Mec

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Mecánica de Fluidos
Un fluido es un líquido o un gas. La
característica principal de un fluido es su
incapacidad para resistir fuerzas cortantes.
En mecánica de fluidos se estudia el
comportamiento de líquidos y gases, especialmente
los líquidos, en dos condiciones
Líquidos en reposo hidrostática
Líquidos en movimiento hidrodinámica
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Conceptos previos
Volumen
Este término tiene que ver con un concepto
matemático y físico a la vez. Físico región del
espacio que ocupa un cuerpo Matemático expresión
matemática que determina esa región. Se mide en
m3 o en cm3
Para determinar el volumen de un cuerpo se
necesita conocer su forma física. Para cuerpos
especiales existen fórmulas específicas
Cubo de arista a V a3
Esfera de radio R
Paralelepípedo de lados a, b y c V abc
Cilindro con base de radio R y altura h V pR2h
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Volumen de un cuerpo irregular
Si un cuerpo es irregular, una piedra por
ejemplo, no existe una fórmula matemática que
permita determinar su volumen, y si la hay de
seguro que es muy compleja
Entonces, cómo se determina su volumen?
Procedimiento
3º El incremento de volumen en el agua,
corresponde al volumen del cuerpo
1º Un vaso con agua hasta cierto nivel
2º Se coloca el cuerpo en el interior del vaso
con agua
Hay que procurar que el vaso tenga una forma
geométrica simple para determinar el volumen de
agua. Un cilindro por ejemplo.
Se marca el nivel
Se marca el nuevo nivel
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Densidad
Es una medida que representa la cantidad de
materia que hay por cada unidad de volumen de un
cuerpo
Se mide en kg/m3 o en g/m3
En general los sólidos tienen mayor densidad que
los líquidos y éstos mayor densidad que los
gases. Pero dentro de los sólidos, por ejemplo,
hay unos con más y otros con menos densidad.
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Cálculo de densidades
En general la forma más simple de determinar la
densidad de un cuerpo es dividir su masa por el
volumen que tiene
Supongamos un cuerpo cualquiera
1º Determinamos su masa
2º Se determina su volumen
3º Densidad
m
V
Peso específico
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Presión
La idea más simple que se tiene sobre presión se
relaciona con la acción de aplastar algo.
Y cuando se aplasta algo se ejerce una fuerza
sobre una región del objeto.
Si la fuerza que se ejerce sobre un objeto es F y
la región sobre la cual actúa es A, se tiene que
la presión que ejerce esa fuerza, es
La presión se mide en N/m2 y se denomina Pascal.
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Un ejercicio
Si un libro tiene una masa de 0,4 kg y su portada
mide 20 cm por 15 cm y está apoyado sobre una
mesa. El peso del libro ejerce una presión sobre
la mesa.
Peso del libro W mg 0,4 kgx 9,8
m/s2 3,92 N
Presión
A
Área de contacto A ab 0,2 m x 0,15
m 0,3 m2
W
P
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Otro ejercicio
Sobre el suelo hay un bloque de aluminio, de
medidas 20 cm de alto, 30 cm de ancho y 40 cm de
largo. Qué presión ejerce sobre el suelo?
Área de contacto A bc 0,3mx0,4m A
0,12 m2
A
Volumen del bloque V abc 0,2
mx0,3mx0,4m V 0,024 m3
La fuerza que actúa sobre el área de contacto, es
el peso del bloque
Presión
P
F
V abc m ?V
9
Hidrostática
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Presión atmosférica
Es la presión que el aire ejerce sobre la
superficie terrestre.
Cuando se mide la presión atmosférica, se está
midiendo la presión que ejerce el peso de una
columna de aire sobre 1 m2 de área en la
superficie terrestre.
La presión atmosférica en la superficie de la
Tierra es P 101.325 Pa y se aproxima a P
1,013X105 Pa
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Experimento de Torricelli
En 1643, Evangelista Torricelli, hizo el
siguiente experimento Llenó un tubo de vidrio,
de 1 m de longitud, con mercurio (plata
viva). Tapó el extremo abierto y luego lo dio
vuelta en una vasija. El mercurio empezó a
descender pero se estabilizó en el momento que la
columna medía 76 cm.
P0
El peso de la columna de mercurio ejerce presión
en el nivel en que quedó el mercurio vaciado, y
esa presión, para lograr la estabilización, se
equilibra con la presión a que está sometido el
mercurio por fuera del tubo.
Esa presión, la de fuera del tubo, es la presión
atmosférica, cuyo símbolo es P0.
Entonces, se tendrá que esa presión es
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Presión en un líquido
Sumergirse en una piscina o en el mar o en un
lago puede ser entretenido, pero también puede
ser una experiencia dolorosa e incómoda.
Lo que ocurre es que a medida que uno se sumerge
empieza a soportar el peso del agua que va
quedando sobre uno, y eso constituye la idea de
presión.
La presión aumenta a medida que la profundidad
aumenta. Veamos lo siguiente
P0
Supongamos que se está en el agua, mar o piscina
o lo que sea. Podría ser otro líquido también (de
densidad ?).
h
P
A nivel de la superficie existe la presión
atmosférica P0 y a una profundidad h la presión
es P.
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Presión en un líquido
Como ya se mencionó, en la superficie está
actuando la presión atmosférica P0.
Si la columna de agua tiene un volumen V Ah y
densidad ?, entonces se tendrá que la presión en
la base inferior de la columna de agua, es
Y a una profundidad h, bajo una columna de
líquido de volumen V, en forma de cilindro de
base A, se tendrá una presión P.
P0
h
A
P
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Principio de Pascal
La presión aplicada a un fluido encerrado es
transmitida sin disminución alguna a todos los
puntos del fluido y a las paredes del recipiente
que lo contiene.
En la figura que se muestra un líquido confinado
en un recipiente y en un costado hay un sistema
similar al de una jeringa.
Si empujamos el pistón con una fuerza F,
ejerceremos una presión P sobre el líquido que
está al interior del recipiente.
P
P
P
P
P
P
F
P
P
Y esa presión se transmite a todos los puntos del
fluido y también a las paredes del recipiente.
P
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Prensa hidráulica
Es un dispositivo que se aprovecha del Principio
de Pascal para su funcionamiento.
La siguiente figura nos muestra un recipiente que
contiene un líquido y en ambos extremos está
cerrado por émbolos. Cada extremo tiene diferente
área.
F1
F2
Si ejercemos una fuerza F1 en el émbolo más
pequeño, esa fuerza actuará sobre un área A1 y se
estará aplicando una presión P1 sobre el líquido.
A1
P1
A2
P2
Esa presión se transmitirá a través del líquido y
actuará como P2 - sobre el émbolo más grande,
de área A2, y se traducirá en la aplicación de
una fuerza F2.
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Prensa hidráulica
De acuerdo al Principio de Pascal, la presión P1
y la presión P2 son iguales.
P1 P2
Y, como
F1
F2
Se tendrá
A1
P1
A2
P2
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Ejemplos de prensas hidráulicas
Son prensas hidráulicas, o máquinas hidráulicas
en general, algunos sistemas para elevar
vehículos (gata hidráulica), frenos de vehículos,
asientos de dentistas y otros.
Silla de dentista
Prensa hecha con jeringas
Gata hidráulica
Retroexcavadora
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Un ejercicio
De la situación se tiene
Supongamos que se desea levantar un automóvil, de
masa m 1.200 kg, con una gata hidráulica, tal
como se muestra en la figura. Qué fuerza F1 se
deberá aplicar en el émbolo más pequeño, de área
10 cm2, para levantarlo? Suponga que el área del
émbolo más grande es 200 cm2.
Y como F2 tiene que al menos ser igual al peso
del automóvil, se tendrá
F2 mg
Por lo tanto, se tiene la igualdad
F1
F2
Y, despejando
A1
Y, reemplazando
P1
A2
P2
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Medición de la presión
Antes, una aclaración conceptual
Se llama presión absoluta a la expresión
P P0 ?gh
Y se llama presión manométrica a la expresión
P P0 ?gh
El manómetro mide la presión absoluta y también
la manométrica.
Si es de tubo cerrado mide la presión manométrica.
Si es de tubo abierto mide la presión absoluta.
La presión atmosférica se mide con el
barómetro. Es un manómetro de tubo cerrado que se
expone a la atmósfera.
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Principio de Arquímedes
Un cuerpo sumergido, total o parcialmente, en un
fluido, es empujado hacia arriba por una fuerza
igual en magnitud al peso del volumen del fluido
que desaloja.
B
Esto representa al volumen del fluido que fue
desalojado por el cuerpo. Y su peso es
mg ?Vg
Donde ? es la densidad del fluido y V el volumen
desplazado.
Por lo tanto
B ?Vg
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Fuerza de empuje
La fuerza B ?Vg se conoce como Fuerza de
Empuje o Fuerza de flotación.
B
Si un cuerpo de masa m se introduce un fluido
quedará sujeto a dos fuerzas verticales el peso
del cuerpo y la fuerza de empuje.
mg
Y pueden ocurrir tres situaciones
1.- Que el peso del cuerpo sea de mayor medida
que la fuerza de empuje.
Conclusiones
1.- Si mg gt B, entonces el cuerpo se hunde.
2.- Que el peso del cuerpo sea de igual medida
que la fuerza de empuje.
2.- Si mg B, entonces el cuerpo flota total o
parcialmente en el fluido.
3.- Que el peso del cuerpo sea de menor medida
que la fuerza de empuje.
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Peso aparente
Como se mencionó recientemente, cuando un cuerpo
está dentro de un fluido está afectado por dos
fuerzas el peso gravitacional y la fuerza de
empuje. Como ambas fuerzas actúan sobre el
cuerpo, entonces se pueden sumar o restar.
B
Se llama peso aparente a la relación
Wa mg - B
mg
Situaciones concretas
Un globo aerostático se eleva porque la fuerza de
empuje que le afecta es mayor que su peso
gravitacional.
Cuando estamos sumergidos en el agua nos sentimos
más livianos, y las cosas que tomamos bajo el
agua también las sentimos más livianas.
En estricto rigor El peso que nos medimos en
una balanza qué es peso gravitacional o peso
aparente?
Lo anterior ocurre porque el peso que sentimos,
no es el peso gravitacional, es el peso aparente.
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Flotación de barcos
Parece capcioso preguntar por qué un barco flota
a pesar que es de metal y el metal tiene mayor
densidad que el agua?
Algo muy cierto hay en la pregunta Un cuerpo de
menor densidad que el agua siempre flotará. En
este caso se verificará que la fuerza de empuje
es mayor o igual que el peso gravitacional del
cuerpo
La densidad promedio del barco. Eso es lo que
interesa. Y esa es menor que la del agua. Su
densidad promedio se determina por
Y el volumen del barco no incluye solo el metal.
También incluye el aire en su interior.
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Y el submarino?
Un submarino se hunde o flota a discreción cómo
lo hace?
Un submarino se hunde si su peso gravitacional es
mayor que el empuje que le afecta.
Para elevarse o flotar, su peso gravitacional
debe ser menor que el empuje.
Para lograr lo anterior se inundan, con agua,
compartimientos que antes estaban vacíos. Con
ello su densidad promedio aumenta y, en
consecuencia, también aumenta su peso
gravitacional. Por lo tanto ocurrirá que mg
gtB Y el submarino se hundirá.
Esto se logra sacando el agua con que se había
inundado algunos compartimientos. Así su densidad
promedio disminuye y también su peso
gravitacional. Y cuando ocurra que B gt mg El
submarino se elevará y emergerá.
Ya que estamos en el agua. Los peces se sumergen
o se elevan en el agua inflando o desinflando su
vejiga natatoria.
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HIDROSTÁTICA
Es el estudio de los fluidos en reposo, es decir
estudia los fluidos que no presentan esfuerzo
cortante, sino, solo esfuerzos normales. En
aspectos prácticos estos estudios son útiles para
determinar fuerzas sobre objetos sumergidos,
diseñar instrumentos medidores de presión, el
desarrollo de fuerzas por transmisión de presión
como los sistemas hidráulicos, conocer
propiedades de la atmósfera y de los océanos.
PRESIÓN EN EL INTERIOR DE UN FLUIDO
Consideremos una pequeña porción del fluido con
límites imaginarios, en condiciones estáticas y
soportando presiones P1, P2 y P3 en diferentes
direcciones como se muestra en la figura. El
sistema está en equilibrio
26
Consideremos
Entonces
Ahora
PRINCIPIO DE PASCAL
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ECUACIÓN BÁSICA DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS
Es una ecuación que permite determinar el campo
de presiones dentro del fluido estacionario es
decir nos muestra como varía la presión en el
interior del fluido cuando nos desplazamos en
cada una de las tres dimensiones x, y,
z. Consideremos el elemento diferencial de masa
dm de fluido de peso específico limitado
imaginariamente por dx, dy, dz.
Recordando que
Y tratándose de un sistema en equilibrio estático
28
Como
Así también
De manera similar
finalmente
29
La ecuación anterior se puede escribir como
ECUACION BASICA DE LA HIDROSTATICA
Para un sistema como el siguiente
Integrando para puntos 1 y 2
30
De la ecuación anterior
ECUACIÓN BÁSICA EN TÉRMINOS DE CARGA
CARGA DE PRESIÓN
CARGA DE ELEVACIÓN
101,3 kPa
14,696 Psi
1atm
760 mmHg
1,033 kg/cm²
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MANOMETRÍA
Es el estudio de las presiones manométricas de un
sistema
MANÓMETRO Instrumento diseñado para medir la
presión manométrica, en su construcción se
utiliza columnas líquidas en sistemas
continuos. Los manómetros como todo sistema
hidrostático continuo basan su utilidad en la
ecuación básica de la estática de fluidos
ó
Consideremos el siguiente sistema
Para el sistema de la figura
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En la ecuación anterior puede notarse que si
partimos de A a traves de un medio continuo,
entonces si el menisco inmediato siguiente está a
un nivel mas bajo entonces h es positivo,
asimismo si el nivel del menisco inmediato está
mas alto, entonces h es negativa.
EJEMPLO
Determinar la presión manométrica en A en
kg/cm² debido a la columna de mercurio de
densidad 13,6 en el manómetro en U que se muestra
en la figura.
SOLUCIÓN
Aplicando los criterios de manometría tenemos
La presión manométrica es
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EJEMPLO
El esquema de la figura representa dos tuberías A
y B por las que circula agua, entre ellas se
conecta un manómetro de aceite de densidad 0,8.
Determine la diferencia de presión entre los ejes
de las tuberías
SOLUCIÓN Por criterios de manometría
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EJEMPLO

• El recipiente de la figura contiene dos líquidos
  A con densidad 0,72 y B con densidad 2,36.
  Determine
• La elevación de líquido en el tubo izquierdo.
• La elevación de líquido en el tubo derecho.
• La presión en el fondo del recipiente.

SOLUCIÓN

1. En el tubo de la izquierda el líquido ascenderá 2
   m de altura medido desde 0.
2. Por manometría y considerando h medida desde el
   fondo del recipiente hasta la superficie libre
   del líquido en el tubo.

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c) La presión en el fondo del recipiente se puede
determinar por manometría. La presión
manométrica será
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EJEMPLO
El recipiente de la figura contiene tres fluidos
y está acoplada a un manómetro de mercurio.
Determine la altura y de la columna de mercurio
sabiendo que la densidad del aceite es 0,82
SOLUCIÓN
Utilizando los criterios de manometría iniciando
el análisis desde donde se almacena aire
comprimido tenemos que
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FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
HORIZONTALES
PLANAS
INCLINADAS
SUPERFICIES SUMERGIDAS
CURVAS
FUERZA SOBRE SUPERFICIE PLANA
Considérese la superficie de la figura sumergida
en un líquido de peso específico
Se requiere determinar

• La fuerza hidrostática (módulo, dirección y
  sentido)
• Punto de aplicación (centro de presión) es decir
  las coordenadas (xp,yp)

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Conocemos que
Perpendicular y entrante a la superficie sumergida
Para determinar el centro de presión se utiliza
el criterio de momentos respecto a los ejes x e y
es decir, el momento total respecto a un eje que
producen las fuerzas individuales en cada punto
debe ser igual al momento respecto al mismo eje
producido por la fuerza resultante, esto es
39
Io momento de inercia respecto del eje x. IG
momento de inercia respecto a un eje paralelo al
eje x que pasa por el punto (xG , yG).
Ambos términos son positivos por lo tanto yp está
mas bajo que yG
De manera similar
Producto de inercia del área
Producto de inercia del área respecto a ejes que
pasan por (xG , yG )
40
Ejemplo
El depósito de la figura contiene agua AB es una
compuerta de 3 m x 6 m, de forma rectangular. CD
es una compuerta triangular de 4 m x 6 m C es
vértice del triángulo. Determine la fuerza
debida a la acción del agua sobre cada una de las
dos compuertas mencionadas, determine también los
correspondientes centros de presión
SOLUCIÓN
Fuerza sobre AB
41
Reemplazando datos del problema tenemos que
Horizontal de derecha a izquierda
La profundidad del centro de presión se ubicará
en
Con los datos del problema.
Medida desde la superficie libre del líquido
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Fuerza sobre CD
Con los datos del problema
45º por debajo de la horizontal
Medida sobre la superficie que contiene a la
compuerta
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EJEMPLO
El recipiente de la figura presenta una compuerta
AB de 1,20 m de ancho articulada en A. La lectura
del manómetro G es 0,15 kg/cm² . El depósito de
la derecha contiene aceite de densidad 0,75. Que
fuerza horizontal debe aplicarse en B para que la
compuerta se mantenga en equilibrio en posición
vertical?
SOLUCIÓN
Se debe evaluar en primer lugar la fuerza que la
presión de cada líquido ejerce sobre la compuerta
para luego evaluar el equilibrio de la misma en
la posición vertical
La fuerza debida a la presión del aceite será
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Horizontal de izquierda a derecha
Punto de aplicación
Medida desde A
La fuerza que ejercen el aire y el agua en el
lado izquierdo de la compuerta es
Horizontal de izquierda a derecha
45
Punto de aplicación
Medida desde la superficie del agua
El diagrama de cuerpo libre para la compuerta
será
En el equilibrio
De donde
Horizontal de derecha a izquierda