OPTIMIZACI

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OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

• Optimización dinámica.
• Cálculo de variaciones.
• Ecuación de Euler-Lagrange.
• Aplicación a sistemas de control.. Principio del
  máximo de Pontryagin.
• Procesos lineales con coste cuadrático.
• Ecuación de Riccati.
• Sistemas de tiempo mínimo.

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Para el caso 2. tenemos la condición de contorno
general que se puede escribir de la siguiente
manera
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FUNCION DE ESTADO DE PONTRYAGIN.   Planta
Indice de comportamiento   Problema. Escoger u
k (x(t),t) que minimice J sobre el intervalo
a,b   Solución. Método de los multiplicadores
de Lagrange. Paso 1. Se forma la función de
estado de Pontryagin   Paso 2. Resolver la
ecuación para obtener Paso 3. Encontrar la
función H óptima  Paso 4. Resolver el conjunto
de 2n ecuaciones diferenciales     con las
condiciones de contorno x(a) y x(b).   Paso
5. Sustituir los resultados del paso 4 en la
expresión de uº para obtener el control óptimo.
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PROBLEMA GENERAL DE CONTROL OPTIMO.      
 
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(No Transcript)
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SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO   PROBLEMA
DE LA ENERGÍA MINIMA.  
Sistema con x(a) y x(b) conocidos(condiciones
de contorno). Encontrar u(t) que minimice el
criterio     con P matriz simétrica y definida
positiva. Si no hay restricciones en el vector de
control, la solución se obtiene a partir de
  y de las ecuaciones canónicas, que da lugar
al sistema siguiente de dimensión 2n     con
las 2n condiciones de contorno x(a) y x(b).
Problema de condiciones de contorno en dos puntos
diferentes (TPBP) difícil siempre de resolver.
Sin embargo este puede reducirse a uno con
condiciones en un solo extremo.
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Si ponemos la solución en función de la matriz de
transición, tendremos     Haciendo tb en las
ecuaciones anteriores puede obtenerse el valor de
l(a) como que permite tener las condiciones
de contorno en un solo punto o sea x(a) y l(a).
Por tanto la solución del problema de control
óptimo será  
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CONTROL DE TEMPERATURA EN UN RECINTO

• Estado final libre

• Estado final fijo

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SISTEMAS LINEALES CON COSTE CUADRATICO   PROBLEMA
DEL SERVOSISTEMA   Sistema Criterio Las
matrices S,P y Q deben ser simétricas. S y Q
semidefinidas positivas y P definida
positiva. Hamiltoniano Vector de control
óptimo que garantiza un mínimo al ser P
definida positiva.
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Ecuaciones canónicas   () que pueden ser
resueltas con las condiciones de contorno. x(a)
conocido La matriz del sistema canónico es y
puede demostrarse que sus valores propios(2n) son
simétricos respectos respecto del eje
imaginario. Introduciendo la matriz de transición
la solución será Con ayuda de la condición de
contorno podemos escribir l(t) como función de
x(t).Así   Puede demostrarse que R(t) es una
matriz no singular y además que R(b)S Este
método de calcular R(t) es bastante complejo.
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UUna alternativa es la siguiente
Derivar OObtenemos C CComo x(t) puede ser
cualquier valor arbitrario la ecuación anterior
se reduce a Q Qque se conoce como la ecuación
matricial de Riccati con la condición inicial
R(b)S EEl control óptimo será Un caso muy
particular es cuando b tiende a infinito, lo que
equivale a decir que el intervalo de optimización
es mucho mayor que las constantes de tiempo del
proceso. Por tanto no tendrá significado el
ponderar el estado final, con lo cual se puede
resolver el problema haciendo S0. Por otra parte
podemos obtener la solución a la ecuación
algebraica de Riccati haciendo nula la derivada
de la matriz R. O sea resolvemos D a c
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PROBLEMA DE TIEMPO MÍNIMO   Se desea llevar el
sistema   del estado x(a) conocido al estado
x(b) asimismo conocido en un tiempo mínimo. Por
tanto el coste será Además suponemos que existe
una limitación en el vector de control El
hamiltoniano se escribirá así y su minimización
con respecto a u es inmediata El control es de
tipo bang-bang o sea cada elemento de u debe
conmutar instantáneamente del máximo valor
permitido al mínimo(o viceversa). La solución de
l(t) para el caso de valores propios reales de A
puede ponerse así y la solución óptima tendrá
la forma siguiente donde m son los valores
propios reales de la matriz A. Puede demostrarse
que en este caso el número de saltos coincidente
con el número de ceros de la expresión anterior
entre corchetes es igual a n-1.