Congrs MATh en JEANS

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Congrès MATh en JEANS

• Méthode dApprentissage de la Théorie des
  mathématiques
• en
• Jumelant des Etablissements pour une Approche
  Nouvelle du Savoir

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Le Labyrinthe des Lemmings
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Les Lemmings

• Les Lemmings sont des petits rongeurs de
  lEurasie septentrionale, voisins des campagnols,
  pullulant tous les deux à quatre ans et
  effectuant alors des migrations massives vers le
  sud.

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Le Labyrinthe
Le Labyrinthe est un tableau composé dune suite
de cases alignées et numérotées de 0 à linfini
Chaque case est associée à une flèche
représentant une direction la gauche ou la
droite. Seules les cases 0 et 1 nont pas de
flèche.
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Le Labyrinthe
Initialement, les flèches sont toutes orientées
vers la gauche.
Les Lemmings entrent dans le Labyrinthe au niveau
de la case 2. Ils sont envoyés les uns après les
autres, cest-à-dire quun Lemming nentre que
lorsque le précédent est sorti du
Labyrinthe. Lorsquun Lemming passe par une case
avec une flèche, il suit la direction de la
flèche puis la retourne.
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Le Labyrinthe
Le déplacement du Lemming varie selon le sens de
la flèche - Lorsque la flèche est vers la
gauche, le Lemming se déplace de deux cases vers
la gauche.
n-1
n-2
...

n1
n
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Le Labyrinthe
Les sorties du Labyrinthe sont les cases 0 et
1. La case 0 correspond au paradis et la case 1 à
lenfer. Lorsque le Lemming atteint une de ces
deux cases, il sort du Labyrinthe et le Lemming
suivant entre.
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Le Labyrinthe
Faisons un essai sur les premiers Lemmings pour
mieux comprendre.
ou
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Les Questions

• Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du
  Labyrinthe ?

• Quelle proportion va rejoindre le paradis? Quelle
  proportion va rejoindre lenfer ?

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Est-ce que tous les Lemmings vont sortir du
Labyrinthe ?

• On peut essayer de répondre à cette question en
  trouvant une décomposition du trajet du Lemming.

Mouvement suite de déplacements dans le même
sens (soit vers la gauche, soit vers la droite)
Trajet suite de tous les mouvements dun
Lemming
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Théorème de laller-retour

• Prenons la première case du tableau dont la
  flèche est orientée vers la gauche, juste avant
  quun nouveau Lemming entre dans le tableau (case
  c). Toutes les cases précédentes sont donc vers
  la droite et le Lemming va donc suivre ces cases
  et aller jusquà la case c (premier mouvement).
• Comme la case c est orientée vers la gauche, le
  Lemming va initier un nouveau mouvement.

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Théorème de laller-retour

• Or pour arriver à la case c, le Lemming aura
  retourné chacune des cases précédentes donc, le
  Lemming en suivant la consigne vers la gauche
  de la case c, va se retrouver sur une case de
  consigne vers la gauche aussi.

Ainsi, comme toutes les cases avant c sont vers
la gauche au moment ou le Lemming atteint c.
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Théorème de laller-retour

• Le Lemming va donc retourner au départ du
  Labyrinthe en changeant la flèche de certaines
  cases et tomber sur une des cases de sorties.

Notons que la sortie quil emprunte dépend de la
parité de la case c.
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Théorème de laller-retour

• Le mouvement vers la gauche correspond à un
  déplacement de deux cases vers la gauche, donc,
  lors du retour, le Lemming ne retombera que sur
  une case sur deux.
• Ne tombant que sur une case sur deux, le Lemming
  ne retournera quune flèche sur deux, et de la
  case 2 à la case c, le sens des flèches sera
  alterné.

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Quelle proportion va rejoindre lenfer ?
Nous avons vu que lorsquun Lemming allait en
enfer, les flèches étaient alternées jusquà la
case la plus lointaine quil a atteinte les
flèches des cases impaires étaient tournées vers
la droite et celles des cases paires vers la
gauche.
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Quelle proportion va rejoindre lenfer ?
La case 2 étant paire, sa flèche est tournée vers
la gauche. Le Lemming suivant ira donc
directement au paradis. Lorsquun Lemming va en
enfer, le suivant va forcément au paradis. La
proportion de Lemmings en enfer est donc
inférieure ou égale à ½.
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Quelle proportion va rejoindre le paradis ?
Après larrivée dun Lemming au paradis, il y a
deux cas possibles. Soit le Lemming suivant va en
enfer, soit il va au paradis. Nous avons démontré
que sil va au paradis, le suivant va forcément
en enfer, mais la démonstration est longue et
compliquée.
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Quelle proportion va rejoindre le paradis ?

• En résumé
• Lorsquun Lemming va en enfer, le suivant va
  forcément au paradis. La proportion de Lemmings
  au paradis est donc supérieure ou égale à ½.
• Lorsque deux Lemmings vont au paradis, le
  suivant va forcément en enfer. La proportion de
  Lemmings au paradis est donc inférieure ou égale
  à ?.

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Quelle proportion va rejoindre le paradis ?

• En résumé
• La proportion de Lemmings en enfer est comprise
  entre ? et ½.
• La proportion de Lemmings au paradis est
  comprise entre ½ et ?.

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La suite de Fibonnacci
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Case max Case la plus lointaine atteinte par un
Lemming. Case supermax case la plus lointaine
quait atteinte lensemble des Lemmings
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La suite de Fibonnacci

• On constate que le nombre de Lemmings
  nécessaire au passage dune case supermax n à la
  case supermax n1 correspond aux nombres de la
  suite de Fibonnacci. Ce nest quune conjecture,
  mais un programme informatique nous a permis de
  la vérifier pour les 1 134 309 149 premiers
  Lemmings.

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La suite de Fibonnacci

• Daprès cela, nous avons observé que la
  proportion de Lemmings au paradis tend vers F-1.
  F est le nombre dor, nombre aux étranges
  propriétés, étroitement lié à la suite de
  Fibonnacci.

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Pour finir

• Ce travail nous a amené a nous poser dautres
  questions
• Au bout de combien de temps un Lemming sort-il en
  moyenne ?
• Quen serait-il dun Labyrinthe en plusieurs
  dimensions ?

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Le Labyrinthe des Lemmings
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