Expresiones Algebraicas

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Expresiones Algebraicas

• Una expresión algebraica es una expresión en la
  que se relacionan valores indeterminados con
  constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
  número finito de operaciones de suma, resta,
  producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos

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Tipos de Expresiones Algebraicas

• Expresiones Algebraicas
• Racionales Irracionales
• Enteras Fraccionarias

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Expresión Algebraica Racional

• Es racional cuando las variables no están
  afectadas por la radicación
• Ejemplo

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Expresión Algebraica Irracional

• Es irracional cuando las variables están
  afectadas por la radicación
• Ejemplo

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Expr.Algebraica Racional Entera

• Una expresión algebraicas es racional entera
  cuando la indeterminada está afectada sólo por
  operaciones de suma, resta, multiplicación y
  potencia natural.
• Ejemplo

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Expresión Algebraica Racional Fraccionaria

• Una expresión algebraicas racional es
  fraccionaria cuando la indeterminada aparece en
  algún denominador.
• Ejemplo

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Polinomios

• Son las expresiones algebraicas más usadas.
• Sean a0, a1, a2, , an números reales y n un
  número natural, llamaremos polinomio en
  indeterminada x a toda expresión algebraica
  entera de la forma
• a0 a1 x a2 x2 an xn

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Ejemplos de polinomios

• A los polinomios en indeterminada x los
  simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
  indeterminada entre paréntesis P(x) Q(x)
  T(x).

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Términos

• Monomio polinomio con un solo término.
• Binomio polinomio con dos términos.
• Trinomio polinomio con tres términos.
• Cada monomio aixi se llama término.
• El polinomio será de grado n si el término de
  mayor grado es anxn con an?0.
• A a0 se lo llama término independiente.
• A an se lo llama término principal.

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Ejemplos
El polinomio 0 0x 0x2 0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x). No
se le asigna grado.
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Ejercicio

• Indicar cuáles de las siguientes expresiones
  algebraicas son polinomios. En este último caso
  indicar su grado.

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Polinomios iguales

• Dos polinomios son iguales si y sólo si los
  coeficientes de los términos de igual grado lo
  son.
• Ejercicio Determinar a, b y c para que P(x)Q(x)

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Suma de Polinomios

• Para sumar dos polinomios se agrupan los términos
  del mismo grado y se suman sus coeficientes.
• Ejemplo Sumar los siguientes polinomios
• P(x) -2x4 5x3 3x 1
• Q(x) 3x3 6x2 5x - 2

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Propiedades de la Suma

• Asociativa
• Conmutativa
• Existencia de elemento neutro
• Existencia de elemento opuesto

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Resta de Polinomios

• Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x)
  se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).
• P(x) Q(x) P(x) - Q(x)
• Ejemplo Restar los siguientes polinomios
• P(x) -2x4 5x3 3x 1
• Q(x) 3x3 6x2 5x - 2

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Multiplicación de Polinomios

• Para multiplicar dos polinomios se multiplica
  cada monomio de uno de ellos por cada uno de los
  términos del otro y luego se suman los términos
  de igual grado.
• Ejemplo Multiplicar los siguientes polinomios
• P(x) -2x4 5x3 3x 1
• Q(x) 3x3 6x2 5x 2
• P(x).Q(x) P(x) 3x3 P(x) (-6x2 ) P(x) (-5x )
  P(x)(-2)

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Propiedades del Producto

• Asociativa
• Conmutativa
• Existencia de elemento neutro.

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Algunos productos importantes

• (xa)2 (xa)(xa) x2 2ax a2
• (x-a)2 (x-a)(x-a) x2 - 2ax a2
• (xa)3 x3 3ax2 3a2x a3
• (x-a)3 x3 - 3ax2 3a2x - a3
• (xa)(x-a) x2 ax ax-a2 x2-a2

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Ejercicio

• Escribir los desarrollos de

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Ejercicio Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como
el cubo de un binomio.
21
Ejercicio La expresión x2 - a2 es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias
como producto de binomios.
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División de polinomios

• Existe una estrecha analogía entre el cociente de
  polinomios y la división de números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la división
  entre números enteros.

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División entre números enteros

• En el conjunto de números enteros, si D es el
  dividendo y d?0 es el divisor, existen y son
  únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto)
  tales que
• D d . C r 0 r lt d
• Si r0 se dice que D es divisible por d.

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División entre números enteros

• Ejemplo Realizar las siguientes divisiones
  enteras
• 29 dividido 6 será c 4 y r5 pues
• 29 6 . 4 5 y 0 5 lt 6
• 29 dividido -6 será c -4 y r5 pues
• 29 (-6) . (-4) 5 y 0 5 lt -6

Podría haber sido c -5 y r -1?
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División de polinomios

• Dados los polinomios
• D(x) 6x3 17x215x-8
• d(x) 3x 4
• determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
  y r(x) tales que
• D(x) d(x). C(x) r(x)
• de modo que el grado de r(x) sea menor que el
  grado de d(x) o bien r(x)Op(x)

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Ejemplo

• 6x3 17x2 15x 8 3x 4

-6x3 8x2
2x2
- 3x
1
6x3-17x215x-8 (3x-4)(2x2-3x1)-4
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Ejercicios

• D(x) 4x5 2x3 24x2 18x
• d(x) x2 3x
• D(x) 16x8 24x6 9x4
• d(x) 4x5 4x4 3x3 3x2
• D(x) 2x4 6x3 7x2 3x 2
• d(x) x-2

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División de Polinomios

• Dados los polinomios D(x) y d(x) d(x)?Op(x),
  diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si
  existe un polinomio c(x) tal que
• D(x) d(x) . c(x)

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Ejercicios

• Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno
  de ellos es divisible por el otro
• P(x) x4 -2x3 x2 -5x 1
• Q(x) x3 x2 x 1
• P(x) x4 2x3 4x2 8x 16
• Q(x) x5 - 32

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División de un polinomio por otro de la forma
(x-a)

• 3x3 2x2 5x 9 x 2
• - 3x3 6x2 3x2 4x 3
• 4x2 5x
• - 4x2 8x
• 3x 9
• -3x 6
• -3

6
8
6
3
4
3
3x3 2x2 5x 9 ( x 2)(3x2 4x 3) (-3)
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División de un polinomio por otro de la forma
(x-a)

• División de P(x) 3x3 2x2 5x 9 por (x-2)
  realizada por la Regla de Ruffini
• 3 -2 -5 -9
• 2 6 8 6
• 3 4 3 -3
• 1º operación 3.2 -2 4
• 2º operación (3.2 -2).2 - 5 3
• 3º operación 3(2) 2 2 . 2 - 5.2 -9 -3
• Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 -3

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Raíces de un polinomio

• Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si
  y solo si P(a) 0
• Ejercicio
• Verifique que x1 es raíz del polinomio P(x)
  3x2 2x 5

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Raíces de un Polinomio

• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es
  una raíz entera del polinomio entonces a divide
  al término independiente.
• Ejercicio Calcular las raíces de
• P(x) 2x3 - 2x2 - 16x 24

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Ejercicio Calcular las raíces de P(x) 2x3 -
2x2 - 16x 24

• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser
  divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)

2x3 2x2 16x 24 ( x 2)(2x2 2x -12)
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Ejercicio

• Calcular las raíces de
• P(x) x4 - x3 - 6x2 4x 8

P(x) (x-2)2 (x1) (x2)
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Resolver la siguiente ecuación
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Soluciones de la Ecuación Fraccionaria