LA CLASE VIRTUAL

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LA CLASE VIRTUAL

• POLINOMIOS

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POLINOMIOS

• Dados el número natural n y los n1 números
  reales o complejos a0,a1,,an (los llamados
  coeficientes) se define el polinomio p en la
  variable x como la función que hace corresponder
  al valor que tome x el valor
• p(x)a0a1xa2x2anxn
• Se dice que los polinomios p y q son idénticos si

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POLINOMIOS

• El grado (n) del polinomio p es el exponente de
  mayor grado
• El polinomio idénticamente nulo 0 carece de
  grado. Todos sus coeficientes valen cero y se
  verifica que
• Dos polinomios p y q son idénticos cuando
  coinciden sus coeficientes, esto es, p-q0.
• A veces se habla del polinomio p(x), entendiendo
  que se refiere al polinomio p

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POLINOMIOS

• La suma de los polinomios p y q es el polinomio r
  de modo que
• Se suman los coeficientes que afectan a la misma
  potencia de x.
• El grado del polinomio suma r es a lo sumo el
  máximo de n y m.

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POLINOMIOS

• El producto de los polinomios p y q es el
  polinomio s de modo que
• Análogamente el grado del polinomio producto s es
  a lo sumo mn.

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POLINOMIOS

• El cociente de dos polinomios no siempre es otro
  polinomio. Cuando el cociente f/g del polinomio f
  y el polinomio g es otro polinomio se dice que g
  divide a f o que f es múltiplo de g.
• La división por el polinomio nulo no está
  permitida.

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POLINOMIOS

• En general la división de un polinomio f
  dividendo por un polinomio g divisor origina un
  polinomio cociente q y un polinomio resto r, de
  modo que
• 1º fqgr, o lo que es lo mismo,
• 2º El grado de r es menor que el grado de g o
  bien r es nulo.
• Nota f/g es un polinomio si y sólo si r0.

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POLINOMIOS

• Ejemplo

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POLINOMIOS

• El máximo común divisor de f y g (abreviadamente
  m.c.d.) es el divisor común de mayor grado con
  an1.
• El mínimo común múltiplo de f y g (abreviadamente
  m.c.m.) es el múltiplo común de menor grado con
  an1.
• Se dice que f y g son primos entre sí si el
  máximo común divisor es el polinomio constante
  unidad.

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POLINOMIOS

• El algoritmo euclidiano permite obtener el mcd de
  f y g de un modo sencillo
• 1º fqgr
• 2º gqrr
• 3º rqrr
• hasta que el resto sea nulo.
• El último resto no nulo es el m.c.d. de f y g.

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POLINOMIOS

• Ejemplos
• El m.c.d. de x4-3x22 y x4x3-x-1 es x2-1
• El m.c.m de x2-9 y x2-5x6 es (x-3)(x3)(x2)
• Los polinomios 8x3-10x2-x3 y 2x3-5x2-x6 son
  primos entre sí.

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POLINOMIOS

• El teorema fundamental del Álgebra afirma que
  todo polinomio p de grado n tiene al menos un
  cero, esto es, la ecuación p(x)0 admite al menos
  una solución (real o compleja).
• Teorema Es a un cero de p si y sólo si p(x) es
  divisible por x-a.

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POLINOMIOS

• Siendo p(x)q(x)(x-a)r con r polinomio constante
  o nulo, si p(x) es divisible por x-a debe ser r
  nulo, esto es, p(x)q(x)(x-a) por lo que
  p(a)q(a)(a -a) 0 y a es un cero de p
• Recíprocamente, si a es un cero de p es p(a)0,
  luego 0q(a)(a -a)r y de aquí r0, esto es,
  p(x) es divisible por x-a .

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POLINOMIOS

• Si a es un cero de p el polinomio p se puede
  factorizar de la forma
• p(x)q(x)(x-a)
• donde (x-a) es un factor lineal y el grado de
  q una unidad inferior al grado de p.
• Se podría volver a factorizar q y así
  sucesivamente hasta llegar a la descomposición en
  factores lineales de p p(x)an(x-a1) (x-a2)
  (x-a3)... (x-an)

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POLINOMIOS

• Cuando los coeficientes del polinomio p son
  reales
• Los ceros complejos aparecen por pares
  conjugados
• Si aib es un cero, también lo es a-ib
• En este caso se pueden agrupar los dos factores
  lineales x - (aib)x - (a-ib) en un factor
  cuadrático de la forma (x2 cx d).

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POLINOMIOS

• Si a1,a2,a3... ak son los ceros distintos del
  polinomio p de grado n, con multiplicidades
  respectivas m1,m2,m3... mk se puede factorizar
  p de la forma
• Se puede probar que si a es un cero de p de
  multiplicidad m, mayor que la unidad, también a
  es un cero de las derivadas sucesivas, hasta el
  orden de derivación m-1.

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POLINOMIOS

• La regla de Ruffini se puede utilizar para
• 1º Hallar el cociente y el resto de la división
  del polinomio p(x) y el polinomio x-b.
• 2º Hallar p(b), donde p es un polinomio y b un
  valor numérico cualquiera

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POLINOMIOS

• Ejemplo División de p(x)5x410x3x-1 por x2.
  Aquí se tiene b-2.

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POLINOMIOS

• Ejemplo El desarrollo de Taylor del polinomio
  p(x)5x410x3x-1 en x-2 es
• Los valores de p y de sus derivadas son
  calculables por Ruffini en x-2, llegando a
• p(x)5(x2)4 -30(x2)3 60(x2)2 -39(x2)-3