PROGRESIONES

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PROGRESIONES
Prof. José Mardones Cuevas E-Mail
cumarojo_at_yahoo.com
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COMO INTRODUCCIÓN AL TEMA, RESUELVE LOS
SIGUIENTES PROBLEMAS.
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PROBLEMA Nº 1
Un hombre avanza en el primer segundo de su
carrera 4 m y en cada segundo posterior avanza 5
cm más que en el anterior. Cuánto avanzó en el
cuarto segundo? Solución
En el cuarto segundo el hombre avanzó 4,15 metros.
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PROBLEMA Nº 1
Cómo calcularías cuánto avanzó el hombre en el
segundo 61? en el segundo 91? y en el
101? Solución Si sigues el procedimiento
anterior terminarás cansada (o). Con calculadora,
bastante menos!. pero te dará lata! Busca
otra estrategia Te sugiero observar
cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este
problema
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PROBLEMA Nº 1
Observaste que el sumando 5 cm se repite después
del primer segundo ? Cuántas veces? Si
multiplicas 3 5 cm, el resultado lo transformas
a metros y luego lo sumas al 4, qué
obtienes? la misma respuesta! pero más
rápido!!
Ahora, intenta dar respuesta a las otras
preguntas Las respuestas son 7 - 8,5 y 9
metros, respectivamente.
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PROBLEMA Nº 2
El lunes gané 3 y cada día después gané el doble
de lo que gané el anterior. Cuánto gané el
jueves? Solución
El día jueves gané 24 pesos.
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PROBLEMA Nº 2
Cómo calcularías cuánto ganaste el día sábado?
en el día miércoles de la siguiente semana? y
en el viernes de la tercera semana? (El domingo
es tu día de descanso) Solución Si desarrollaste
el problema 1 ya sabes lo que va a pasar Busca
otra estrategia Nuevamente, te sugiero observar
cuidadosamente el desarrollo ya realizado en este
problema
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PROBLEMA Nº 2
Observaste que el factor 2 se repite después del
primer día ? Cuántas veces? Si lo escribes como
potencia, lo desarrollas y lo multiplicas por 3,
qué obtienes? la misma respuesta! pero más
rápido!!
Ahora, intenta dar respuesta a las otras
preguntas Las respuestas son 96 - 768 y
196.608 pesos, respectivamente.
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SERIE
Es una sucesión de términos formados de acuerdo
con una cierta ley.
Ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36
Observa que cada término se forma elevando al
cuadrado, ordenadamente, los números naturales.
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En el problema nº 1, cuál era la ley de
formación? Al término anterior se le sumaba 5 cm.
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En el problema nº 2, cuál era la ley de
formación? El término anterior se multiplicaba
por 2.
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Series denominadas PROGRESIONES. Estas se
clasifican en

• Progresiones Aritméticas
• Progresiones Geométricas

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Lo que caracteriza a este tipo de serie es que
cada término se obtiene sumándole al término
anterior una cantidad constante llamada razón
aritmética, o, simplemente, diferencia. Ejemplo
En este caso, la diferencia es 2.
El problema 1 de la introducción corresponde a
esta clasificación.
752
532
312
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RAZÓN ARITMÉTICA O DIFERENCIA
Si se conocen los términos de una progresión
aritmética, cómo se obtiene la diferencia? La
razón aritmética, o diferencia, se halla
restándole a un término cualquiera el término
anterior. Ejemplo
Si d representa la razón aritmética, entonces la
diferencia es
d7 5 2
d5 3 2
d3 1 2
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En el problema 1 de la introducción, recuerdas
cómo se obtuvo, rápidamente, lo que avanzó el
hombre en el 4to.segundo? Fue algo así
Aquí se distinguen
1 término menos que el total de la serie.
Primer término de la serie.
Último término de la serie
Diferencia
Notación
Luego, la fórmula aplicada para hallar el último
término de la serie fue
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Observaciones
Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por
lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras
más específicas. Observa
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Término enésimo
Diferencia
Número de términos
Primer término
18
Si te cuesta aprender todas estas fórmulas,
apréndete la principal.
En ella puedes reemplazar los datos conocidos,
despeja tu incógnita y ya!. Observa el
siguiente ejemplo
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Ejemplo Cuántos términos tiene la progresión
aritmética 4 . 6 . 30?
Datos Primer término 4 Último término30 Diferenc
ia 6 4 2
La progresión tiene 14 términos.
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Ejemplo El 32º término de una progresión
aritmética es -18 y la razón 3. Hallar el primer
término.
Datos Diferencia 3 Último término -18 Nº de
términos 32
El primer termino de la progresión es -111.
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Ejemplo El primer término de una progresión
aritmética es 5 y el 18º término - 80. Hallar la
razón.
Datos Primer término 5 Último término - 80 Nº
de términos 18
La razón de la progresión aritmética es - 5.
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SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
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Se cuenta que el matemático GAUSS, a los 8 años,
sorprendió a su profesor al sumar los 100
primeros números naturales de esta manera.
Puedes comprobarlo con calculadora.
La suma de los términos de la progresión
aritmética es 5.050.
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Analizando este proceso tenemos que
Primer término
Último término
Nº de términos
Luego, la fórmula aplicada para sumar los
términos de esta progresión aritmética fue
25
Ejemplo Hallar la suma de los primeros 10
números naturales.
Datos Primer término 1 Último término 10 Nº de
términos 10
Puedes comprobarlo a mano o con calculadora.
La suma de los primeros 10 números naturales es
55.
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Ejemplo Hallar la suma de los 8 primeros
términos de la progresión aritmética 15 . 19 .
23.
Datos Primer término 15 Último término ? Nº de
términos 8 d 19 15 4
La suma de los 8 primeros términos de la
progresión es 232.
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Recuerdas el problema 1 de la introducción? Como
ejercicio, calcula qué distancia habrá recorrido
el hombre en 10 segundos. Solución En 10
segundos el hombre habrá recorrido 51,25 metros.
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MEDIOS ARITMÉTICOS E INTERPOLACIÓN
Se llama medios aritméticos a los términos de una
progresión aritmética que se hallan entre el
primero y el último término de la progresión. Ej.
4. 9. 14. 19. 24 Interpolar medios aritméticos
entre dos números dados es formar una progresión
aritmética cuyos extremos sean los números dados.
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Ejemplo Interpolar 3 medios aritméticos entre 3
y 11. Solución Primeramente debemos encontrar la
razón aritmética o diferencia.
Datos Primer término 3 Último término 11 Nº de
términos 325
Ahora formamos la progresión
Debes considerar los términos extremos también.
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PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Lo que caracteriza a este tipo de serie es que
cada término se obtiene multiplicando el término
anterior por una cantidad constante llamada razón
geométrica, o, simplemente, razón. Ejemplo
En este caso, la razón es 2.
El problema 2 de la introducción corresponde a
esta clasificación.
1682
842
422
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RAZÓN GEOMÉTRICA O RAZÓN
Si se conocen los términos de una progresión
geométrica, cómo se obtiene la razón? La razón
geométrica, o razón, se halla dividiendo un
término cualquiera por el término
anterior. Ejemplo
Si r representa la razón geométrica, entonces la
razón es
r168 2
r84 2
r42 2
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En el problema 2 de la introducción, recuerdas
cómo se obtuvo, rápidamente, lo que ganaste el
día jueves? Fue algo así
Aquí se distinguen
1 término menos que el total de la serie.
Primer término de la serie.
Razón
Último término de la serie
Notación
Luego, la fórmula aplicada para hallar el último
término de la serie fue
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Observaciones
Cualquiera de ellas puede ser una incógnita, por
lo tanto de esta fórmula se pueden obtener otras
más específicas. Observa
34
Término enésimo
Primer término
Razón
Nº de términos
35
Recuerda, si te cuesta aprender todas estas
fórmulas, apréndete la principal.
En ella puedes reemplazar los datos conocidos,
despeja tu incógnita y ya!. Observa el
siguiente ejemplo
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Ejemplo Cuántos términos tiene la progresión
geométrica 4 . 8 . 512?
Datos Primer término 4 Último término512 Razón
84 2
También podías aplicar logaritmo.
La progresión tiene 8 términos.
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Ejemplo El 7º término de una progresión
geométrica es 1/64 y la razón 1/2. Hallar el
primer término.
Datos Razón 1/2 Último término 1/64 Nº de
términos 7
El primer termino de la progresión es 1.
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Ejemplo El primer término de una progresión
geométrica de 6 términos es 2 y el último 64.
Hallar la razón.
Datos Primer término 2 Último término 64 Nº de
términos 6
También podías aplicar raíz quinta.
La razón de la progresión geométrica es 2.
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SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
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Del problema 2, en la introducción, obtuvimos
(estrategia)
41
Ocupamos
Si esta expresión la multiplicas por la razón r
2 se tiene
Ahora le restamos
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Analizando este proceso tenemos que
Aquí se distinguen
Razón
Número de términos de la serie
Primer término
Notación
Luego, la fórmula aplicada para hallar la suma de
los términos de la progresión geométrica fue
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Ejemplo Hallar la suma de los 6 primeros
términos de la progresión geométrica 9 - 3 1
.
Datos Primer término 9 Nº de términos 6 Razón
- 3 / 9 - 1 / 3
Puedes comprobarlo a mano o con calculadora.
La suma de los 6 primeros términos de la
progresión geométrica es 182 / 27.
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Recuerdas el problema 2 de la introducción? Como
ejercicio, calcula cuánto ganaste de lunes a
sábado, en dos semanas. Solución En dos semanas
trabajaste 12 días, por lo tanto ganaste 12.285
pesos.
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MEDIOS GEOMÉTRICOS E INTERPOLACIÓN
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Ejemplo Interpolar 4 medios geométricos entre -
7 y - 224. Solución Primeramente debemos
encontrar la razón geométrica o razón.
Datos Primer término - 7 Último término -
224 Nº de términos 426
Ahora formamos la progresión
Debes considerar los términos extremos también.
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Hasta pronto ...