Title: Corso di Fisica B
1Corso di Fisica B C.S. Chimica
- Si consideri un circuito contenente un
condensatore C ed uninduttanza L connessi in
serie. Lequazione del circuito può essere
ricavata in due modi. Dal punto di vista della
legge di Kirchhoff (delle maglie), la d.d.p. ai
capi del condensatore vale VC q / C mentre la
d.d.p. ai capi dellinduttanza vale VL - L di /
dt. Non essendoci generatori, la legge di
Kirchhoff si può scrivere - VC VL 0 cioè
cioè Dal punto
di vista energetico, invece, - Lenergia totale del circuito è costante e pari a
U UC UL cioè, sostituendo - Derivando tale formula, si ottiene
esattamente come sopra. - Unequazione di questo tipo è analoga a quella
del moto armonico oscillante e può essere scritta
come - la cui soluzione è
e dove
è chiamata frequenza - caratteristica del circuito. La corrente vale
invece
Derivando e sostituendo, si ottiene per le
energie Per cui lenergia totale, che si
conserva, si ridistribuisce ogni periodo nel
condensatore e nellinduttanza.
2Carica, corrente, energia nel circuito LC
- (a) Condensatore completamente carico, i0
- (b) Condensatore in scarica, i aumenta
- (c) Condensatore completamente scarico, iimax
- (d) Condensatore in carica, i diminuisce
- (e) Condensatore completamente carico ma con
polarità opposta rispetto ad (a), i0 - (f) Condensatore in scarica, i aumenta ma nel
verso opposto rispetto a (b) - (g) Condensatore completamente scarico, iimax
- (h) Condensatore in carica, i diminuisce
3Analogia elettricità - meccanica
- Il circuito oscillante LC ha una stretta analogia
con loscillatore meccanico studiato in
meccanica. Lequazione dellenergia
delloscillatore meccanico può essere scritta
come -
che derivando si riduce a - la cui soluzione è formalmente analoga a quella
vista per la carica nel circuito LC, salvo una
diversa definizione della pulsazione w. Anche
nelloscillatore meccanico, pertanto, avviene
loscillazione dellenergia tra lenergia
potenziale insita nel blocco e lenergia
potenziale della molla.
4Oscillazioni smorzate in un circuito RLC
- Linserzione di una resistenza R in serie ad un
circuito LC ha come conseguenza che lenergia
elettromagnetica totale non è più costante,
poiché vi è una perdita di energia per effetto
Joule nella resistenza stessa. Questo si può
vedere osservando in un oscilloscopio la curva
della corrente in un
circuito RLC serie. Ricordando che la potenza
dissipata in una resistenza vale i2R, lequazione
di conservazione dellenergia può essere scritta
nella forma o ancora, dopo qualche
passaggio la cui soluzione è scrivibile come
Tale espressione descrive un moto oscillatorio
(cos) smorzato (exp). Lenergia elettromagnetica
nel condensatore può essere scritta come
cioè lampiezza delle oscillazioni decresce
esponenzialmente
nel tempo. La
frequenza delle oscillazioni smorzate è wltw
minore di quella del caso senza
resistenza.
5La corrente alternata
- Si consideri una spira rotante con velocità
angolare costante w di sezione A immersa nel
campo magnetico B. Langolo q tra la direzione
del campo magnetico e la normale alla spira (che
è anche la direzione del momento magnetico m)
varia nel tempo come q w t per cui il flusso
del campo magnetico attraverso la spira vale - Pertanto, la f.e.m. originata dalla variazione
temporale del flusso del campo magnetico è - Nel caso invece di una spira vi sia una bobina
con N spire, la f.e.m. diventa - E se il circuito è connesso ad un utilizzatore
con carico R, la corrente e la potenza possono
essere espresse come
6Circuito resistivo sotto f.e.m. alternata
- La legge di Kirchhoff dice che
- E vR 0
- dove la tensione alternata forzante del circuito
vale - E Em sin wgt
- il che porta a scrivere ovviamente
- vR Em sin wgt
- che può essere scritto come
- vR VR sin wgt con VR Em.
- La corrente che fluisce nel circuito, per
definizione di resistenza, vale - iR IR sin wgt con VR IR R
- Questa equazione stabilisce che, in un circuito
puramente resistivo, la corrente ha la stessa
fase della tensione applicata. - Le grandezze variabili tensione vR e corrente iR
possono essere rappresentate graficamente con il
metodo dei fasori (fasore vettore di fase
rotante attorno allorigine). - Langolo di rotazione rispetto allasse x
fornisce unindicazione della fase (wgt). La
lunghezza del fasore rappresenta lampiezza (VR o
IR), mentre la sua proiezione sullasse verticale
rappresenta il valore della grandezza al tempo t.
- Il fatto che la corrente ha la stessa fase della
tensione applicata è intuibile osservando che i
due vettori tensione e corrente sono sovrapposti.
7Circuito capacitivo sotto f.e.m. alternata
La legge di Kirchhoff dice che E vC 0
dove E Em sin wgt il che porta a scrivere
ovviamente vC VC sin wgt con VC Em. La
carica sulle armature del condensatore, per
definizione di capacità C, è qC C vC C VC
sin wgt La corrente nel circuito è la derivata di
qC, cioè iC dqC / dt wg C VC cos wgt VC /
XC sin (wgt 90) con
ed anche VC XC IC dove XC è
chiamata reattanza capacitiva del
condensatore. Si noti che la reattanza
capacitiva, grandezza che ha le dimensioni di una
resistenza, dipende non soltanto da C ma anche da
w. Questa equazione stabilisce che, in un
circuito puramente capacitivo, la corrente e la
tensione sono sfasate di 90. In particolare, la
corrente è in anticipo di fase di un quarto di
periodo. Questo fatto è visibile osservando che
il fasore della corrente è spostato di 90 verso
sinistra (in anticipo) rispetto al fasore della
tensione.
8Circuito induttivo sotto f.e.m. alternata
La legge di Kirchhoff dice che E vL 0
dove E Em sin wgt il che porta a scrivere
ovviamente vL VL sin wgt con VL Em. La
tensione ai capi di uninduttanza è data dalla
legge di Lenz E combinando tali equazioni si
ottiene Introducendo la reattanza induttiva
dellinduttanza XL wg L si ha
VL XL IL e la corrente può essere
espressa come iL VL / XL sin (wg t - 90) Si
noti che anche la reattanza induttiva ha le
dimensioni di una resistenza e dipende non
soltanto da L ma anche da w. Questa equazione
stabilisce che, in un circuito puramente
induttivo, la corrente e la tensione sono sfasate
di 90. In particolare, la corrente è in ritardo
di fase di un quarto di periodo. Questo fatto è
visibile osservando che il fasore della corrente
è spostato di 90 verso destra (in ritardo)
rispetto al fasore della tensione.
9Circuito RLC serie sotto f.e.m. alternata
- Si consideri ora un circuito RLC serie forzato da
una tensione alternata (sinusoidale) E Em sin
wgt. Si ipotizzi che la corrente risultante possa
essere messa nella forma i I sin (wgt -
f) . Osservando i tre fasori, si nota come i
fasori VC e VL giacciano sulla stessa direzione,
ortogonale a quella di VR, per cui, dal punto di
vista dei fasori, si ha - Em2 VR2 (VL - VC )2
e, sostituendo i valori delle ampiezze delle
d.d.p., si ottiene Em2 (I R)2
(I XL - I XC )2 cioè
dove
è chiamata
impedenza. Per quanto riguarda langolo
di sfasamento f, osservando i fasori si intuisce
che
10Sfasamenti e risonanza
- A seconda dei valori delle reattanze si hanno
alcuni casi particolari. - Se XL gt XC il circuito è prevalentemente
induttivo ? la corrente è in ritardo di fase
rispetto alla tensione - Se XC gt XL il circuito è prevalentemente
capacitivo ? la corrente è in anticipo di fase
rispetto alla tensione - Se XL XC il circuito è detto in risonanza e
f0. In queste condizioni è come se L e C non ci
fossero ed inoltre si ha
11La potenza nei circuiti a corrente alternata
- Nota la corrente in un circuito RLC i I sin
(wgt - f) , la potenza istantanea dissipata sulla
resistenza può essere calcolata come - P i2 R I2 R sin2 (wgt - f)
- Risulta tuttavia più utile avere unespressione
della potenza media, cioè integrata mediando nel
tempo tale equazione (almeno su un periodo). - Si ha
- dove la grandezza Iqm è definita valore
quadratico medio della corrente. - Allo stesso modo sono definibili i valori
quadratici medi delle altre grandezze, e si ha - Gli amperometri ed i voltmetri sono in genere
tarati per misurare i valori quadratici medi. Ad
esempio, il valore di 220 volt per la tensione di
rete è un valore quadratico medio.
Inoltre, si può ricavare la seguente
relazione La variabile cos f è detta fattore
di potenza. Dal punto di vista dellutilizzatore
del circuito (la resistenza R), la potenza è
massima se cos f 1 cioè se Z R (circuito
in condizioni di risonanza). Si noti che
12I trasformatori
- In un circuito puramente resistivo la potenza
fornita dal generatore vale P V I E I
e quella dissipata nella resistenza vale
(valori q.m.) P R I2 - Si vede come la potenza dissipata vari con il
quadrato della corrente. Un circuito efficiente
deve quindi trasportare un segnale elettrico a
bassa corrente ed alta tensione. - Gli strumenti che variano a parità di potenza
tensione e corrente sono i trasformatori
elettrici. Essi non hanno parti mobili ed operano
grazie alla legge dellinduzione di Faraday.
Un trasformatore consiste in due bobine con un
diverso numero di spire Np e Ns (di resistenza
trascurabile) avvolte sullo stesso nucleo di Fe.
Lavvolgimento connesso al generatore è detto
primario, mentre laltro, connesso al circuito
utilizzatore, è detto secondario. Se il tasto S è
aperto, i due circuiti sono per ipotesi puramente
induttivi, per cui nel primario la corrente è in
ritardo rispetto a Vp di 90, e
cosf1. Allinterno del nucleo di Fe la legge
dellinduzione di Faraday prevede che e quindi
la relazione tra le due d.d.p. vale
Se Np gt Ns il trasformatore è detto riduttore,
mentre se Ns gt Np è detto elevatore. Connettendo
il secondario al carico R, nel secondario circola
una corrente alternata Is e su R viene dissipata
la potenza Ps R Is2 La corrente Is induce
nel primario una d.d.p. che lo costringe a
generare una corrente alternata Ip per mantenere
costante la tensione Vp Essendo Ip Vp Is Vs
si ha che la relazione tra le correnti è
da cui si ottiene
e finalmente
è quella vista dal primario.