potentiel vecteur. Il obéit à léquation
soit
Tenant compte de la condition Az A0 en y 0 ,
on obtient
19
Il est maintenant facile de calculer le flux du
bobinage correspondant à la traversée de cette
encoche.
où L est la longueur de lencoche. On obtient
Le premier terme correspond au flux principal, et
le second au flux de fuite à travers lencoche.
Ce dernier correspond à une inductance de fuite
(à commenter)
Cas des encoches de forme quelconque
pouvez-vous vous inspirer de la solution
précédente pour trouver une solution approchée ?
20
Autres champs à haute symétrie
Exemple champ dans un secteur cylindrique (flux
radial) Si le champ ne dépend pas de la
coordonnée azimutale j , il est purement
radial. L étant la hauteur du secteur, a son
rayon intérieur, b son rayon extérieur et a son
ouverture angulaire, on a
Donc, pour un matériau doux linéaire
Exemple dutilisation partie dun
électroaimant /- cylindrique.
21
Cas particulier champ homopolaire dans un
entrefer cylindrique ou anneau complet. Ce champ
ne dépend pas de la coordonnée azimutale j il
est purement radial. L étant la longueur de
lentrefer, a son rayon intérieur, b son rayon
extérieur, on a, en remplaçant a par 2p
Donc, pour un matériau doux linéaire (le vide ?)
Le champ B ci-dessus ne dérive pas dun potentiel
vecteur unique (sauf si on introduit
artificiellement une coupure dans le domaine).
Par contre, le champ H dérive dun potentiel
scalaire magnétique (force magnétomotrice).
22
Calcul par décomposition spectrale
Nous avons dit plus haut que, pour une machine
hétéropolaire, le calcul du champ dentrefer fait
en supposant le champ radial suppose que
lentrefer est petit (par rapport aux distances
de variation du champ). Même si lhypothèse est
correcte pour la fondamentale, ce nest plus le
cas pour les harmoniques. On est donc souvent
conduit à faire un calcul de champ à deux
dimensions (radiale azimuthale, dans le cas
dun entrefer cylindrique). La façon classique
dy parvenir est deffectuer une décomposition
spectrale selon la coordonnée par rapport à
laquelle le champ est périodique.
23
Structure de base Le cas le plus fréquent en
électrotechnique est celui dun domaine en forme
de manchon (domaine cylindrique compris entre un
rayon intérieur a et un rayon extérieur b). Cest
notamment le cas de lentrefer des machines
cylindriques.
Par séparation des variables, on peut écrire le
champ sous la forme exacte suivante (nous
nécrivons quun terme de la série)
On a en effet alors
Soit, en référentiel orthonormé
24
Donc
ou
qui a bien un rotationnel nul.
Il faut déterminer les 4 coefficients A, A" ,
B, B par les conditions aux limites. La somme de
termes de cette forme est la solution générale
dun domaine sans source de champ (cest le cas
de lentrefer des machines). Pour le montrer, il
suffit de décomposer le champ en série de Fourier
selon j . Si p est le nombre de paires de pôles,
lexpression ci-dessus représente la fondamentale
du champ. On peut écrire les harmoniques en
remplaçant p par pn .
25
Nous allons décomposer le problème en considérant
séparément les deux termes des sommes ci-dessus
(donc un champ daxe direct et un champ daxe en
quadrature). Nous nous limitons au premier terme
dans les calculs ci-dessous (champ daxe direct
). Par un changement de paramètre, nous allons
écrire les expressions sous la forme dun circuit
magnétique équivalent. Pour cela, nous
considérons, pour chaque valeur du rayon r,
lamplitude fmmr de la force magnétomotrice
soit
Nous définissons aussi un flux par pôle, Lm étant
la longueur magnétique du domaine
26
Ces grandeurs sont aisément reliées aux champs
et
Les équations précédentes permettent décrire une
relation entre les flux et les fmm en r a et r
b.
27
où
sont la perméance principale et la perméance de
fuite du domaine (par unité de longueur).
Les équations peuvent se mettre sous la forme
dun circuit
28
Cas de lentrefer Ce modèle sapplique à
lentrefer proprement dit (avec m m0). On peut
inclure à lentrefer des domaines adjacents ayant
le même m (frette). Couronnes et domaine
extérieur On peut aussi lappliquer, séparément,
à dautres parties à symétrie cylindrique mais
avec un m différent de m0 , ce qui est le cas des
couronnes si on suppose le matériau magnétique
linéaire. Le domaine situé au-delà des couronnes
peut aussi être modélisé de la même façon, en
faisant tendre a vers linfini ou b vers 0 selon
le cas, ce qui permet de tenir compte du champ à
lextérieur de la machine.
29
Aimants montés en surface Un cas particulier
important est celui des aimants montés en
surface. Les aimants terre-rare ayant une
perméabilité proche de celle du vide, on peut les
incorporer à lentrefer pour calculer les champs
dont les aimants ne sont pas la source.
On peut faire mieux si les aimants sont jointifs
(au moins approximativement) en considérant
quils forment un domaine à perméabilité
magnétique uniforme (en pratique proche de 1.05
m0 ). Lentrefer et les aimants sont alors
représentés par un double circuit en P .
30
Calcul en présence de sources de champ dans le
domaine de calcul Si lentrefer (au sens large,
cest-à-dire tout le domaine de calcul dans
lequel on effectue une décomposition spectrale)
contient des conducteurs parcourus par un courant
ou des aimants, on peut recommencer le calcul de
champ en en tenant compte.
Si on sintéresse uniquement aux flux et aux fmm
aux frontières des différentes parties, on peut
garder le modèle précédent en le complétant par
des sources de flux ou de fmm (ci-contre exemple
de prise en compte de laimantation) Attention
le lien entre les grandeurs de ce circuit et les
champs nest plus le même dans la région qui
contient les sources !
31
Calcul du champ dû aux aimants La magnétisation
des aimants est une source de champ. Si on
calcule la magnétisation par rapport au vide, on
doit considérer que la zone des aimants a une
perméabilité m0 , mais la magnétisation nest pas
rigoureusement constante. Si on considère comme
précédemment une perméabilité m différente de
celle du vide, il faut définir laimantation en
conséquence ! Lavantage est quelle est alors
constante dans le cas des aimants terre-rare.
Un cas  simple  est celui des aimants à
magnétisation parallèle à leur axe et dont la
géométrie est décrite ci-contre. En effet, le
modèle gaussien permet alors de remplacer la
magnétisation par une charge magnétique de
surface située uniquement au niveau des rayons
intérieur et extérieur des aimants.
32
Considérons le rayon c r4 et louverture x x4
(le calcul est similaire en c r3 et x x3 mais
avec un signe opposé). La densité de charge
magnétique équivalente nest pas constante. Elle
vaut
Il sagit dune source de flux magnétique.
33
Décomposons cette densité en série de Fourier. En
supposant quil y a p paires de pôles, on obtient
En intégrant chaque terme sur sa demi-période, on
obtient des flux équivalents
34
On obtient pour lentrefer et les aimants le
circuit équivalent ci-contre. Si les aimants sont
fixés directement sur la couronne rotorique, et
si on néglige la réluctance de celle-ci, fmma est
nulle et on na besoin de la source de flux
inférieure pour calculer le flux circulant dans
cette couronne.
Attention ! Le champ H calculé dans le modèle
gaussien est partout exact, mais le champ B
calculé à lintérieur de laimant dans ce modèle
ne lest pas. Si nécessaire, on peut obtenir le B
réel à partir de H et de la relation constitutive
de laimant.
35
Cas dune couronne encochée On peut aussi prendre
en compte la réluctance de surface du type
 Carter , ainsi quune perméance de fuite
correspondant à lencochage, sous la forme dun
circuit en P . Si nécessaire, détails sur le site
du cours. Autres expressions spectrales du champ
dentrefer On trouvera dans le syllabus quelques
références relatives à des géométries ou des
méthodes non traitées ici.
36

• Champ dû aux enroulements situés dans des
  encoches
• Pour trouver le champ  dû  au bobinage placé
  dans des encoches, une simplification possible
  est de considérer que
• Le bobinage est concentré à la surface de
  lentrefer, au niveau de louverture des
  encoches.
• La zone des dents, des encoches et de la
  couronne est remplacée par une zone de
  perméabilité magnétique infinie
• Alors, la condition aux limites du champ
  correspond à une densité de courant de surface
  sinusoïdale. Cest logique car, si on ne
  considère quune composante de la série de
  Fourier du champ, on ne doit considérer que la
  composante correspondante de la densité de
  conducteurs !
• Pour trouver les coefficients dans lexpression
  du champ, on va donc passer par une décomposition
  en série de Fourier de la densité de conducteurs !

37
Pour rappel, J S Na ia Pour le calcul des
champ, on peut décomposer directement J en série,
mais il est plus utile de décomposer les Na en
série car le résultat peut être réutilisé pour le
calcul des flux !
38
Coefficients de filtrage
On a souvent à faire la somme de m sinusoïdes de
même amplitude A mais décalées chacune dun angle
a par rapport à la précédente. On peut
représenter ce problème sous forme de phaseurs
En prenant le  centre du faisceau  comme
origine, on a
où z est la coordonnée t ou q ou.
39
La somme est une série géométrique. Pour
leffectuer, multiplions et divisons par la
différence entre la racine carrée de la raison et
son inverse
40
avec
Interprétation on somme les sinusoïdes sans
tenir compte de leur déphasage, et on applique un
facteur correctif au résultat. Vérification si
m 1, on retrouve bien lamplitude de la seule
sinusoïde présente.
41
Dans le cas des machines électriques, on doit
souvent faire la somme de grandeurs
périodiques. Dans une machine à entrefer
cylindrique, on a des grandeurs de période 2 p /
p décalées dun angle géométrique Dq . Si on les
décompose ces grandeurs en série de Fourier, on
peut appliquer un facteur de filtrage pour chaque
harmonique. Soit n le rang de lharmonique
considéré, on a
Le décalage angulaire est proportionnel à lordre
de lharmonique
42
On obtient
En général, la fondamentale est moins atténuée
que les harmoniques, doù le nom de coefficient
de filtrage. La formule ci-dessus convient aussi
bien pour traiter le cas daimants décalés que de
bobines décalées. Dans le cas particulier dun
bobinage triphasé, sil y a m faisceaux
identiques par phase et par pôle, on aura
Identique au livre de référence sachant que seuls
les n impairs sont à considérer dans ce cas
soit
43
Considérons maintenant le cas où une grandeur est
répartie uniformément sur un angle be . On peut
trouver le coefficient de filtrage en passant à
la limite m ? ? avec (m-1) Dqe be . On obtient
Remarque 1 dans le calcul du champ daimant
fait précédemment, on ne pouvait appliquer cette
formule puisque la densité de charge magnétique
nétait pas constante. Remarque 2 on est
parfois amené à multiplier plusieurs coefficients
de filtrage (pouvez-vous en donner un exemple ?).
44
Les coefficients de filtrage du bobinage sont
aussi utilisable pour calculer le flux de
celui-ci une fois le champ connu, car on a
45
Exemple de décomposition en série Si on a n
spires par phase, donc n/p conducteurs actifs par
phase et par pôle. Si ces n/p conducteurs sont
concentrés sur une ligne sans dimension, on a en
prenant comme origine laxe de lenroulement (cas
de la surface extérieure de lentrefer)
où les fonctions d( ) sont des deltas de
Dirac. Par décomposition en série, on obtient
avec
où R est le rayon au bord de lentrefer
46

• On peut corriger la valeur des Ns n par deux
  coefficients de filtrage
• Pour tenir compte de la répartition des
  conducteurs entre plusieurs encoches
• éventuellement pour tenir compte de la largeur
  de louverture dencoche

47
Calcul de linductance dun bobinage
Rappel
Attention ! Lors du calcul du flux dû à un
bobinage, les coefficients de filtrage
interviennent deux fois une fois pour calculer
le champ associé au bobinage, et une fois pour
calculer le flux que ce champ produit dans le
bobinage. On sattend donc à trouver le carré des
coefficients de filtrage dans lexpression des
inductances.
48
Comparaison avec lexpression de linductance
principale donnée dans  le livre  pour m 1
(donc sans coefficient de filtrage) Le calcul
approché du champ (champ radial) fournit
Identique à lexpression du livre si p 1
Donc
Par ailleurs, compte tenu de ce qui précède,
Donc
49
On retrouve lexpression du livre car le crochet
vaut 1. Cest un détour par rapport au calcul du
livre, mais la méthode permet de faire le calcul
pour un enroulement distribué (m gt 1) , ce qui
serait très difficile à faire autrement. Mais, si
on utilise le calcul analytique exact, la série
ne converge pas. Cest normal car les conducteurs
concentrés ont une inductance infinie !
50
Le calcul approché de linductance est donc
suspect. En ce qui concerne le calcul exact, on
peut bricoler arrêtant la série lorsque la
longueur donde des harmoniques devient petite
par rapport à la largeur des encoches. Lutilisati
on des coefficients de filtrage avec la méthode
spectrale exacte permet de résoudre ce paradoxe
de façon bien plus élégante il suffit en effet
dintroduire un coefficient de filtrage prenant
en compte la largeur non nulle des encoches pour
que la série redevienne convergente même dans le
cas du calcul exact ! Attention le calcul de
linductance de fuite dans les encoches nest pas
inclus dans les expressions ci-dessus. Il est à
faire séparément !
51
Prise en compte des couronnes et des dents Ayant
considéré que les noyaux magnétiques ont une
perméabilité infinie pour le calcul du champ
 dû  aux conducteurs, on est amené à considérer
la force magnétomotrice qui apparaît à cause de
la réluctance des dents et de la couronne comme
une source de champ supplémentaire le calcul se
fait alors par itérations.
Dans le calcul de la correction, lusage des
coefficients de filtrage peut aussi être utile.
Ces coefficients servent donc pour tous les types
de source de champ (aimants, courants, reluctance
des pièces magnétiques)
52
Calcul de champ par transformation conforme
Certains problèmes peuvent être étudiés par
transformation conforme. Ce nest possible que
les matériaux linéaires, isotropes et
homogènes. On peut dresser un catalogue de telles
solutions (trouvées dans la littérature ou
développées personnellement). Les expressions des
réluctances de surface correspondant à
lencochage (Carter) sont obtenues de cette
façon. Autres exemples utiles déjà rencontrés
la réluctance de coin, lépanouissement de flux
au bord dun entrefer, le calcul de la force en
tenant compte de lépanouissement de flux.
53
Calcul de la force dattraction entre deux
surfaces magnétiques parallèles en tenant compte
de leffet de bord
Pour une force magnétomotrice imposée entre les
deux pôles, la force se calcule comme sil ny
avait pas deffet de bord, mais en allongeant BC
dune longueur
Si p tend vers linfini, on a
Pouvez-vous le montrer ?
Attention ! Ces formules ne peuvent pas être
utilisée pour calculer le flux ou la réluctance
dentrefer !
54
Méthode de contrôle des erreurs dues au modèle de
calcul
55
Solutions analytiques approchées
sophistiquées Une solution peut vérifier une
équation d évolution - au sens fort
(c est-à-dire exactement) - au sens faible
(produit scalaire nul avec des fonctions de
test vérifiant l équation duale) -
fonctionnellement (comme solution d un problème
variationnel mais avec contraintes
supplémentaires) Si une solution vérifie au sens
fort toutes les équations d évolution, le
ligurien fournit une estimation de sa
précision. La densité de Ligurien est définie
par L Wm(B) Wcm(H) B.H symétrie
restaurée entre B et H
56

• La densité de Ligurien est toujours positive,
  donc aussi son intégrale (le ligurien). Le
  ligurien est nul ssi la solution est exacte !
• Méthode rationnelle
• On définit une expression approchée de B en
  fonction dun nombre limité de paramètres à
  déterminer.
• On procède de même pour H.
• Puis on cherche la valeur des paramètres qui
  minimise le ligurien.

57
Aspects  numériques  du calcul
58
Introduction
Il existe des logiciels de calcul de champ
dusage général, capables de traiter une grande
variété de structures. Certains profitent de la
physique particulière à lélectromagnétisme. Daut
res ont une méthode de solution plus générale (ce
qui leur permet dutiliser un seul solveur même
si multiphysique)
59
Comparaison

• Programme maison
• Bien adapté à un problème
• Pas de prix dachat
• Source disponible
• Fournit les grandeurs désirées
• et leur définition est connue
• Possibilités dextension et adaptation
• Calcul rapide permettant loptimisation
• Moins derreurs de discrétisation (moins
  aléatoires) car il peut profiter de solutions
  analytiques

• Programme dusage général
• Peut traiter de nombreux problèmes
• Pas de temps décriture et mise au point
  (seulement apprentissage)
• Certification de qualité possible
• Moins derreurs géométriques
• Facilités graphiques

60

• Si on veut réaliser un logiciel capable de
  calculer le champ dans une grande variété de
  structures, on est amené
• Subdiviser finement le domaine de calcul
• Utiliser sur chaque élément une expression
  approchée standard du champ, le plus souvent un
  polynôme.
• Cest le principe du calcul par éléments finis.
• Il existe dautres méthodes générales, mais elles
  sont moins utilisées.

61
2D ou 3D ?

• Le nombre déléments à considérer est beaucoup
  plus grand lors dun calcul 3D, ce qui augmente
  le temps de calcul et nuit à la précision du
  calcul numérique, sans compter le temps
  dintroduction des données beaucoup plus long.
• Il est donc conseillé deffectuer le calcul en 2D
  chaque fois que cest possible, quitte à
  effectuer une correction pour tenir compte des
  effets de bord (calcul en dimension 2 ½ ).
• Deux cas importants (attention les équations 2D
  ne sont pas les mêmes)
• symétrie de translation dans la direction
  perpendiculaire au plan de calcul
• symétrie de rotation autour dun axe situé dans
  le demi plan de calcul.

62
Maillage
En 3 D Nœuds Arêtes Faces Eléments
Lélément le plus simple est le tétraèdre.
63
Lélément le plus simple est le triangle. Cest
la forme utilisée en électrotechnique car elle
permet de mailler des domaines de forme
compliquée (maillage non structuré)
En 2 D Nœuds Arêtes Faces Eléments
Il existe des relations entre les nombres de
nœuds, darêtes et déléments. Voir le site
Internet si intéressés. Ces relations viennent de
la théorie des graphes. Le problème est lié à la
caractéristique dEuler-Poincaré en géométrie
différentielle.
64
La géométrie des arêtes est facile à programmer
65
La géométrie des triangles est facile à programmer
Le déterminant
est égal au double de laire.
On utilise souvent les coordonnées affines
Note 2S D z1 z2 z3
66
Introduction de la géométrie
Profiter des symétries pour réduire la taille du
problème !
Conseil placer lorigine des coordonnées sur
laxe de symétrie.
67
Eléments en B ou A
On sintéresse au cas où le champ B vérifie
exactement les équations de Maxwell. Le cas le
plus simple est celui où le champ B est uniforme
sur chaque élément (éléments de Whitney).
Inconvénient il faut subdiviser plus finement
pour une précision donnée, et les graphes sont
moins élégants.
68
Eléments de faces Les variables indépendantes
sont les flux à travers les faces satisfaire
les conditions aux limites est facile. Problème
il faut imposer sur chaque élément une contrainte
F1 F2 F3 0 Chaque flux influence deux
triangles chaque élément fini est donc formé de
deux triangles.
La contribution dun flux au champ est simplement
69
Eléments de nodaux A deux dimensions, le
potentiel vecteur na quune composante. Si on
prend comme variables indépendantes les valeurs
de ce potentiel aux nœuds, il ny a pas de
contraintes à ajouter. Chaque potentiel influence
le champ dans tous les triangles qui ont ce nœud
comme sommet lélément fini est donc un
polygone. Sur chaque triangle, le potentiel A est
un polynôme dordre 1.
Le lien entre un des potentiels et le champ est
du type
70
Eléments finis en H
Eléments darête Les variables indépendantes sont
les circulations du champ H sur les côtés. Chaque
circulation influence le champ dans deux
triangles. Lélément fini est donc formé de deux
triangles.
Linfluence dune des variables sur le champ est
décrite ci-dessous (formules sur le site Internet
si intéressés)
Il y a une contrainte la somme des trois
circulations correspond au courant qui traverse
le triangle !
71
Mise en équations
Avec les logiciels commerciaux, seul un volet des
équations dévolution est satisfait exactement,
ainsi que les relations constitutives. Le calcul
est fait en supposant ces relations
linéaires. Les équations sont obtenues par un
principe variationnel, mais ce principe nest pas
utilisé dans le calcul numérique. On a un grand
système déquations linéaires que lon résout par
itération. Dans le cas non linéaire, on procède
par itérations successives en résolvant un
problème linéaire à chaque pas. Pour tester la
précision, on doit refaire tout le calcul en
affinant le maillage et on vérifie que les champs
ou une grandeur énergétique (pas nécessairement
définie en accord avec la physique) changent
peu. Il y a donc trois itérations imbriquées
lune dans lautre. On pourrait arriver à un
meilleur contrôle de la précision en utilisant
les deux volets déquations dévolution et le
ligurien.