Teori

1

• Teori
• Peluang Diskrit

2
Peluang Diskrit

• Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu
  eksperimen tidak memiliki peluang yang sama?
• Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan
  setiap keluaran s?S, di mana S adalah ruang
  sampel, yang memenuhi dua syarat
• (1) 0 ? p(s) ? 1 untuk setiap s?S, dan
• (2) ?s?S p(s) 1
• Artinya, bahwa
• (1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan
• (2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin
  dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat
  eksperimen dilakukan, satu dari keluaran
  tersebut dijamin akan terjadi.
• Fungsi p S ? 0,1 dinamakan distribusi peluang.

3
Bagaimana peluang p(s) diperoleh?

• Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan
• Setelah kita mengetahui p(s) untuk setiap s,
  peluang dari suatu kejadian E dapat dihitung
  sebagai berikut.
• p(E) ?s?E p(s)

4
Contoh

• Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga
  muncul dua kali lebih sering dari angka-angka
  lainnya.
• (a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang
  mungkin?
• (b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan
  muncul ketika dadu tersebut digulingkan?
• Solusi.
• (a) Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1, , s6.
• p(s1) p(s2) p(s4) p(s5) p(s6)
• p(s3) 2p(s1)
• Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah
  sama dengan 1, maka 5p(s1) 2p(s1) 1 dan
• 7p(s1) 1
• Jadi, p(s1) p(s2) p(s4) p(s5) p(s6)
  1/7,
• p(s3) 2/7

5

• (b)
• Eganjil s1, s3, s5
• Ingat rumus p(E) ?s?E p(s).
• Maka,
• p(Eganjil) ?s?Eganjil p(s) p(s1) p(s3)
  p(s5)
• 1/7 2/7 1/7
• 4/7

6
Distribusi Uniform

• Misalkan S himpunan dengan n anggota.
• Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada
  setiap anggota S.
• Note sama dengan definisi Laplace.
• Eksperimen yang memilih anggota dari suatu ruang
  sampel S dengan menggunakan distribusi uniform
  dikatakan sebagai memilih anggota dari S secara
  acak.

7
Kombinasi Kejadian

• Teorema.
• Jika E1, E2, adalah barisan kejadian yang
  saling bebas dalam ruang sampel S, maka

8
Contoh

• Misalkan kelahiran anak laki-laki dan perempuan
  adalah kejadian yang saling bebas. Carilah
  peluang bahwa suatu keluarga dengan 5 anak tidak
  mempunyai anak laki-laki, jika
• (a) kelahiran anak laki-laki dan perempuan
  memiliki kemungkinan yang sama.
• (b) peluang kelahiran anak laki-laki adalah
  0,51.
• (c) peluang bahwa anak ke-i laki-laki adalah
• 0,51 (i/100).

9
Peluang Kondisional

• Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali, dan
  kedelapan keluaran memiliki kemungkinan yang
  sama.
• Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu
  pelemparan pertama menghasilkan muka, terjadi.
• Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka
  akan muncul sejumlah ganjil?
• Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka
  keluaran yang mungkin adalah
• MMM, MMB, MBM, dan MBB.
• Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi
  sebanyak dua kali.
• Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah
  0.5.
• Ini dinamakan peluang kondisional.

10
Peluang Kondisional (2)

• Untuk memperoleh peluang kondisional dari
  kejadian E diberikan F, digunakan
• (a) F sebagai ruang sampel, dan
• (b) setiap keluaran dari E yang muncul harus
  juga berada dalam E ? F.
• Definisi.
• Misalkan E dan F kejadian dengan p(F) gt
  0.Peluang kondisional dari E diberikan F,
  dinotasikan oleh p(E F), didefinisikan sebagai
• p(E F) p(E ? F)/p(F)

11
Contoh

• Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara
  acak sehingga setiap 16 string dengan panjang 4
  memiliki kemungkinan yang sama.
• Berapakah peluang string memuat paling sedikit
  dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit
  pertamanya adalah 0 ?
• Solusi.
• Misalkan E kejadian bahwa string memuat paling
  sedikit dua angka 0 yang berurutan.
• F kejadian bahwa bit pertama dari string
  adalah 0.
• E ? F 0000, 0001, 0010, 0011, 0100
• p(E ? F) 5/16
• p(F) 8/16 1/2
• p(E F) (5/16)/(1/2) 10/16 5/8 0.625

12
Soal

• Anda menarik 23 kartu satu per satu tanpa ada
  penggantian, secara acak dari satu set yang
  terdiri dari 52 kartu. Carilah
• (a) p(kartu kedua Jack kartu pertama Jack).
• (b) p(kartu kedua merah kartu pertama hitam).
• Solusi.
• (a) Jika kartu pertama Jack, maka terdapat tiga
  kartu Jack lainnya dalam sisa 51 kartu. Jadi
  peluangnya adalah 3/51.
• (b) Jika kartu pertama hitam, maka tetap terdapat
  26 kartu merah dari 51 kartu yang tersisa. Jadi
  peluangnya adalah 26/51.

13
Independensi

• Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga
  kali.
• Apakah peluang kejadian E (muka muncul sejumlah
  ganjil) bergantung pada kemunculan kejadian F
  (pada pelemparan pertama muncul muka) ?
• Dengan kata lain, apakah p(E F) p(E)?
• Ternyata p(E F) 0.5 and p(E) 0.5.
• Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai kejadian
  yang saling bebas.

14
Independensi (2)

• Karena p(E F) p(E ? F)/p(F),
• p(E F) p(E) ? p(E ? F) p(E)p(F).
• Definisi.
• Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika
  dan hanya jika p(E ? F) p(E)p(F).
• Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F.
• Jika p(E ? F) p(E)p(F), maka p(F E) p(F).

15
Contoh

• Suatu string biner dengan panjang empat dibangun
  secara random.
• Misalkan E kejadian string biner tersebut
  diawali dengan 1
• F kejadian string biner tersebut mengandung
  sejumlah genap 0.
• Apakah E dan F saling bebas?
• Solusi.
• Jelas, p(E) p(F) 0.5.
• E ? F 1111, 1001, 1010, 1100
• p(E ? F) 0.25, sehingga p(E ? F) p(E)p(F)
• Jadi, E dan F saling bebas.

16
Contoh

• Misalkan E kejadian di mana suatu keluarga
  dengan 3 anak mempunyai anak laki-laki dan
  perempuan dan F kejadian di mana suatu keluarga
  dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1 anak
  laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?
• Asumsikan bahwa kedelapan cara suatu keluarga
  memiliki 3 anak mempunyai peluang kejadian yang
  sama.
• Solusi.
• Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL,
  dan PPP masing-masing mempunyai peluang terjadi
  1/8.
• Karena E LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL,
• F LPP,PLP,PPL,PPP, dan E ? F LPP,PLP,PPL,
  maka
• p(E) 6/8, p(F) 4/8, dan p(E ? F) 3/8.
• Akibatnya, p(E ? F) p(E)p(F)
• Jadi, E dan F saling bebas.

17
Soal

• Anda menulis string dengan panjang tiga dari
  alfabet, di mana tidak diperbolehkan pengulangan
  huruf.
• Misalkan E1 adalah kejadian bahwa string dimulai
  dengan vokal dan E2 adalah kejadian bahwa string
  diakhiri dengan vokal.
• Tentukan apakah E1 dan E2 saling bebas.

18
Solusi

• Ruang sampel berukuran 26.25.24.
• Kejadian E1 memuat semua string dengan tempat
  pertama diisi oleh vokal, maka E1 5.25.24
• Dengan cara yang sama, E2 25.24.5
• Jadi,

E1 ? E2 memuat semua string dengan panjang tiga
dengan tempat pertama dan terakhir diisi dengan
vokal, maka E1 ? E2 5.24.4 Akibatnya,
Jadi, kejadian-kejadian tersebut tidak saling
bebas.
19
Percobaan Bernoulli

• Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua
  keluaran yang mungkin.
• Contoh. pelemparan sebuah koin.
• Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian
  disebut percobaan Bernoulli.
• Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi
  disebut kesuksesan atau kegagalan.
• Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal,
  jelas
• p q 1.

20
Percobaan Bernoulli (2)

• Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya
  tepat k sukses ketika suatu eksperimen terdiri
  dari n percobaan Berboulli yang saling bebas.
• Contoh. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang
  muncul muka adalah 2/3. Apakah peluang dari tepat
  empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan
  sebanyak tujuh kali?

21
Solusi

• Terdapat 27 128 keluaran yang mungkin.
• Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di
  antara tujuh pelemparan adalah C(7, 4).
• Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas,
  maka peluang untuk masing-masing dari keluaran
  tadi adalah (2/3)4(1/3)3.
• Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka
  adalah
• C(7, 4)(2/3)4(1/3)3 560/2187

22
Teorema Bernoulli

• Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang
  saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang
  gagal q 1 p, adalah
• C(n, k) pk qn-k.

Ini dinotasikan dengan b(k n, p). Jika b
dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan
sebagai distribusi binomial.
23
Ilustrasi dari bukti Teorema

• Misalkan S sukses dan F gagal, dengan
  peluang sukses p dan peluang gagal q 1 p.
• Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima
  percobaan Bernoulli yang saling bebas?
• Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin
• SSFFF
• Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?

24
Ilustrasi dari bukti Teorema (2)
Barisan Peluang
S
S
F
F
F
p
?p
?q
?q
?q
p2q3
Suatu barisan lain yang mungkin
Barisan Peluang
F
S
F
S
F
q
?p
?q
?p
?q
p2q3

• Setiap barisan dengan dua sukses dalam dua
  percobaan terjadi dengan peluang p2q3.

25
Ilustrasi dari bukti Teorema (3)

• Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin?
  Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih
  dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek?
• Ada C(5, 2) 10 cara, sehingga terdapat 10
  barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi
  dengan peluang p2q3.
• Maka, peluang salah satu dari barisan tersebut
  muncul pada saat melakukan lima percobaan
  Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3.
• Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan
  Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) pk qn-k.

26
Soal

• Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut.
  Carilah
• (a) p(muncul tepat empat angka 1).
• (b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).

27
Solusi

• (a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan
  enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di
  mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal
  5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka
  1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah

• (b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan
  angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan
  gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya
  1/6.
• Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada
  saat dadu dilemparkan 6 kali adalah

28
Variabel acak

• Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan
  nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin
  untuk memungkinkan analisa matematis dari
  eksperimen tersebut.
• Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak.
• Definisi.
• Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang
  sampel dari suatu eksperimen ke himpunan
  bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan
  suatu bilangan real tertentu pada setiap keluaran
  yang mungkin.
• Catatan.
• Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel.
• Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi
  memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan
  real secara terdefinisi dengan baik.

29
Contoh
X(ibujari,ibujari)
0
X(ibujari,kelingking)
-1

• Misalkan X adalah hasil permainan suit.
• Jika pemain A memilih jari a dan B memilih jari
  b, maka
• 1, jika A menang,
• X(a,b) 0, jika A dan B memilih jari yang
  sama,
• -1, jika B menang.

X(ibujari,telunjuk)
1
X(kelingking,ibujari)
1
X(kelingking,kelingking)
0
X(kelingking,telunjuk)
-1
X(telunjuk,ibujari)
-1
X(telunjuk,kelingking)
1
X(telunjuk,telunjuk)
0
30
The Birthday Problem

• Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan
  sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara
  mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama
  adalah lebih besar dari ½?

31
The Birthday Problem (2)

• n jumlah orang
• pn peluang bahwa setiap orang mempunyai tanggal
  ulang tahun yang berbeda.
• Maka
• Dan
• 1 pn 0,5 jika n 23

32
Soal-soal

• Latihan 5.1.5
• Berapakah peluang munculnya jumlah genap pada
  saat dua dadu dilemparkan?
• Latihan 5.1.17
• Berapakah peluang memperoleh lima buah kartu
  memuat kartu-kartu sejenis yang berurutan?
• Latihan 5.1.21
• Berapakah peluang bahwa sebuah dadu yang
  dilemparkan 6 kali tidak pernah memunculkan angka
  genap?

33
Soal-soal

• Latihan 5.1.23
• Berapakah peluang bahwa suatu bilangan bulat
  positif tidak melebihi 100 yang dipilih secara
  acak habis dibagi 5 dan 7?
• Latihan 5.1.31
• Terdapat 100 orang yang mengikuti suatu acara
  dan Ani salah seorang di antaranya. Dia acara
  tersebut disediakan 3 buah doorprize yang
  pemilihan pemenangnya dilakukan secara acak.
  Berapakah peluang Ani untuk memenangkan satu dari
  ketiga hadiah tersebut?
• Latihan 5.1.21
• Manakah yang lebih mungkin terjadi memperoleh
  jumlah 9 pada saat melemparkan dua dadu atau
  memperoleh jumlah 9 pada saat melemparkan tiga
  dadu ?

34
Soal-soal

• Latihan 5.2.3
• Carilah peluang kemunculan setiap keluaran pada
  saat pelemparan suatu dadu yang dimodifikasi
  peluang kemunculan 2 atau 4 adalah tiga kali
  lebih besar dari kemunculan empat angka lainnya
  dan peluang kemunculan 2 dan 4 sama besar.
• Latihan 5.2.23
• Berapakah peluang bersyarat bahwa tepat empat
  muka muncul pada saat suatu koin dilemparkan lima
  kali, jika pelemparan pertama memberikan muka?
• Latihan 5.2.27.a
• Misalkan E kejadian di mana suatu keluarga
  dengan 2 anak mempunyai anak laki-laki dan
  perempuan dan F kejadian di mana suatu keluarga
  dengan 2 anak mempunyai paling banyak 1 anak
  laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?