Crescimento na Natureza e Crescimento Populacional

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Crescimento na Natureza e Crescimento Populacional

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Departamento de Matem tica Faculdade de Ci ncias e Tecnologia Universidade de Coimbra Disciplina: Fundamentos e Ensino da lgebra Apresenta o por: – PowerPoint PPT presentation

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Title: Crescimento na Natureza e Crescimento Populacional

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Crescimento na NaturezaeCrescimento Populacional
Departamento de Matemática Faculdade de Ciências
e Tecnologia Universidade de Coimbra
Disciplina Fundamentos e Ensino da Álgebra

Apresentação porGonçalo Martins de Sousa

Apresentação porSónia Carvalheiro
Apresentação no dia 10 de Outubro de 2002
2
Apresentação

Crescimento na Natureza
Breve contexto Histórico
Números de Fibonacci e Fórmula de Binet
Números de Fibonacci e Álgebra uma relação de
Ouro
Os Números de Fibonacci e o Número de Ouro na
Natureza
Gnomos breve definição e casos particulares
(Triângulos de Ouro e Rectângulos de Ouro)
Rectângulo de ouro e suas aplicações
Conclusão
Exercícios Propostos.

3
Crescimento na Natureza.Breve Contexto Histórico

Há mais de 2000 anos, os Gregos deram um
contributo importantíssimo para a resposta a
problemas relacionados com a natureza,
nomeadamente através da Geometria Euclidiana e da
descoberta dos números irracionais.
Há cerca de 800 anos, Leonardo de Pisa
(1170-1250), mais conhecido por Fibonacci (Filius
Bonacci), permitiu aprofundar ainda mais a
relação entre a natureza e a matemática, com a
descoberta de uma família de números à qual foi
atribuida o seu nome (números de Fibonacci).
Dessa família de números iremos analizar algumas
características que permitem estabelecer essa
importante relação com a natureza, nomeadamente
no que ao crescimento diz respeito, relacionando
esses números com a Álgebra e com a Geometria
que, juntos, permitem responder a inúmeras
questões relacionadas com o tema que estamos a
desenvolver.
Mais tarde, em 1638, René Descartes, Filósofo
Francês, estudou, por razões puramente teóricas,
uma equação (rae?), e cujo gráfico representa
uma espiral. A razão de ser desta situação
histórica tem a ver com o facto de as espirais
desempenharem um papel importante na natureza,
pelo que o seu estudo se reveste de grande
importância, com vista à reposta, no que à
Matemática diz respeito, de muitas questões que
se prendem com o crescimento na Natureza. Neste
trabalho, iremos por diversas vezes abordar a
temática das espirais, explicando a razão da sua
utilização.
Desde então, outros matemáticos se dedicaram a
este tema, contribuindo alguns deles, nos últimos
anos , para o desenvolvimento de teorias nesta
área, com alguns conceitos de Matemática abstrata.

4
Crescimento na Natureza.Numeros de Fibonacci e
Fórmula de Binet

Parte-se do princípio que todos os presentes
sabem construir a sucessão dos números de
Fibonacci.F11 F21 FnFn-2Fn-1 (ngt2). A
estratégia pode ser usada logo no 3º Ciclo do
Ensino Básico, nomeadamente através dos
exercícios práticos do tipo Apresente uma
continuação para a sequência apresentada,
indicando, por exemplo, os primeiros 5 termos da
sequência dos números de Fibonacci. Mais tarde,
no Ensino Secundário, ao abordar o tema das
sucessões, já se poderá pedir ao aluno para achar
alguns dos termos apresentados pela sequência
definida por recorrência, ou pedir ao aluno para
definir a sucessão por recorrência, apresentando
os primeiros n termos (sendo n não demasiado
grande)
É obvio que não será muito conveniente pedir ao
aluno para achar o 100º termo da sequência (F100)
. Basta para tal ter em conta que
F9883621143489848422977
F99218922995834555169026
F100354224848179261915075
(e ainda mais fácil para os termos que sucedem ?)
Há cerca de 250 anos, Leonhard Euler descobriu
uma fórmula, um pouco complicada, mas que permite
de forma mais directa, definir uma aproximação
para qualquer termo da Sucessão dos Números de
Fibonacci. Cerca de 100 anos depois, Jacques
Binet redescobriu a fórmula, e continuou o
trabalho, acabando a fórmula por adquirir o seu
nome (Fórmula de Binet).
Eis então a Fórmula de Binet para Números de
Fibonacci

5
Crescimento na Natureza.Numeros de Fibonacci e
Álgebra uma relação de Ouro

Se observarmos a tabela à direita, constatamos
com alguma facilidade que a razão entre dois
números de Fibonacci sucessivos se aproxima do
valor 1,61803 (tomando apenas 5 casas decimais
para arredondamento), à medida que o valor de n
aumenta.
Usando um programa do género do Excel, poderíamos
verificar que esse valor não corresponde
exactamente àquele que apresentámos (alterando a
largura das células da segunda coluna - Fn1/Fn ,
alteramos a margem de erro pretendida).
Ao valor limn (Fn1/Fn) F, chamamos Número de
ouro.
Esse valor coincide com a raiz da equação x2
x1.
Resolvendo a equação, verificamos que
constitui uma das suas raizes.
Calculando o valor apresentado, verificamos que
esse valor coincide com F.
NOTA Quando nos referimos a F, devemos ter em
consideração que F ? R.

6
Crescimento na Natureza.Numeros de Fibonacci e
Álgebra uma relação de Ouro (cont.)

a equação x2 x1 permite-nos calcular o valor
de Fn.
Na verdade, verificamos com facilidade que F2
F1.
Daí vem que F3 F2 F (F1) F
2F 1
F4 2F2 F 2(F1) F 3F 2
F5 3F2 2F 3(F1) 2F 5F 3
F6 5F2 3F 5(F1) 3F 8F 5
E facilmente se prova por indução que
Fn Fn F Fn-1
Todo o estudo que temos desenvolvido levanta
normalmente no aluno a eterna dúvida que se
prende com a sua utilidade.
Iremos de seguida apresentar alguns casos que
permitem elucidar a razão da importância que os
Números de Fibonacci e o Número de Ouro ocupam na
Natureza

???
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Crescimento na Natureza.Os Números de Fibonacci
e o Número de Ouro na Natureza

Ramos de troncos em árvores
Algumas plantas apresentam os números de
Fibonacci no crescimento de seus galhos.
Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a
cada mês, sendo que um broto leva dois meses para
produzir o seu primeiro broto. Existem várias
plantas cujo crescimento se parecem com o
descrito aqui. Existe uma planta denominada
Achillea ptarmica, que tem estas características

8
Crescimento na Natureza.Os Números de Fibonacci
e o Número de Ouro na Natureza

Filotaxia Um caso ainda por explicar...
(Curiosidades)
Os números de Fibonacci também são encontrados em
arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que
exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou
para a direita) para as folhas em torno do caule.
Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3)
nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e
entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao
longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um
mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2
forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas
as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5
folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como
uma rotação de 360o para que uma folha se possa
sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada
ângulo deverá ser igual a 2x360o5144o.
Podemos identificar o período p como o número de
voltas necessárias até nascer uma nova folha que
se sobrepõe à primeira e m indicará o número de
folhas por período, neste caso, p2 e m5.
Numerosas experiências com plantas mostraram que
p e m assumem mais frequentemente valores como 1,
2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da
sequência de Fibonacci. Existem também exceções,
mas os números de Fibonacci ocorrem tão
frequentamente que não podem ser explicados como
casuais. Os biólogos tantaram explicar a
predominância dos números de Fibonacci na
Filotaxia. A simetria das folhas pode dar
equilíbrio ao caule e também facilitar a
exposição à luz, mas a ciência está longe de dar
uma explicação satisfatória.

9
Crescimento na Natureza.Os Números de Fibonacci
e o Número de Ouro na Natureza

ESPIRAIS DE FIBONACCI NAS
Sementes de flores
Os números de Fibonacci também podem ser vistos
na organização das sementes na coroa das flores.
À esquerda, encontra-se o diagrama de como o
girassol ou uma margarida podem parecer quando
aumentados. O centro é marcando com um ponto
preto. Pode ver que as sementes parecem formar
espirais a curvar tanto para a direita como para
a esquerda. Se contar essas espirais que partem
da direita, a partir da borda da figura, são 34.
Para o outro lado quantas são? Verá que esses
dois números são vizinhos na série de Fibonacci.
O mesmo acontece nas sementes reais da natureza.
A razão, parece estar na forma da distribuição
óptima das sementes, não importando o seu
tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme ,
desde que não estejam acumuladas no centro nem
demasiado afastadas da margem.
Se contar as espirais perto do centro nas duas
direcções, serão ambos números de Fibonacci.
(Desenvolvimento ver J.H.Conway O Livro dos
Números pág. 129 a 139)
À direita estão algumas figuras de 500, 1000 e
5000 sementes.

10
Crescimento na Natureza.Os Números de Fibonacci
e o Número de Ouro na Natureza

O Nautilus Marinho
Juntando dois quadrados unitários (Lado1),
teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento
2 é igual à soma dos lados dos quadrados
anteriores). De novo anexamos outro quadrado com
L2 (o maior dos lados do retângulo anterior) e
teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar
quadrados com lados iguais ao maior dos
comprimentos dos retângulos obtidos antes. A
sequência dos lados dos próximos quadrados é 3,
5, 8, 13, ... que é a sequência de Fibonacci.
Com um compasso, tracemos um quarto de
circunferência no quadrado de lado L13, de
acordo com o desenho ao lado. De acordo com esse
desenho, tracemos quartos de circunferências nos
quadrados de lado L8, L5, L3, L2, L1 e L1.
Considerando as concordâncias dessas curvas,
obteremos uma espiral como a que aparece no
Nautilus marinho.

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Crescimento na Natureza.Gnomos Breve definição
e casos particulares

Gnomos... Afinal, de que se trata?
Para os Antigos Gregos, Gnómon (conhecedor) era
uma peça que podia juntar-se a uma figura, para
produzir uma outra figura da mesma forma, mas de
maior tamanho.
Pressupõe-se o conhecimento prévio das noções de
semelhança de figuras.
No caso que se encontra retratado à direita
(fundo), se continuarmos a aplicar gnomos aos
sucessivos triângulos isósceles de ângulos
72o-72o-36o (que são triângulos isósceles de
ângulos 36o-36o-108o. Cada um desses triângulos e
dos respectivos gnomos apresenta uma
característica a razão entre o lado mais
comprido e o mais curto é o número de ouro.
Pelas características apresentadas, chamamos a
esses triângulos Triângulos de Ouro ou Triângulos
Áureos.

72o
36o
12
Crescimento na Natureza.Rectângulo de Ouro e
suas aplicações.

No caso que apresentámos, referente ao Nautilus
Marinho, tendo em conta a contrução dos
sucessivos rectângulos, observamos que as razões
sucessivas entre os comprimentos e as larguras se
aproximam da razão de ouro (F).
A um rectângulo cuja razão entre comprimento e
largura é o número de ouro, chamamos Rectângulo
de Ouro ou Rectângulo Áureo. Esse tipo de
rectângulos aparece também na Economia,
nomeadamente na confecção de embalagens. O
rectângulo de ouro torna-se agradável à vista.
Muitos artistas que viveram depois de Phidias
usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da
Vinci chamava esta de Divina Proporção e a usou
em muitos de seus trabalhos. No quadro Mona Lisa
pode-se observar a proporção Áurea em várias
situações. Por exemplo, se construirmos um
retângulo em torno de seu rosto, veremos que este
possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos
também subdividir este retângulo usando a linha
dos olhos para traçar uma reta horizontal e temos
novamente a proporção Áurea. Podemos continuar a
explorar esta proporção em várias outras partes
do corpo.

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Conclusão

Fibonacci e os seus números contribuiram
grandemente para a resolução de problemas de
crescimento na natureza, nomeadamente questões
onde, geometricamente, prevalece o aparecimento
de espirais. Podemos por isso afirmar que as
espirais são um símbolo de crescimento.
O número de ouro representa uma razão que chegou,
em tempos a ser apelidada de Divina Proporção,
por ocorrer um pouco em todas as áreas, desde as
Ciências à Economia, passando pela Arte.
Recorrendo a figuras geométricas e alguns dos
seus Gnomos, e aplicando alguma Álgebra,
consegue-se resolver muitos problemas que, de
outro modo, poderiam ser de muito mais complicada
resolução, facilitando a compreensão e o
raciocínio conducentes a essa resolução.

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Crescimento na Natureza.Problema das abelhas
(Exercício)

O macho da família de abelhas é chamado zangão,
que é chocado de ovos não fertilizados
(partogênese).
Como consequência disto, cada zangão não tem pai
mas têm um avô por parte materna. Usando as
idéias de sequências de Fibonacci, você saberia
calcular o número de ancestrais de um zangão n
gerações atrás? Se não souber, faça uma pesquisa
na Internet pois existem páginas excelentes sobre
o assunto.

15
Crescimento na Natureza.Páginas consultadas na
Internet e Bibliografia