Polinomios

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Polinomios

• Maria José Morralla Nicolau
• Darío Rozalén Badal

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Situación de los polinomios en la enseñanza
secundaria
POLINOMIOS
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Diapositiva oculta Comentario del grafico
Los polinomios es un tema que ha estado entrando
y saliendo de los currículos oficiales de la
enseñanza secundaria cada vez que estos se
modificaban. Además con la E.S.O. y la
distinción de itinerarios encontramos vertientes
distintas. Así, hay una rama en la educación en
la que no se nombran los polinomios, sino que a
partir de una generalización de la aritmética los
alumnos trabajan con expresiones algebraicas pero
sin llegar al concepto de polinomio, simplemente
para resolver ecuaciones.Hay alumnos que no oyen
hablar de polinomios, pero si de funciones
polinómicas en cursos superiores. De los que si
que estudian polinomios hay quién no da el
algoritmo de Ruffini y factorizan polinomios
sacando factor común y probando con todos los
divisores del término independiente. También hay
que recalcar que en la mayor parte de los casos
no se trabaja con expresiones racionales en la
E.S.O. En un libro de tercero de Bachillerato
(13 años) de 1958 hay una gran variedad de
problemas de simplificación de este tipo de
expresiones. Notemos que en el grafico no se han
relacionado los conceptos de gráfica, raíz y
resolución de ecuaciones cuando todos sabemos que
los puntos de corte, las raíces y las soluciones
de las ecuaciones son lo mismo en contextos
distintos y distintas maneras de representar lo
mismo. Línea roja (con polinomios) Línea azul
(sin polinomios) Línea violeta matemáticas de
humanidades. Libros consultadosEditorial SM,
titulo 2º ESO numeros, aritmos, 3º ESO algorisme
2000 , 4º ESO sigma, Gauss y editorial
Santillana.
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Qué es un polinomio? -Pues una suma de monomios.
Y qué es un monomio?
Son monomios las siguientes expresiones?
pr2
4x5
3x2 27
A pr2
5x
3xy2
P(x)4x
xy
anxn
f(x)4x
abcd
kzrf
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Definición e interpretación geométrica
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Notas sobre la interpretación geométrica
Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta
3 dimensiones, por tanto la interpretación
geométrica se reduce a los polinomios de grado
menor que 4. Representamos de la misma manera
polinomios de distintos grados? NO Un polinomio
de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2
no, aunque siempre podamos darle profundidad 1.
Así, el siguiente polinomio lo podemos
representar de varias maneras distintas según
nos convenga P(x) 2x2 x 2
O
O
O
Y el polinomio 2x 1
O
O
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Operaciones básicas con polinomios
Suma y resta Dos polinomios se suman agrupando
los términos de uno y otro y simplificando los
monomios semejantes (del mismo grado). Para
sumar P(x) 2x32x23x4 con Q(x)  x3 2x2 x
 3 se procede así P(x) Q(x)
(2x32x23x4) (x3 2x2 x  3) (21)x3
(22)x2  (31)x  (43)  P(x) Q(x) 3x3
4x2 4x  7 
Interpretación geométrica de la suma
P(x) Q(x) P(x) Q(x)
Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene
cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un
polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el
número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia
de dos polinomios, P(x)  Q(x) , al resultado de
sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).
TextoPágina web de Silvia Sokolovsky
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Producto Para multiplicar dos polinomios se
multiplica término a término cada monomio de
uno por cada monomio del otro y, posteriormente,
se simplifican los monomios semejantes. Por
ejemplo P(x)2x 3 , Q(x)x2 3x
2 P(x)Q(x) (2x 3)(x2 3x 2) 2x3 6x2
4x 3x2 9x 6 2x3 9x2 13x 6
Interpretación geométrica P(x) Q(x)
P(x)Q(x)
TextoPágina web de Silvia Sokolovsky
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(No Transcript)
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División de polinomios División entera Sean
dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor)
tales que el grado del primero (N) es mayor
que el del segundo (M) y P(x) múltiplo de Q(x),
buscamos el polinomio C(x) (cociente) tal que
P(x)Q(x)C(x) , con grado N-M.
Interpretación geométrica Si tenemos el
siguiente polinomio y lo queremos dividir
por este otro, notemos que estamos buscando la
altura que hay que darle al segundo para
obtener el primero, así, obtendremos éste
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División no entera Dados dos polinomios P(x)
(dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado
de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x)? 0
siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente)
y R(x) (resto) tal que P(x) Q(x) . C(x)
R(x) El grado de C(x) está determinado por la
diferencia entre los grados de P y Q, mientras
que el grado de R(x) será, como máximo, un grado
menor que Q.
Para obtener los polinomios cociente y resto a
partir de los polinomios dividendo y divisor
se procede como en el ejemplo siguiente, con
P(x)  5x3 7x2 - 3 y Q(x)  x2 2x - 1
5x3 7x2 - 3 x2 2x - 1 -5x3-10x25x
5x  3 / -3x2 5x 3
3x2 6x 3 / 11x  6 El cociente
es C(x)  5x  3, y el resto, R(x)  11x  6.
La descripción del proceso es la siguiente El
primer monomio del cociente se obtiene dividiendo
el monomio de mayor grado del numerador por el
del denominador 5x3 x2  5x. Se multiplica 5x
por el divisor y el resultado se resta del
dividendo. Una vez obtenida la diferencia se
inicia el proceso como si ésta fuera el
dividendo. El proceso concluye cuando la
diferencia es de grado inferior al divisor.
TextoPágina web de Silvia Sokolovsky
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Valor numérico Es el número que se obtiene al
sustituir la x por un valor dado y efectuar,
luego, las operaciones indicadas. Ejemplo sea
P(x) x2 3x 4  hallar  P(2) ? P(2) 22
3.2 4 ? P(2) 4 6 4 ? P(2) 6
TextoPágina web de Silvia Sokolovsky
Raíces Un número a es una raíz del polinomio
P(x) si el valor numérico de P(x) para xa es
cero. Ejemplo a1 es raiz de P(x) x2 3x 4,
porque P(1)1 3 - 4 0
Factorizar Factorizar un polinomio es
descomponerlo en dos o más polinomios, no
constantes, de manera que su producto sea el
polinomio dado. Nos interesa factorizar los
polinomios en binomios del tipo x a. Para ello
resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos
a continuación. Ejemplos (x-1),(x1) son
factores del polinomio x2-1. Es decir podemos
factorizar x2-1 en el producto de los otros dos
x2-1 (x-1)(x1) O
también 2x3 4x2-2x-4
(x2-1)(2x4)
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Paolo RUFFINI  (1765 - 1822)
Matemático y médico italiano, nacido en Roma,
desarrollando toda su actividad en Módena, donde
murió. Dedicó muchos años al estudio del
problema de demostrar la imposibilidad de
encontrar una expresión con radicales que
resuelva una ecuación de quinto grado (problema
que ocupó a generaciones de matemáticos), consigui
endo resolverlo, al igual que el matemático Niels
H. Abel. Lo demostró, aunque deficientemente. El
teorema sobre la imposibilidad de encontrar una
fórmula para resolver las ecuaciones de quinto
grado fue enunciado por primera vez por Ruffini
en el libro Teoria generale delle equazioni,
publicado en Bolonia en 1798. La demostración de
Ruffini fue, sin embargo, incompleta. Esta
formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue
demostrada definitivamente por el matemático
noruego Niels Henrik Abel. Es muy conocida su
regla para la división de un polinomio en x por
el binomio x - a. 
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Regla de Ruffini VS Algoritmo de la
división Sea el polinomio generalizado
P(x)anxn ... a1x a0 , vamos a dividirlo
por el binomio x a , con a real.
Regla de Ruffini
Algoritmo de la división
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Teorema del resto El resto de dividir un
polinomio P(x) por x a es igual al valor
numérico del polinomio en x a
Demostración de los algoritmos de la pagina
anterior, tenemos R(x) an a n an-1 a n-1
... a1 a a0 que es exactamente el
polinomio evaluado en a.
Otra demostración como el cociente es x a
(grado 1), sabemos que el resto será de grado 0,
es decir, un número. Sabemos también que P(x)
Q(x) . (x - a) R. Entonces si en esa
ecuación hacemos x a, nos queda P(a) Q(a)
. (a - a) R ? P(a) Q(a) . 0 R ? P(a)
R El resto es igual al valor del polinomio en a.
Teorema del factor Un polinomio P(x) tiene
como factor x a si el valor numérico del
polinomio en x a es cero.
Demostración P(a) 0 ? Por el teorema del resto
la división es exacta ? x a es factor.
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Propiedad Las raíces enteras de un polinomio
con coeficientes enteros son divisores del
término independiente.
Ejemplo Para factorizar x3 7x 6 utilizando la
regla de Ruffini probaremos con todos los
divisores del termino independiente. 6 es
divisible por 1,-1,2,-2,3,-3,6 y 6 Veamos que
no todos son raíces, pero que todas las raíces
enteras son de ese grupo.
1 0 -7 6
-1 -1 1 6
1 -1 -6 12
1 0 -7 6
1 1 1 -6
1 1 -6 0
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1 0 -7 6
2 2 4 -6
1 2 -3 0
1 0 -7 6
-2 -2 4 6
1 -2 -3 12
1 0 -7 6
-3 -3 9 -6
1 -3 2 0
1 0 -7 6
3 3 9 6
1 3 2 12
1 0 -7 6
-6 -6 36 -174
1 -6 29 -168
1 0 -7 6
6 6 36 174
1 6 29 180
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Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece lo
siguiente Todo polinomio de grado n, con
coeficientes complejos, tiene exactamente n
raíces, no forzosamente distintas, es decir
contadas con su orden de multiplicidad. Por
ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto
también complejo) X3 - 2X2 - 4X 8 (X-2)2(X2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple,
lo que da en total tres raíces. En otras
palabras, todo P(X) anXn an-1 Xn-1 ... a1
X a0 se puede factorizar completamente, así
an(X z0) (X z1) ... (X zn) , con los zi
complejos, y an ? 0.
Para los reales el teorema se queda en Todo
polinomio de grado n, con coeficientes reales, se
podrá factorizar en a lo sumo n factores.