Apprentissage des math

1
Apprentissage des mathématiquesRésolution de
problèmes

2
Des enjeux complémentaires

• Acquérir des outils mathématiques
• Etre capable de les utiliser dans différents
  domaines, en autonomie
• Préparer la suite des apprentissages (collège)
• Développer des compétences générales

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Plan

• Etat des lieux quelques données sur les acquis
  des élèves
• Analyse des difficultés
• Pistes pour laction pédagogique

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Etat des lieux

• Quelques données

5
Evaluation sixième 2004

• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les
  "compétences nécessaires pour profiter pleinement
  des situations pédagogiques de sixième" (pour
  plus de 2/3 des items considérés).
• Deux domaines particuliers de difficultés
• le calcul mental
• la résolution de problèmes

6
Calcul mental Evaluations CE2 et 6e
2004 28 d'échec aux "questions de base"
7
Priorité au calcul mentalparmi tous les moyens
de calcul

• sous ses 2 aspects
• Mémoriser des résultats et des procédures
• Construire des résultats

8
La résolution de problèmes
9
Evaluation 6e - 2003
Xavier range les 50 photos de ses dernières
vacances dans un classeur. Chaque page
contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages
complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la
page incomplète ? Il y a pages complètes.
54 Il y a photos sur la
page incomplète. 57
10
Procédures possiblesProblème des photos

• Division par 6
• Division (CM1)
• Essais de produits par 6
• Table de multiplication (CE2)
• Addition de 6 en 6
• Addition (CE1)
• Schématisation des pages et des photos
• Dénombrement (CP)

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Une question

• Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou
  lautre des connaissances permettant de résoudre
  ce problème
• ne pensent-ils pas
• nosent-ils pas
• ne se croient-ils pas autorisés
• (à) les utiliser pour répondre à la question?

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Comparaison internationale (PISA 2003) Deux
points faibles caractéristiques

• "Les élèves ont des connaissances, mais elles
  sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre
  eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles
  connaissances mathématiques il convient
  d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la
  trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent
  le ou les éléments de connaissance
  correspondants".
• Manque d'autonomie "Ils ne s'attaquent qu'aux
  questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne
  disposent pas de stratégies pour aborder un
  problème qui ne leur est pas familier essayer,
  expérimenter, bricoler ne font pas partie des
  modes d'approche possibles".
• Antoine Bodin, Les mathématiques face aux
  évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006

13
Un exemple
14
Analyse des difficultés

• Quelques pistes

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Julie (éva 6e)

• Julie a acheté pour un goûter
• deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune
• quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune
• un sac de brioches.
• Elle a payé 56 F.
• Quel est le prix du sac de brioches ?
• 8 F x 6 F 54 F
• Le prix du sac de brioches est 2 F.

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Schéma danalyse sommaire

• Connaissances
• en lecture
• sur le contexte
• mathématiques
• sens des notions
• raisonnement
• calcul

• Connaissances
• sur ce qui est attendu
• sur ce qui est permis
• sur ce qui marche souvent
• sur "l'accueil" des erreurs

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A la bonne place (éva CE2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la
place qui convient. 367 582 309
18
Quelques pistes

• pour le travail avec les élèves

19
Apprendre ce quest chercher

• Un mot à double sens
• Chercher parmi les solutions expertes déjà
  éprouvées
• Chercher, bricoler une solution nouvelle,
  originale, personnelle, comme le chercheur

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• Exemples en GS
• Exemple 1 Résolution à l'aide du matériel
• 24 objets, 6 pochettes
• mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette
• Contrainte supplémentaire il doit y avoir tous
  les types de pochettes
• Autre contrainte même nombre d'objets dans
  chaque pochette
• Exemple 2 Résolution à l'aide du matériel
• Trouver toutes les répartitions de 12 objets
  dans 3 pochettes

21
Aide à la prise de conscience du comportement de
chercheur et de stratégies efficaces

• Narration de recherche
• Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en
  décrivant toutes les idées, toutes les pistes, y
  compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de
  Montpellier)
• Faire des mathématiques, chest accepter de
  tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de
  se tromper, de corriger, de recommencer
• Mise en commun
• Comprendre et discuter d'autres démarches
• Synthèse sur des stratégies efficaces
• Faire une hypothèse, la tester (pour voir)
• Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher)
• Déduire de l'information d'un essai
• Systématiser des essais

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Aider à lappropriation du problème

• Plusieurs supports de présentation
• Vécu
• Dessin, schéma, document
• Oral
• Ecrit
• Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu
  favorable, dans la phase dapprentissage

23
Dix dans la boîte (Cap maths CP)
- deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à
chaque coup.
24
Dix dans la boîte 3 problèmes

• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à
  chaque coup
• Plusieurs solutions dont les nombres
• Connaître le contenu de la boîte
• Vers laddition
• Savoir sil est possible de gagner au coup
  suivant
• Vers le complément

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ANTICIPER / VALIDER un aspect essentiel de ce
type de situation
Situation réelle Favorise lappropriation de la
situation et du problème
Anticiper Incite à l'expérience mentale
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures
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Limiter les références possibles à des indices
 extérieurs  au problème.

• Ne pas lier systématiquement les problèmes aux
  apprentissages en cours
• Se méfier des aides  de surface 

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Exploiter la diversité des procédures

• Favoriser la diversité
• Exploiter la diversité
• Aider au progrès des élèves

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Correction ou mise en commun ?

• Correction
• Aboutir au corrigé, à LA solution
• Conséquence  résolution  unique dont il faut
  sapprocher le plus possible

• Mise en commun
• Inventorier les  résolutions 
• Débattre de leur validité
• Les comparer
• Conséquence la diversité est possible

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Trace écrite ?

• Pas de trace écrite cette fois-ci
• Une  résolution  correcte, au choix de chaque
  élève
• Un montage de différentes  résolutions 
  correctes

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Aider à progresser

• Prise de conscience au cours de la mise en commun
• Mise en lien, établissement de ponts entre des
   résolutions  en apparence différentes
• Choix des variables
• Exemple 250 passagers, 240 adultes
• Expérience mettant en évidence léquivalence de 2
   résolutions  (ici validation expérimentale)

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Accorder un autre statut à l'erreur

• Se tromper est normal , dans la phase
  d'apprentissage
• Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être
  sanctionnée
• On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

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Un exemple en calcul mental
Question calculer "6 fois 15"
Réponse sur l'ardoise 36
Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de
l'élève) L'élève a calculé 6 x 5 30 et 6 x 1
6, puis 30 6 36
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Travail possible

• Faire expliciter la procédure utilisée
• Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse
  (sans refaire le calcul) ?
• Parce que chest plus grand que 6 x 10
• Faire expliciter (éventuellement de plusieurs
  manières) une procédure correcte qui s'appuie sur
  une décomposition de 15

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Exemples d'explicitations

• Oralement
• 15 chest 10 5, pour avoir 6 fois 15, il faut
  prendre 6 fois 10 et 6 fois 5
• Oralement, avec appui sur un dessin
• 6 fois ça
• et 6 fois ça
• Essentiellement par le dessin (ou matériel,
  doigts)

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Et retour sur la procédure erronée

• Quel calcul réalise-t-on en faisant 6 fois 5
  plus 6 fois 1 ?
• Explications du même type que précédemment
  (oral, dessin)

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La culture mathématique, chest

• Des connaissances
• Des connaissances utilisables (donc qui ont du
  sens)
• Des connaissances cohérentes (reliées entre
  elles)
• La capacité à les utiliser pour justifier
• L'initiation à une pratique "mathématisante"