Corso di Chimica Fisica II

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• Corso di Chimica Fisica II
• 2011
• Prof. Marina Brustolon

6. La particella nella scatola
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La particella nella scatola
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Una scatola monodimensionale

• Consideriamo il moto lungo x di una particella di
  massa m costretta in una scatola fatta in
  questo modo

Come sarà la sua funzione donda?
Dentro la scatola il potenziale è zero V0
x
0
L
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• Dentro la scatola le condizioni del moto sono
  come quelle della particella libera quindi, le
  autofunzioni e gli autovalori saranno della forma

Riscriviamo la soluzione generale come
dove A e B sono costanti.
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Non tutte le funzioni possono descrivere uno
stato fisico reale!
Come abbiamo già visto ci sono funzioni che non
possono essere funzioni donda perché non
rappresentano stati fisici possibili.
La funzione è discontinua
La sua pendenza è discontinua
Non è a valore singolo
E infinita in una regione finita
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Le condizioni al contorno

• Non tutte le funzioni della famiglia di
  autofunzioni dellHamiltoniano della particella
  libera sono funzioni accettabili per la
  particella nella scatola. Vediamo perché.

Riscriviamo leq. di Schroedinger così
Ora occupiamoci delle funzioni donda per la
particella fuori dalla buca. Fingiamo che
inizialmente il potenziale fuori della scatola
non sia infinito, ma molto grande. Avremo allora
(V-E) gt 0 al di fuori della buca.
In questo caso, la curvatura della funzione
sarebbe negativa, se ?(x) è positiva, o positiva,
se ?(x) è negativa. Ma quello che importa è che
la curvatura resterebbe sempre dello stesso segno
allontanandosi dalla scatola, e quindi la ?
continuerebbe a crescere, tendendo a ?, o a
decrescere, tendendo a - ?. Una funzione di
questo genere sarebbe inaccettabile, cioè non
potrebbe rappresentare uno stato reale della
particella.
Qual è lunica conclusione possibile?
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Se non può essere ?(x) gt 0, né ?(x) lt 0, allora
deve essere ?(x)0 !
Ecco quindi le due condizioni al contorno
?(0) 0, ?(L) 0
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Leffetto delle condizioni al contorno
?(0) 0 ?(L) 0
Quindi deve essere B0
solo se k L n ? con n 1 ,2,. . .
Quindi, le due condizioni al contorno hanno
limitato le funzioni compatibili a quelle della
forma
Non sono più possibili tutte le energie!!
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Le energie permesse
Notate che per la particella libera tutte le
energie erano permesse, perché non cerano
restrizioni la particella libera può avere
qualsiasi energia cinetica (si è visto che per
esempio lelettrone viene accelerato inizialmente
da una differenza di potenziale, che può essere
scelta arbitrariamente).
Viceversa, per la particella nella scatola le
condizioni al contorno impongono restrizioni alle
funzioni donda e quindi allenergia, che è ora
quantizzata. Appare per la prima volta un numero
quantico, che è il numero intero n 1,2,3. . .
Tutti gli stati della particella dei quali ci
occuperemo dora in poi saranno stati quantici.
Questi hanno solo alcune energie permesse,
caratterizzate da uno o più numeri quantici. Il
numero di numeri quantici dipende dai gradi di
libertà del sistema.
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La forma delle autofunzioni
n1
n2
n3
n4
n5
Le funzioni vanno normalizzate! Cerchiamo il
valore di A che normalizza la funzione.
3. Si noti come, al crescere dei valori
dellenergia (che è solo cinetica) aumenti la
curvatura delle funzioni.
Perché sia
deve essere
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Le funzioni donda
E
Si usano spesso grafici in cui si fa vedere la
forma della funzione donda o il suo quadrato in
corrispondenza del rispettivo livello energetico.
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Esercizio
Osservando che la lunghezza donda delle funzioni
della particella nella scatola è uguale a 2L/n,
usare la relazione di De Broglie per ottenere
lenergia degli stati.
Lenergia è solo cinetica (V0 dentro la
scatola), quindi si può usare la relazione di De
Broglie per ottenere il momento lineare, e
calcolare lenergia cinetica
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Altre proprietà della particella nella scatola

• Come abbiamo già visto, le funzioni del tipo sin
  x non sono autofunzioni del momento lineare.
  Quindi la particella nella scatola non ha un
  valore definito del momento lineare (si può
  immaginare come unonda stazionaria, che quindi
  non corrisponde ad un moto uniforme in una
  direzione).

• Come abbiamo visto, la particella nella scatola
  non può avere energia 0. Lenergia minima, che
  corrisponde a n1, è chiamata energia del punto
  zero. Questa proprietò può essere messa in
  relazione con il principio di indeterminazione
  se lenergia fosse zero, il momento sarebbe p0,
  quindi perfettamente definito. Ma poiché
  lincertezza nella posizione della particella non
  è infinita, il momento non può essere
  perfettamente definito.

• La probabilità di trovare la particella
  quantistica in diversi punti della scatola, è
  diversa per le diverse funzioni, e diversa da
  punto a punto. Per esempio non potrà mai trovarsi
  nei punti di nodo. Si noti il diverso
  comportamento di una particella classica, che in
  una scatola potrebbe essere trovata con eguale
  probabilità ovunque.

Nel grafico è riportata la ? 40 ad alti n il
comportamento è via via più simile a quello
classico ? principio di corrispondenza.
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Ma cè qualche caso reale che assomigli alla
particella nella scatola?
Negli idrocarburi insaturi con legami ?
coniugati, gli elettroni dei legami ? sono
delocalizzati su tutta la molecola, sono cioè
mobili lungo tutta la molecola. Vediamo per
esempio la molecola del butadiene.
Gli elettroni ? sono mobili
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Esercizio
Trattando questo poliene coniugato come una
scatola per gli elettroni ?, calcolare la
differenza di energia tra il primo e il secondo
livello energetico.
Ragionamento. Gli elettroni dei legami ? si
considerano intrappolati nella scatola costituita
dai legami C-C. La distanza C-C nelle catene
coniugate è di circa 130 pm, quindi essendoci qui
7 legami, otteniamo una scatola di circa 1000 pm,
cioè 1 nm.
Primo livello, n1
Secondo livello, n2
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Immaginiamo una transizione dellelettrone dal
primo livello al secondo
n4
n3
n2
n1
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(No Transcript)
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Alcuni coloranti naturali
La scatola è molto più estesa, L è più grande, le
differenze di energia sono più piccole, la
frequenza delle transizioni elettroniche si
sposta dallUV al visibile.
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La particella nella scatola bidimensionale
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Vediamo la forma delle funzioni per la scatola
quadrata (L1L2)
Questa è la ? che corrisponde allenergia più
bassa.
E11
L1 e L2 eguali
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E12
piano nodale
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Questa funzione donda corrisponde ad unenergia
uguale alla precedente, ed è caratterizzata dai
numeri quantici 2,1.
E21
23
Questa funzione donda corrisponde ad unenergia
più alta della precedente, ed è caratterizzata
dai numeri quantici 2,2.
E22
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Particella nella scatola a pareti finite
?
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infiniti livelli ? nulla sulle pareti
livelli in numero finito (a energie più alte
lenergia è un continuo) ? simile come forma, ma
penetra nelle pareti (tunneling).
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Modo di costruire una buca quantica
(quantum well) con metodi di ingegneria su
nanoscala
Processo epitassia con fasci molecolari
AlGaAs GaAs AlGaAs
Celle effusive
Un elettrone ha meno energia in GaAs che in
AlGaAs. Può quindi essere intrappolato nella
buca, e i suoi livelli di energia diventano
quantizzati. Si creano così nuove proprietà
elettriche e ottiche, che vengono sfruttate nella
costruzione di dispositivi.