Introduccin a la programacin lineal y lineal entera

1
Introducción a la programación lineal y lineal
entera

• Escuela Regional de Computación
• Universidad Nacional de Asunción
• Asunción, Paraguay
• 20 al 24 de julio de 2008
• Irene Loiseau
• Departamento de Computación
• Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
• Universidad de Buenos Aires
• irene_at_dc.uba.ar

2

• De qué trata este curso?
• Estudiar métodos que sirven para resolver
  problemas que pueden modelarse como problemas de
  programación lineal o lineal entera.

3

• Qué significa formular y usar un modelos
  matemáticos para resolver problemas reales?.
• Qué etapas incluye esta tarea?.
• Cuándo sirve un modelo matemático?

4

• Qué problemas vamos a modelar y resolver en este
  curso?.
• Qué es Programación lineal?. Qué es
  optimización?.
• Porqué se llama programación lineal?.
• Dantzig, Kantorovich, el premio Nobel de
  economía de 1975..
• Qué temas se estudian en Investigación Operativa
  (Operations Research)?.
• De todos los temas que abarca la Investigación
  Operativa en este curso estudiaremos SOLO
  problemas de programación lineal y lineal
  entera (con esto tenemos algunos métodos
  para resolver algunos problemas de Optimización
  Combinatoria)

5
Bibliografía

• Bazaraa,M., Jarvis,J., Sherali,H.,Linear
  Programming and Networks Flows, John Willey
  Sons, 1990.
• Chvatal, V., Linear Programming, Freeman, 1983.
• Cook, W., Cunningham, Pulleyblank, Schrijver, A.,
  Combinatorial Optimization, John Willey .Sons,
  1998.
• Williams, H.P., Model Building in Mathematical
  Programming, John Willey .Sons, 1999.
• Winston,W., Operations Research, Applications and
  Algorithms, Duxbury Press, 1994.
• Wolsey,L., Integer Programming, John Willey
  .Sons, 1998.

6

• El material distribuido en castellano
  corresponde al libro
• Castillo, E., Conejo,A., pedregal, P., Gracía,
  R., Alguacil, N. Formulación y resolución de
  modelos de programación matemática en ingeniería
  y ciencias.
• disponible por internet.
• Algunos de los libros clásicos de Investigación
  Operativa están traducidos al castellano.

7

• De la página del LINGO
• http//www.lindo.com
• se puede bajar libremente el libro
• Optimization Modeling with LINGO (2006)
• que contiene numerosos ejemplos de aplicaciones y
  ejercicios

8
Problema de la dieta

• Ana quiere saber cuanto es el mínimo que puede
  gastar para alimentarse saludablemente, y obtener
  las 2000 kcal, 55 grs de proteínas y 800 mg de
  calcio que necesita cada día (no está tomando en
  cuenta la necesidad de hierro ni de
  vitaminas!!). Para eso ella quiere elegir entre
  las siguientes comidas, cuyos datos aparecen en
  la siguiente tabla

9
(No Transcript)
10

• Por otro lado Ana quiere tener una alimentación
  variada. No quiere comer todos los días lo
  mismo, cómo máximo quiere comer
• 4 porciones de cereal
• 3 porciones de pollo
• 4 huevos
• 8 porciones de leche
• 2 porciones de pastel
• 2 porciones de cerdo con porotos
• Cómo podemos modelar matemáticamente este
  problema?
• Este problema tiene aplicaciones reales por
  ejemplo en la fabricación de alimentos
  balanceados para pollos o ganado

11
Planificación de la producción

• Formular un modelo para optimizar los costos de
  producción de una empresa que produce listones
  de madera en 4 medidas chico, mediano, grande y
  extragrande. Estos listones pueden producirse en
  tres máquinas A, B y C. Cada máquina puede ser
  usada 50 horas semanales y el costo operativo
  por hora de cada una es 30, 50 y 80
  respectivamente. Se necesita producir 10000,
  8000, 6000 y 4000 metros de cada tipo de listones
  por semana.
• La cantidad de metros que puede producir por hora
  cada máquina está dada en la siguiente tabla

12
(No Transcript)
13
Optimizando beneficios

• Una compañia petroquímica procesa petróleo para
  producir combustible para aviones y aceite de
  máquina.
• Cuesta 40 comprar 1000 barriles de petróleo, que
  luego destilados producen 500 barriles de
  combustible para aviones y 500 barriles de
  aceite.
• Lo que se obtiene de la destilación puede ser
  vendido directamente o ser procesado nuevamente
  con un fraccionador catalítico. Si se vende sin
  el segundo proceso, el combustible para aviones
  se vende a 60 por 1000 barriles y el aceite para
  calentar se vende a 40 por 1000 barriles.
• Lleva 1 hora procesar 1000 barriles de
  combustible para aviones en el fraccionador
  catalítico, y esos 1000 barriles se venden a
  130.El mismo proceso demora 45 minutos para 1000
  barriles de aceite para calentar, y esos 1000
  barriles se venden a 90.
• Cada día, se pueden comprar a lo sumo 20000
  barriles de petróleo, y se tienen disponibles 8
  horas del fraccionador catalítico.
• Formular un modelo matemático que maximice los
  beneficios de la empresa.

14
Problema de programación lineal (PL)

• maximizar c1 x1 c2 x2 cn xn
• sujeto a
• a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
• a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
• .
• .
• .
• am1 x1 am2 x2 amn xn bm
• xj 0 para j 1,..n
• (forma standard de un problema de PL)

15

• Cuando hablamos de Programación Lineal (PL)
  suponemos que las variables xj son variables
  continuas, es decir xj ? R para todo j.
• Cuando se requiere que las variables sean enteras
  es decir xj ?Z tendremos problemas de
  programación lineal entera (PLE) y cuando sean
  binarias tendremos problemas de programación
  lineal binarios (ó 0-1).
• Empezaremos viendo como resolver problemas de
  Programación Lineal con variables continuas (PL)

16

• El problema de PL se puede escribir también
  como
• Max ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi i 1,..m
• xj 0 para j 1,..n

17

• O en forma matricial
• Max c x
• sujeto a
• Ax b
• x 0
• donde x es el vector columna de las n variables
  xj, b es el vector columna de m componentes bi y
  A es una matriz de m filas y n columnas con los
  coeficientes de las desigualdades.

18

• Los problemas de programación lineal pueden ser
  de maximización o minimización, y pueden tener
  restricciones por desigualdad en cualquiera de
  los dos sentidos, o restricciones de igualdad.
  Las variables pueden o no ser nonegativas y/o
  acotadas.
• Llamaremos forma standard de un problema de
  programación lineal de maximización cuando el
  mismo está expresado usando desigualdades por
  y forma canónica cuando sólo se usan igualdades
  (está notación no es uniforme en los libros!!!).

19

• Nomenclatura
• Función objetivo
• Coeficientes de la función objetivo
• Variables o variables de decisión
• Restricciones
• Coeficientes tecnológicos los coeficientes de la
  matriz A.
• Restricciones de nonegatividad.
• Termino de la derecha (right-hand-side)
• Solución factible
• Conjunto de soluciones factibles o región
  factible

20
Algunas aplicaciones de programación lineal y
programación lineal entera

• Problemas de mezcla, fabrica de comestibles
• Planificación de la producción
• Manejo de stock
• Planificación de mantenimiento
• Planificación de recursos de mano de obra
• Optimización de refinerías
• Diseño de componentes de VLSI
• Determinar tarifas de electricidad
• Transporte de mercaderías
• Minimización de desperdicio en el corte de
  materiales
• Ruteo de vehículos
• Asignación de tareas
• Asignación de tripulaciones en empresas de
  transporte aéreo

21

• Planificación en economía
• Flujo óptimo en redes
• Diseño de redes de comunicaciones
• Asignación de frecuencias en telefonía celular
• Planificación de campañas publicitarias en TV
• Planificación de semáforos
• Secuenciamiento de ADN
• Doblado de proteínas
• Otros problemas de biología computacional
• Etc., etc.

22

• Cómo representamos la región factible del
  siguiente problema?
• Maximizar 2 x1 5 x2
• sujeto a
• x1 x2 6
• x1 2 x2 18
• x1 ,x2 0

23
Solución Geométrica

• Cómo podemos aprovechar la representación de la
  región factible para resolver geométricamente un
  problema de PL de dos variables? . Cómo resolver
  el problema anterior?.
• Cómo podemos resolver el siguiente problema?
• Maximizar x1 3 x2
• sujeto a
• x1 x2 6
• - x1 2 x2 8
• x1 ,x2 0

24

• Cuál es la solución del siguiente problema?
• Minimizar - 2x1 3 x2
• sujeto a
• - x1 2 x2 2
• 2 x1 - x2 3
• x2 4
• x1 ,x2 0
• Qué significa en un modelo de un problema real
  que tengamos una región factible cómo esta?.

25

• Vemos que si el PL tiene una solución óptima
  finita la misma está en uno de los vértices del
  poliedro que describe la región factible. (esto
  se puede demostrar formalmente)
• Este método es apropiado sólo para problemas
  pequeños de dos o tres variables, pero es
  importante para entender los problemas de
  programación lineal en general

26

• Cuántas soluciones óptimas tiene un problema de
  PL ?. Cómo se ve esto en la representación
  geométrica de la región factible?.
• Una única solución óptima
• Infinitas soluciones óptimas (región factible
  acotada o no acotada)
• Ninguna solución óptima la región factible es
  vacía.
• Ninguna solución óptima la región factible y la
  solución óptima son no-acotadas.
• Qué significa en un modelo de un problema real
  que se produzcan cada una de estas situaciones?

27
Método Simplex

• Presentado por Dantzig en 1947 (publicado en
  1949)
• Uno de los (o él) método de matemática más usados
  para resolver problemas reales.
• Se usa también como importante herramienta para
  resolver otros problemas de optimización, en
  particular problemas de programación lineal
  entera.
• Tamaño de los problemas que resolvía entonces y
  ahora.

28

• Presentaremos en primer lugar con un ejemplo las
  ideas básicas para un problema de PL en la forma
  standard
• Maximizar 5 x1 4 x2 3 x3
• Sujeto a
• 
  
• 2 x1 3 x2 x3 5
• 4 x1 x2 2 x3 11 (1)
• 3 x1 4 x2 2 x3 8
• x1 , x2 , x3 0

29

• El método consiste en mejorar iterativamente el
  valor de la función objetivo, revisando sistemas
  de inecuaciones equivalentes al sistema original
  (1) de desigualdades que describe la región
  factible.

30

• En primer lugar definimos 3 variables nonegativas
  x4, x5, x6 llamadas variables de holgura (slacks)
  que nos transforman el sistema de desigualdades
  en un sistema de igualdades
• 2 x1 3 x2 x3 x4 5
• 4 x1 x2 2 x3 x5 11
• 3 x1 4 x2 2 x3 x6 8
• Y definimos una variable z que representa el
  valor de la función objetivo
• z 5 x1 4 x2 3 x3

31

• Despejamos las variables de holgura y
  reescribimos nuestro sistema
• x4 5 - 2 x1 - 3 x2 - x3
• x5 11 - 4 x1 - x2 - 2 x3 (2)
• x6 8 - 3 x1 - 4 x2 - 2 x3
• --------------------------------------------------
  ------------------------
• z 5 x1 4 x2 3 x3

32

• Entonces nuestro problema se puede reformular
  como
• Maximizar z
• Sujeto a
  
• x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
• Cada solución de problema original determina una
  única solución de este nuevo problema (2).
• Cada solución de (2) se puede restringir a una
  solución de (1) si no consideramos las variables
  de holgura.
• Entonces esta correspondencia entre las
  soluciones básicas de ambos sistemas establece
  también una correspondencia entre soluciones
  óptimas.

33

• Cómo obtenemos de este último sistema (2 )una
  solución factible del problema?.
• Por ejemplo si ponemos todas las variables de
  decisión en 0, tenemos
• X1 0, X2 0, X3 0, X4 5, X5 6, X6 8
• Cuál es el valor de la función objetivo en esta
  solución?
• z 0
• Cómo podemos obtener una solución mejor a partir
  de acá?.

34

• Miremos de nuevo el sistema (2). Cómo podemos
  hacer crecer z?.
• x4 5 - 2 x1 - 3 x2 - x3
• x5 11 - 4 x1 - x2 - 2 x3
• x6 8 - 3 x1 - 4 x2 - 2 x3
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 5 x1 4 x2 3 x3
• Si dejamos x2 y x3 fijos en 0 cuánto puede
  crecer x1 sin que la solución deje de ser
  factible o sea sin que ninguna de las variables
  x4 ,, x5 y x6 dejen de ser positivas?.
• Cuál es la variable que más limita el crecimiento
  de x1?.

35

• Si x1 crece lo más posible manteniendo la
  factibilidad, o sea hasta tomar el valor 5/2, la
  nueva solución queda
• x1 5/2 , x2 0 x3 0 , x4 0 x1 1 , x6 ½
• Qué valores toma la función objetivo en este
  punto?.
• z 25/2
• Cómo seguimos a partir de acá para ver si podemos
  hacer crecer este valor?
• Vamos a tratar de obtener un sistema similar al
  sistema (2), es decir un sistema donde la
  variables que valen 0 sean las únicas que figuren
  en la ecuación de z.

36

• Para eso vamos a cambiar la variable x1 por la
  variable x4 que es la que limita el crecimiento
  de x1.
• Si despejamos x1 de la primera ecuación de (2)
  queda
• x1 5/2 3/2 x2 ½ x 3 - ½ x4
• Si reemplazamos esta ecuación en las otras dos
  ecuaciones del sistema (2) obtenemos un nuevo
  sistema

37

• x1 5/2 3/2 x2 1/2 x3 -1/2 x4
• x5 1 5 x2 2
  x4 (3)
• x6 1/2 1/2 x2 1/2 x3 3/2 x4
  
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 25/2 7/2 x2 1/2 x3 - 5/2 x4
• Es posible que el valor de z siga creciendo?.
• O sea, cómo podemos hacer para ver si hay alguna
  otra solución factible que tenga un valor mayor
  que 25/2? .
• Hay alguna de las variables de las que aparecen
  en la expresión de z, (o sea que tienen valor 0)
  que pueda aumentar de valor (sin que las otras
  variables que aparecen en la expresión de z
  cambien)?
• Mirando la última fila vemos que la única
  variable que puede aumentar de valor para que
  aumente el valor de z es x3.
• Hasta cuanto podemos aumentar el valor de x3 ?.

38

• Para que el sistema siga siendo factible o sea
  para que las todas la variables sigan siendo
  nongativas lo máximo que puede crecer x3 es 1.
• Si reemplazamos este valor en (3) obtenemos una
  nueva solución factible
• x1 2 , x2 0 x3 1 , x4 0 x5 1 , x6 0
• y vemos que el valor de la función objetivo en
  esta solución es
• Z 13
• Podemos aumentar el valor de la función objetivo
  aún más?.

39

• Para ver esto repetimos el procedimiento
  anterior. Es decir vamos a escribir las
  ecuaciones de modo de tener un sistema donde la
  variables que figuren en la ecuación de z valgan
  todas 0.
• Para esto, como hicimos antes, despejamos x3 de
  la ecuación de la variable que limitó su
  crecimiento, en este caso x6. Obtenemos
• x3 1 x2 3 x 4 - 2 x6

40

• Si reemplazamos x3 por esta expresión en el
  sistema (3) obtenemos un nuevo sistema
• x3 1 x2 3 x 4 - 2 x6
• x1 2 - 2 x2 - 2 x4 x6
  (4)
• x5 1 5 x2 2 x4
  
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 13 3 x2 - x4 - x6
• Podemos hacer crecer más el valor de z o sea de
  la función objetivo?.
• Qué nos garantiza que esta solución es la
  óptima?.

41

• Que hemos pasado de un sistema de ecuaciones a
  otro equivalente sucesivamente, y que entonces
  TODAS las soluciones factibles de nuestro
  problema original tienen que satisfacer (4).

42

• En el caso general si tenemos el problema
• Max ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi i 1,..m
• xj 0 para j 1,..n
• (con los bi todos positivos)
• introducimos las variables slacks xn1, xn2,
  xn3 xnm , llamamos z a la funión objetivo y
  escribimos el sistema equivalente
• xni bi - ?j aij xj
• z ?j cj xj

43

• Asociamos a este sistema una solución factible
  que se obtiene asignando valor 0 a las variables
  originales del problema.
• xj 0 para j 1,..n
• x n i bi para i 1, .m
• Iterativamente pasaremos de un sistema como este
  a otro hasta obtener una solución óptima.
• Las variables que aparecen en el miembro de la
  izquierda de las ecuaciones de cada sistema se
  llaman básicas, las que aparecen a la derecha se
  llaman variables no-básicas. Las variables
  básicas no aparecen en la expresión de la función
  objetivo.
• Para cada uno de estos sistemas obtenemos una
  solución factible básica del problema asignando
  valor 0 a las variables no básicas.

44
Resumen del método

• A partir del primer sistema, iterativamente,
  mientras el valor de la función objetivo pueda
  mejorar
• Elegir alguna variable no-básica cuyo valor pueda
  crecer ( o sea que figura con signo más en la
  función objetivo). (variable de entrada)
• Determinar la ( o una de las) variable básica
  que limita más el crecimiento de la variable
  elegida en el paso anterior. (variable de
  salida).
• Despejar la variable no básica elegida de la
  ecuación correspondiente a la variable básica.
• Reemplazar en el sistema anterior y obtener un
  nuevo sistema.
• Asignar valor 0 a la nueva variable no-básica,
  obtenemos una nueva solución factible del
  problema original (estas soluciones se llaman
  soluciones básicas).
• No todas las soluciones factibles son soluciones
  básicas!

45

• En los programas computacionales el método se
  implementa usando matrices (lo veremos más
  adelante).
• Formato Tableau muchas veces este método se
  presenta usando un formato tableau, o sea
  realizando las operaciones sobre una tabla que
  incluye sólo los coeficientes del sistema.

46

• Qué son geométricamente las soluciones básicas?.
• Ejemplo
• Representar gráficamente el conjunto de
  soluciones factibles del siguiente problema.
  Resolver, eligiendo en cada paso la variable
  no-básica de mayor coeficiente y representar
  cada solución básica factible obtenida.
• Maximizar 3 x1 2 x2 5 x3
• Sujeto a
  
• 2 x1 x2 4
• x3 5
  
• x1 , x2 , x3 0

47
Ejercicios

• Resolver los siguientes problemas por el método
  simplex
• 1- Maximizar x1 4 x2 3
  x3
• Sujeto a
  
• x1 3 x2 x3 3
• - x1 3 x3 2
• 2 x1 - x2 2 x3 4
• 2 x1 3 x2 - x3 2
• x1 , x2 , x3 0

48

• 2 - Maximizar 3 x1 2 x2 4 x3
• Sujeto a
  
• x1 x2 2 x3 4
• 2 x1 3 x3 5
• 2 x1 x2 3 x3 7
• x1 , x2 , x3 0
• 3 - Maximizar 5x1 6 x2 9 x3
  8 x4
• Sujeto a
  
• x1 2 x2 3 x3 x4 5
• x1 x2 2 x3 3 x4 3
• x1 , x2 , x3 ,x4 0

49

• Qué problemas pueden aparecer al aplicar el
  método simplex y cómo resolverlos
• Siempre podemos encontrar una variable de entrada
  en la base y una de salida?.
• El método termina siempre, no podría ser que
  realice un número infinito de pasos?.
• Siempre podemos obtener una solución inicial?.
  Qué pasa si los bi no son positivos?.
• Cuánto tarda el método simplex en resolver un
  problema?

50

• Siempre podemos encontrar una variable de entrada
  en la base y una de salida?.
• La variable de entrada es una variable no-básica
  con coeficiente positivo en la función objetivo
  z. Puede haber varias para elegir, en cuyo caso
  da lo mismo elegir cualquiera o ninguna, en cuyo
  caso estamos en el óptimo.
• La variable de salida es la variable básica cuya
  restricción de ser no-negativa es la que más
  limita el crecimiento de la variable de entrada.
  Puede haber varias candidatas o ninguna. Veamos
  ambas posibilidades.

51

• Qué significa que no haya ninguna variable básica
  que pueda salir?. Veamos el siguiente ejemplo..
• x2 5 x3 - x 4 - 3 x1
• x5 7 - 3 x4 - 4 x1
  
• --------------------------------------------------
  --
• z 5 x3 - x4 - x1
• Si no hay ninguna variable que limita el
  crecimiento de la variable de entrada el problema
  es no acotado.

52

• Qué puede ocurrir si hay más de una variable
  básica que pueda salir?.
• Podemos elegir cualquiera de ellas para salir.
• Pero puede ocurrir lo siguiente, veamos un
  ejemplo
• x4 1 - 2 x3
• x5 3 - 2 x1 - 4 x2 - 6 x3
• x6 2 x1 - 3 x2 - 4 x3
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 2 x1 - x2 8 x3
• Elegimos x3 como variable de entrada. Las tres
  variables básicas pueden ser variables de salida.
  Supongamos que elegimos x4

53

• x3 0.5 - 0.5 x4
• x5 - 2 x1 - 4 x2 3 x4
• x6 x1 - 3 x2 - 4 x4
• --------------------------------------------------
  -- -----------
• z 4 2 x1 - x2 - 4 x4
• Qué pasa si elegimos x1 como variable de
  entrada?. Cuánto puede crecer?.
• La variable de salida tiene que ser x5.
• x1 - 2 x2 1.5 x4 -0.5 x5
• x3 0.5 -
  0.5 x4
• x6 - x2 3.5 x4 - 0.5x5
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 4 3 x2 - x4 - x5
• Se puede ver que la función objetivo no creció en
  este caso. Porqué ?.

54

• Las soluciones básicas que tienen una o más
  variables básicas con valor 0 se llaman
  degeneradas.
• Esta situación se presenta con frecuencia en
  problemas de PL derivados de aplicaciones reales,
  y en general no trae ningún problema..como
  podemos ver si seguimos resolviendo el ejemplo
  anterior .. después de dos iteraciones más se
  llega al óptimo. (ejercicio)
• Pero también puede ocurrir que el método simplex,
  cómo lo estamos presentando hasta ahora siga
  realizando una cantidad infinita de iteraciones
  (ciclado)

55

• Ejemplo
• Resolvemos el siguiente ejemplo con las
  siguientes reglas (arbitrarias) de entrada y
  salida de variables
• Elegimos la variable de entrada como la que tiene
  el coeficiente más grande entre las posibles
  candidatas.
• En caso de empate elegimos la variable de salida
  que tiene menor índice.

56

• Maximizar 10 x1 - 57 x2 - 9 x3 - 24 x4
• sujeto a
• - 0.5 x1 5.5 x2 2.5 x3 - 9 x4 0
• - 0.5 x1 1.5 x2 0.5 x3 - x4 0
• 
  x1 1
• x1 , x2 , x3 , x4 0
• Después de agregar las variables de holgura
  tenemos el primer sistema
• x5 - 0.5 x1 5.5 x2 2.5 x3 - 9 x4
• x6 - 0.5 x1 1.5 x2 0.5 x3 - x4
• x7 1 - x1
• --------------------------------------------------
  -- -----------
• z 10 x1 - 57 x2 - 9 x3 - 24 x4

57

• Obtenemos los siguientes sistemas.
• x1 11 x2 5 x3 -18 x4 - 2 x5
• x6 - 4 x2 - 2 x3 8 x4 x5
• x7 1 - 11 x2 - 5 x3 18 x4 2 x5
• ---------------------------------------------
  --------------------------------------------------
  
• z 53 x2 41 x3 - 204 x4 - 20 x5
• x2 - 0.5 x3 2 x4 0.25 x5 0.25 x6
• x1 - 0.5 x3 4 x4 0.75 x5 - 2.75x6
• x7 1 0.5 x3 - 4 x4 -0.75 x5 2.75 x6
• --------------------------------------------------
  -- -------------------------------------------
• z 14.5 x3 - 98 x4 - 6.75 x5 -
  13.25 x6

58

• x3 8 x4 1.5 x5 5.5 x6 2 x1
• x2 - 2 x4 - 0.5 x5 2.5 x6 x1
• x7 1
  x1
• --------------------------------------------------
  -- -------------------------------------------
• z 18 x4 15 x5 - 93 x6 - 29 x1
• x4 - 0.25 x5 1.25 x6 0.5 x1 0.5 x2
• x6 - 0.5 x5 4.5 x6 2 x1 - 4 x2
• x7 1
  - x1
• --------------------------------------------------
  -- -------------------------------------------
• z 10.5 x5 - 70.5 x6 - 20x1 - 9 x2

59

• x5 - 9 x6 4 x1 - 8 x2 2 x3
• x4 - x6 - 0.5 x1 1.5 x2 0.5
  x3
• x7 1 - x1
• --------------------------------------------------
  -- -------------------------------------------
• z 24 x6 22 x1 - 93 x2 - 21 x3
• X5 - 0.5 x1 1.5 x2 0.5 x3 - x4
• x6 - 0.5 x1 5.5 x2 2.5 x3 - 9 x4
• x7 1 - x1
• --------------------------------------------------
  -- --------------------------------------------
• z 10 x1 - 57 x2 - 9 x3 - 24 x4

60

• Este último sistema es igual al primero (y por lo
  tanto la última solución es igual a la primera),
  o sea si seguimos iterando vamos a ciclar
  permanentemente entre estas soluciones y el
  método no va a parar nunca..

61

• Puede ser que el método cicle a partir de una
  solucion que no sea degenerada?.
• NO porque cuando cicla el valor de la función
  objetivo no aumenta (no podría volver a una
  solución anterior si aumentara).
• Es muy poco frecuente que haya problemas donde el
  método simplex cicle. Es difícil construir
  ejemplos donde esto pase.
• Teorema Si el método simplex no termina es
  porque cicla.
• Demostración resumida
• Hay un número finito de soluciones básicas (se
  obtienen eligiendo m variables entre nm
  posibles), por lo tanto si hay infinitas
  iteraciones, se tienen que repetir las soluciones
  básicas, y los correspondientes sistemas de
  ecuaciones.

62

• Hay varias formas de evitar que el método simplex
  cicle. Una de ellas está dada por es la
  siguiente
• Teorema Si en caso de empate se eligen como
  variable de entrada o salida la que tiene el
  menor subíndice entonces el método termina. (o
  sea no cicla).
• Dem ver por ejemplo libro de Chvatal o de
  Bazaraa et all.

63

• Qué pasa si los bi son negativos?.
• Podemos aplicar el método al siguiente problema?
• Maximizar x1 - x2 x3
• sujeto a
• 2 x1 - x2 2 x3 4
• 2 x1 - 3 x2 x3 - 5
• x1 x2 - 2 x3 -1
• x1 , x2 , x3 0
• Cómo obtenemos una solución básica factible
  inicial?

64

• Cómo conseguimos una solución y un sistema de
  donde empezar?.
• Hay varias formas de plantear un problema
  auxiliar para hacer esto. Una de ellas es,
  (Método de dos fases)
• Si tenemos nuestro problema original
• Max ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi i 1,..m
• xj 0 para j 1,..n
• planteamos un nuevo problema de programación
  lineal, llamado problema auxiliar o fase 1.

65

• Min x0
• sujeto a
• ?j aij xj - x0 bi i 1,..m
• xj 0 para j 0, 1,..n
• Para qué nos sirve resolver este nuevo problema
  (Fase 1)?.
• Es más fácil resolver este problema que el
  original?
• El primer sistema para este problema quedaría
  agregando las variables de holgura
• x ni bi - ?j aij xj x0 i
  1,..m
• ------------------------------
• w - x0

66

• Ejemplo
• Maximizar x1 - x2 x3
• sujeto a
• 2 x1 - x2 2 x3 4
• 2 x1 - 3 x2 x3 - 5
• x1 x2 - 2 x3 -1
• x1 , x2 , x3 0
• El problema auxiliar (Fase 1) es
• Minimizar x0
• sujeto a
• 2 x1 - x2 2 x3 - x0 4
• 2 x1 - 3 x2 x3 - x0 - 5
• x1 x2 - 2 x3 - x0 -1
• x0 , x1 , x2 , x3 0

67

• Si agregamos las variables de holgura tenemos el
  primer sistema
• x4 4 - 2 x1 x2 - 2 x3 x0
• x5 - 5 - 2 x1 3 x2 - x3 x0
• x6 -1 x1 - x2 2 x3 x0
• --------------------------------------------------
  ---------
• w - x0
• Podemos obtener una solución factible del
  problema auxiliar a partir de este sistema?
• No, pero si hacemos entrar x0 y hacemos salir la
  variable más infactible, o sea la variable
  negativa con menor valor, obtenemos un sistema
  factible para el problema auxiliar.
• En este caso hacemos salir a x5.

68

• x0 5 2 x1 -3 x2 x3 x5
• x4 9 - 2 x2 - x3 x5
• x6 4 3 x1 - 4 x2 3 x3 x5
• --------------------------------------------------
  ---------
• w - 5 - 2 x1 3 x2 - x3 - x5
• Si aplicamos el método simplex a partir de acá,
  haciendo entrar a la variable x2 y salir a x6
  obtenemos
• x2 1 0.75 x1 0.75 x3 0.25 x5 -0.25 x6
• x0 2 - 0.25 x1 - 1.25 x3 0.25 x5 - 0.75 x6
  
• x4 7 - 1.5 x1 - 2.5 x3 0.5 x5 0.5 x6
• --------------------------------------------------
  -----------------------------------
• w 2 0.25 x1 1. 25 x3 - 0.25 x5 - 0.75 x6

69

• x3 1.6 0.2 x1 0.2 x5 0.6 x6 -0.8 x0
• x2 2.2 0.6 x1 0.4 x5 0.2 x6 - 0.6 x0
• x4 3 - x1
  - x6 2 x0
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• w
  - x0
• Esta es la solución óptima del problema
  auxiliar?. Qué nos indica?.
• Cómo pasamos de este sistema a un sistema para
  resolver el problema original? .
• Para obtener un sistema del problema original
  borramos x0 y calculamos el valor de la
  función objetivo z en función de las variables
  no-básicas x1, x5 y x6 .

70

• Obtenemos un sistema y una solución factible del
  problema original a partir del cual aplicamos el
  método simplex.
• x3 1.6 0.2 x1 0.2 x5 0.6 x6
• x2 2.2 0.6 x1 0.4 x5 0.2 x6
• x4 3 - x1
  - x6
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• z -0.6 0.2 x1 - 0.2 x5 0.8 x6
• Ejercicio terminar de resolver a partir de acá
  el problema original.
• Volviendo al caso general
• Qué posibles soluciones puede tener el problema
  auxiliar?. (el valor óptimo de x0)
• Qué significa cada una de ellas?

71

• Cuánto tarda el método simplex en resolver un
  problema?.
• En el peor caso (ejemplo de Klee y Minty, 1972)
  puede realizar una cantidad exponencial de pasos,
  o sea revisar una cantidad exponencial de
  soluciones básicas ( o vértices del poliedro)
• En la práctica sin embargo consigue resolver
  problemas muy grandes de miles de variable en un
  tiempo razonable típicamente el número de
  iteraciones crece proporcionalmente a m (2m o 3m)
  y muy lentamente con n.

72

• Dualidad
• Supongamos que queremos obtener cotas inferiores
  y superiores a la solución óptima del siguiente
  problema
• Maximizar 4 x1 x2 5 x3 3 x4
• sujeto a
• x1 - x2 - x3 3 x4 1
• 5 x1 x2 3 x3 8
  x4 55 (5)
• x1 2 x2 3 x3 - 5x4 3
• x1 , x2 , x3 ,x4 0

73

• Para encontrar cotas inferiores del óptimo z, es
  suficiente con tomar cualquier solución factible,
  básica o no, y calcular el correspondiente valor
  de la función z.
• Por ejemplo si en el problema anterior tomamos la
  solución factible z (2,1,1,1/3) sabemos que el
  óptimo tiene que ser mayor que el valor de la
  función objetivo en este punto que es z 15.
• O sea z 15.

74

• Cómo hacemos si queremos encontrar cotas
  superiores de este problema?.
• Recordemos que todos los xi son positivos,
  entonces
• Por ejemplo podríamos si multiplicamos la segunda
  ecuación por 5/3 tenemos
• 25/3 x1 5/3 x2 5 x3 40/3 x4 275/3
• y podemos ver que
• 4 x1 x2 5 x3 3 x4 25/3 x1 x2 5
  x3 3 x4 275/3
• y entonces resulta z 275/3
• Si sumamos la segunda y la tercera ecuación
  obtenemos
• 4 x1 3 x2 6 x3 3 x4 58
• y entonces vemos que
• 4 x1 x2 5 x3 3 x4 4 x1 3 x2 6 x3
  3 x4 58
• y por lo tanto z 58

75

• Hagamos esto de manera más sistemática
• Construyamos una combinación lineal de las
  restricciones, multiplicando la primera por una
  variable y1, la segunda por y2 y la tercera por
  y3 (todas positivas) , obtenemos
• y1( x1 - x2 - x3 3 x4) y2 ( 5 x1 x2 3
  x3 8 x4 y1)
• y3 ( - x1 2 x2 3 x3 - 5x4) y1 55 y2
  3 y3
• Reescribimos esto como

76

• (y1 5y2 - y3 ) x1 (- y1 y2 2 y3 ) x2
  (- y1 3y2 3 y3 ) x3 (3 y1 8y2 - 5 y3 )
  x4 y1 55y2 3 y3
• Para obtener una cota superior de la función
  objetivo z tenemos que tener entonces que
• y1 5y2 - y3 4
• - y1 y2 2 y3 1
• - y1 3y2 3 y3 5
• 3 y1 8y2 - 5 y3 3

77

• Si y1 , y2 ,y3 verifican estas ecuaciones
  entonces para cualquier solución factible x1 ,
  x2 , x3 , x4 del primal se verifica que
• 4 x1 x2 5 x3 3 x4 y1 55y2 3 y3
• Entonces para obtener una cota superior lo más
  próxima posible a z tenemos que resolver el
  siguiente problema
• Minimizar y1 55y2 3 y3
• Sujeto a
• y1 5y2 - y3 4
• - y1 y2 2 y3 1
• - y1 3y2 3 y3 5
• 3 y1 8y2 - 5 y3 3
• Este problema se llama el problema dual del
  problema original de maximización (5)

78

• En general si tenemos el problema (que llamaremos
  primal)
• Maximizar ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi
  i 1,..m (6)
• xj 0 para j 1,..n
• Definimos el problema dual como
• Minimizar ?i bi yi
• sujeto a
• ?i aij yi cj
  j 1,..n (7)
• yi 0 para i 1,..n

79

• Proposición
• Si (x1 , x2 , xn ) es solución factible del
  problema primal (6) y (y1 , y2 ym) es una
  solución factible del problema dual (7) entonces
• ?j cj xj ?i bi yi
• Dem resumen, usar las definiciones de ambos
  problemas.
• Qué significa esto desde el punto de vista
  práctico?

80

• Corolario (certificado de optimalidad)
• Si (x1 , x2 , xn ) es una solución factible
  del problema primal (6) y (y1 , y2 ym) es
  solución factible del problema dual (7) y se
  verifica que
• ?j cj xj ?i bi yi
• entonces (x1 , x2 , xn ) es solución óptima
  del primal y (y1 , y2 ym) es solución
  óptima del problema dual.
• Para que sirve este resultado?
• Por ejemplo en el problema (5) si
• x1 0, x2 14, , x3 0, x4 5, y y1 11,
  y2 0, y3 6
• calculando los valores de las funciones objetivo
  del primal y del dual podemos certificar que
  ambas soluciones son óptimas.

81
Teorema de dualidad

• Si el problema primal (6) tiene una solución
  óptima
• x (x1 , x2 , xn ) entonces el problema
  dual (7) tiene una solución óptima y (y1 ,
  y2 ym) y se verifica que
• ?j cj xj ?i bi yi
• Dem ver libros de Chvatal o Bazaraa o cualquier
  otro libro de programación lineal.

82

• Resumen de la dem. dada una solución óptima del
  primal,
• hay que fabricar una solución óptima del dual
• (y1 , y2 ym). Si el sistema óptimo del
  primal tenía en la última fila
• z z ?k1nm ck xk
• entonces se define yi - cni y se demuestra
  que esta es una solución factible del problema
  dual, y que el valor objetivo de esta solución es
  igual a la del primal.
• (o sea tomamos el coeficiente de la variable ni
  de holgura en el último sistema como valor de la
  variable dual yi)

83

• Ejemplo en el caso del problema (5) si lo
  resolvemos por el método simplex vemos que el
  último sistema es
• x2 14 2 x1 - 4 x3 - 5 x5 - 3 x7
• x4 5 - x1 - x3 2 x5 - x7
• x6 1 5 x1 9 x3 21 x5 11 x7
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• z 29 - x1 - 2 x3 - 11 x5 - 6x7
• Vemos entonces que ahí tenemos la solución óptima
  del problema primal
• x1 0, x2 14, , x3 0, x4 5
• y del dual y1 11, y2 0, y3 6
• (los valores de la solución óptima del dual
  corresponden a los coeficientes de las variables
  de holgura x5, x6 , y x7 en la fila de la función
  objetivo, con el signo cambiado)

84
Teorema de holgura complementaria

• Si x es una solución factible del primal y y es
  una solución factible del dual, entonces x e y
  son soluciones óptimas del primal y del dual
  respectivamente, si y sólo si se verifica
• ?i bi yi cj ó xj 0 para j1,n
• ?j cj xj i bi ó yi 0 para b i 1,m
• Dem, resumen Usar que las soluciones x e y son
  factibles en ambos problemas y el teorema de
  dualidad.
• Porqué este teorema tiene este nombre?.

85

• Cómo formulamos el problema dual de un problema
  de minimización?.
• El dual del problema dual es el primal.
• Por lo tanto del teorema de dualidad se deducen
  los siguientes resultados
• el problema primal tiene una solución óptima si y
  sólo si el problema dual tiene una solución
  óptima.

86

• Si el problema primal es no acotado entonces el
  dual es nofactible.
• (se demuestra usando la proposición que ya
  vimos que dice que si
• (x1 , x2 , xn ) es solución factible del
  problema primal y (y1 , y2 ym) es una
  solución factible del problema dual entonces ?j
  cj xj ?i bi yi).
• Si el problema primal es no factible entonces el
  problema dual es no acotado. (se demuestra en
  forma similar a ii)
• Veamos cuales son todas las posibilidades en el
  siguiente cuadro

87
Posibles situaciones del primal y el dual
88

• Otra forma de presentar este mismo resultado
• Corolario una solución factible del problema
  primal x es óptima si y sólo si existen valores
  y1 , y2 ym que verifican que
• ?i aij yi cj cuando xj gt 0
• yi 0 cuando ?j aij xj lt bi
• ?i aij yi cj para j 1,n
• yi 0 para i 1,..m
• Dem ejercicio, usar teorema de dualidad y
  holgura complementaria.

89
Cuál es la importancia práctica de la teoría de
dualidad?

• Puede ser más fácil resolver el dual que el
  primal. Cuándo?
• Provee un certificado de optimalidad.
• Veremos que es una herramienta fundamental para
  resolver problemas de programación lineal entera,
  (cuando las variables del problema tienen que
  tomar valores enteros).

90
Significado económico de las variables duales

• Las variables duales se llaman también precios
  sombra o valores marginales.
• Supongamos que tenemos un problema de maximizar
  el beneficio en una fabrica de muebles (por
  ejemplo el problema (5 ) podría serlo)
• cada xj mide cuanto vamos a producir de cada
  producto (sillas, camas, escritorios).
• cada bi especifica la cantidad disponible de
  recursos (madera, metal, mano de obra).
• los coeficientes aij miden cuanto se requiere del
  recurso i para producir el producto j
  (coeficientes tecnológicos)

91

• Cada cj es el beneficio de producir una unidad
  del producto j, supongamos que se mide en
  dólares.
• Para que el análisis de unidades sea correcto
  vemos que las variables yi miden entonces
  dólares por unidad de recurso i, entonces
  asumimos que cada yi mide el valor unitario de
  cada recurso.
• Se puede demostrar el siguiente teorema (no
  daremos la demostración en este curso puede verse
  en un libro de programación lineal)

92

• Teorema Si el problema de PL tiene al menos una
  solución básica no degenerada entonces existe un
  valor positivo de ? gt 0 con la siguiente
  propiedad si ti ? para todo i1,m
  entonces el problema
• Maximizar ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi ti i 1,..m
• xj 0 para j 1,..n
• tiene una solución óptima
• z z ?i yi ti
• donde z es el valor óptimo del PL y (y1 , y2
  ym) es una solución óptima del dual.
• .
• Qué dice este teorema?. Qué nos dice del
  significado de las variables duales?

93
Ejemplo

• Un empresario maderero tiene un terreno de 100
  acres plantado con álamos. Cortar los árboles y
  dejar que regeneren tiene un costo de 10 por
  acre y produce un retorno de 50 por acre. El
  empresario puede también cortar los álamos y
  plantar pinos. En este caso tiene un costo de 50
  y un retorno de 120 por acre. El empresario
  dispone de 4000 y quiere saber cuál es la
  estrategia que más le conviene.
• Cómo podemos formular este problema como un
  problema de programación lineal?

94

• Maximizar 40 x1 70 x2
• sujeto a
• x1 x2 100
• 10 x1 50 x2
  4000
• x1 , x2 0
• Si resolvemos e problema por el método simplex
  vemos que la solución óptima es x1 25 y x2
  75 y la solución óptima del dual es y1 32.5
  y y2 0.75

95

• El empresario podría plantearse las siguientes
  preguntas
• Le conviene pedir un prestamos de 100 más por el
  cual tendrá que devolver 180 ?.
• Cuál es el interés máximo que le conviene pagar?.
• Le conviene derivar fondos hacia otros
  emprendimientos?. Qué beneficio tendrían que
  brindar?
• Cómo puede hacer para analizar rápidamente si le
  conviene considerar una nueva posibilidad de
  plantar otras especies?

96
Notación Matricial

• El problema de PL , si ya agregamos las variables
  de holgura, puede escribirse como
• Max c x
• sujeto a
• Ax b
• x 0
• Si tenemos una solución básica x de este sistema
  con variables básicas xB, podemos separar al
  vector x en dos partes, las variables básicas xB
  y las no básicas xn . Reordenando las variables
  podemos poner
• x (xB, xN)
• Reordenando de la misma forma las columnas de A,
  podemos poner
• A AB AN

97

• Entonces podemos escribir nuestro sistema de
  ecuaciones cómo
• AB xB AN xN b
• Se puede demostrar que la matriz AB es
  inversible viendo que AB xB b tiene una
  solución única correspondiente a la variables
  básicas xB.
• Entonces podemos escribir
• xB AB-1 b - AB-1 AN xN
• Si escribimos también c (cB, cN) la función
  objetivo queda
• Z c x cB xB cN xN
• Reemplazando acá la expresión de xB queda
• z cB (AB-1 b - AB-1 AN xN ) cN xN
• cB AB-1 b (cN - cB AB-1 AN) xN

98

• Y por lo tanto el sistema de ecuaciones que
  usamos para resolver el simplex se puede escribir
  como
• xB AB-1 b - AB-1 AN xN
• --------------------------------------------------
  --------------------
• z cB AB-1 b (cN - cB AB-1 AN) xN
• Se acostumbra llamar B AB , entonces ponemos
• xB B-1 b - B-1 AN xN
• --------------------------------------------------
  --------------------
• z cB B-1 b (cN - cB B-1 AN) xN
• Notar que xB B-1b y que z cB B-1 b es el
  valor de la función objetivo en esta solución
  básica .

99

• Por ejemplo cuando resolvíamos el sistema (1),
• Maximizar 5 x1 4 x2 3 x3
• Sujeto a
  
• 2 x1 3 x2 x3 5
• 4 x1 x2 2 x3 11
• 3 x1 4 x2 2 x3 8
• x1 , x2 , x3 0
• Cuál es la matriz A del problema, una vez
  agregadas las slacks?.
• Cuáles son el vector b y el el vector c?.

100

• En una de las iteraciones de simplex para este
  problema teníamos la siguiente solución básica
• x1 5/2 3/2 x2 1/2 x3 -1/2 x4
• x5 1 5 x2 2
  x4
• x6 1/2 1/2 x2 1/2 x3 3/2 x4
  
• --------------------------------------------------
  -------------
• z 25/2 7/2 x2 1/2 x3 - 5/2 x4
• Cuál es la matriz B que corresponde a esta
  solución básica?. Cuáles son los vectores cB y
  cN?.
• Calcular B-1 b,, B-1 AN,, cB B-1 b y (cN - cB B-1
  AN) para esta solución básica y comparar con el
  sistema de arriba.

101

• La matriz B se llama matriz básica o base.
• A cada submatriz inversible de A le corresponde
  una solución básica.
• El método simplex se puede reescribir en función
  de esta notación realizando las operaciones de
  forma un poco diferente a la que las veníamos
  haciendo.

102
Una iteración del método Simplex Revisado

• Dada una solución básica x, sea B la matriz
  básica
• Resolver el sistema yB cB
• Elegir la columna de entrada, como una columna aj
  de AN tal que yaj lt cj . Si no existe la
  solución actual es óptima.
• Resolver el sistema B d aj
• Encontrar el mayor valor de t para el cual xB -
  t d 0. Si no existe tal t, entonces el problema
  es no-acotado. En otro caso hay al menos una
  variable xk básica tal que xk - t dk 0.
  Elegir xk para salir de la base.
• Asignar a xj (la variable de entrada) el valor t
  y al resto de las variables básicas de xB los
  valores xB xB - t d. Reemplazar en B la
  columna de salida aj por la de entrada ak, y
  actualizar el indicador de columnas básicas.

103

• Ejercicio resolver el problema (1) usando el
  método simplex revisado.
• Qué diferencia hay entre la matriz básica de una
  iteración y la de la siguiente?
• Cómo sólo cambia una columna, hay métodos de
  factorización de matrices que permiten resolver
  los sistemas de los pasos 1 y 3 con un número
  relativamente pequeño de operaciones. No hay que
  resolver los sistemas completos cada vez.
• En el cuidado con que se hagan estas operaciones
  (y en la velocidad cada vez mayor de las
  computadoras, claro) reside el factor que hace
  que se puedan resolver cada vez problemas más
  grandes.

104

• En la mayoría de los problemas que se encuentran
  en la práctica las matrices son bastante
  esparsas, y entonces el método simplex revisado
  implementado de esta forma requiere menos
  operaciones que el método simplex estandar.
• La mayoría de los programas de programación
  lineal implementan el método simplex revisado.
• Hay mucho trabajo computacional envuelto para
  poder tener programas cada vez más eficientes.

105
Analisis de sensibilidad

• En la mayoría de los problemas reales podría ser
  que los datos no se conozcan exactamente o puede
  haber cambios imprevistos en la información, por
  ejemplo en los costos o precios. También a veces
  se quieren analizar los efectos de aumentar los
  recursos, de cambiar los coeficientes
  tecnológicos, etc.
• Cómo podemos ver cuán sensible a los cambios en
  los datos es la solución óptima que obtuvimos?
• Cómo podemos analizar como cambiaría la solución
  sin resolver de nuevo el problema?.
• Cómo seguimos optimizando si la solución actual
  no es óptima para los nuevos datos?

106

• Supongamos que tenemos el PL , (ya agregamos las
  variables de holgura)
• Max c x
• sujeto a
• Ax b
• x 0
• y tenemos el sistema y la solución óptima
• xB B-1 b - B-1 AN xN
• --------------------------------------------------
  --------------------
• z cB B-1 b (cN - cB B-1 AN) xN

107

• Qué podemos decir si
• Cambia el valor de un ck de una variable xk no
  básica?. Cómo podemos calcular cuánto puede
  cambiar sin que cambie la solución óptima?.
• Cambia el valor de un ck de una variable xk
  básica?. Cómo podemos calcular cuánto puede
  cambiar sin que cambie la solución óptima?.
• Cambia uno de los términos de la derecha, o sea
  un bi.?.
• Agregamos una restricción?.
• Agregamos una nueva columna?.

108

• Ejemplo supongamos que tenemos el sistema óptimo
  del problema (5)
• x2 14 2 x1 - 4 x3 - 5 x5 - 3 x7
• x4 5 - x1 - x3 2 x5 - x7
• x6 1 5 x1 9 x3 21 x5 11 x7
• --------------------------------------------------
  --------------------------------------
• z 29 - x1 - 2 x3 - 11 x5 - 6x7
• Cómo contestamos las preguntas anteriores?

109
Ejemplo

• Una compañía que fabrica muebles quiere tener un
  plan de producción que maximice sus beneficios,
  con las siguientes condiciones
• Una biblioteca requiere 3 horas de trabajo, 1
  unidad de metal y 4 de madera y da un beneficio
  neto de 19.
• Un escritorio requiere 2 horas de trabajo, 1
  unidad de metal, 3 de madera y da un beneficio de
  13.
• Una silla requiere 1 hora de trabajo, 1 unidades
  de metal, 3 unidades de madera y da un beneficio
  de 12
• Una cama requiere 2 horas de trabajo, 1 unidad de
  metal, y 4 unidades de madera, y da un beneficio
  de 17.
• Se dispone de 225 horas de mano de obra, 117
  unidades de metal y 420 unidades de madera por
  día.
• Se supone que podemos vender todo lo que se
  produce.
• Cómo formulamos esto como un problema de
  programación lineal?. Cuál es el plan de
  producción óptimo?

110

• Maximizar 19 B 13 E 12 S 17 C
• Sujeto a
• 3B 2 E S 2 C 225
• B E S C 117
• 4 B 3 E 3 S 4 C 420
• B, E, S, C 0
• Ver la solución de este problema en LINDO u otro
  programa de PL, y ver que información adicional
  proveen.

111

• Una vez que tenemos el resultado del problema
  podríamos plantearnos las siguientes preguntas
• Qué pasaría si el beneficio de fabricar
  escritorios crece de 13 a 15.
• Qué pasaría si la disponibilidad de metal aumenta
  de 117 a 125 unidades por día?
• Como analizaríamos la conveniencia de la compañía
  de producir mesas de café que requieren 3 horas
  de trabajo, una unidad de metal, 2 unidades de
  madera y dan un beneficio de 14?
• Cómo obtenemos la nueva solución si se requiere
  que el número de sillas sea 5 veces el número de
  bibliotecas.?
• La demanda de madera por silla crece de 3 a 4
  unidades?

112
Forma general de CUALQUIER problema de
programación lineal

• Maximizar ?j cj xj
• sujeto a
• ?j aij xj bi i ? I
• ?j aij xj bi i ? E
• xj 0 para j ? R
• El problema dual se define como
• Minimizar ?i bi yi
• sujeto a
• ?i aij yi cj j ? R
• ?i aij yi cj j ? R
• yi 0 i ? I

113
Algunos programas de programación lineal y lineal
entera

• LINDO o LINGO tienen versión demo que se pueden
  bajar libremente de http//www.lindo.com.
• Recomiendo hacer los ejercicios del práctico de
  modelos con este programa. Es muy fácil de usar.
• CPLEX es el mejor programa comercial y
  académico de programación lineal y lineal entera.
  Es el standard en la literatura académica y para
  las empresas. Su primera versión fue puesta en
  público en 1988 y desde entonces siguen
  mejorándolo. http//www.ilog.com.

114

• GAMS es un programa que usan mucho los
  economistas, trae muchos ejemplos de
  aplicaciones. Se puede bajar una versión limitada
  que sirve para estudiantes de http//www.gams.de
• XPRESS es otro programa del tipo del CPLEX, pero
  que tiene un poco menos de difusión, y
  aparentemente no tan eficiente en problemas
  difíciles. http//www.dashoptimization.com
• LP- Solve programa de acceso libre.

115
Programación lineal entera (PLE)

• Qué es un problema de programación lineal
  entera?
• Max c x
• sujeto a
• Ax b
• x ? Z
• Qué es un problema de programación lineal entera
  mixta (PLEM)?
• Algunas variables son continuas y otras tienen
  que tomar valores enteros.
• Qué es un problema de programación lineal binario
  (PLB)?
• Las variables toman valor 0 o 1, o sea x ? 0,1
  n .
• .

116

• Qué es un problema de optimización combinatoria?
• Dado un conjunto finito N 1,.n con pesos cj
  asignados a cada j ? N y F una familia de
  conjuntos factibles de N, entonces queremos
  encontrar el elemento de F de peso mínimo
• MinS ?j?S cj / S? F
• (también podría ser un problema de maximización).
• Muchos problemas de optimización combinatoria se
  pueden formular como problemas de programación
  lineal entera.

117

• Cómo resolvemos un problema de programación
  lineal entera?.
• Se parecen a los problemas de programación
  lineal?. Sirve redondear?.
• Ejemplo
• Max 1.00 x1 0.64 x2
• Sujeto a
  
• 50 x1 31 x2 250
• 3 x1 - 2x2 -4
• x1 , x2 0, x1 , x2 entera
• Se puede ver que la solución entera es (5,0), si
  no pedimos que las variables sean enteras la
  solución del problema de programación lineal es
  (376/193, 950/193). Graficar.

118

• En el caso de programación binaria la situación
  puede ser peor, por ejemplo una solución del
  problema continuo PL que sea (0.5,0.5,.0.5) no
  nos da información sobre cual puede ser la
  solución del problema binario.

119
Ejemplos escribir modelos de PLE para los
siguientes casos

• Problema de asignación Tenemos n personas para
  realizar n trabajos. Cada persona puede hacer un
  solo trabajo. Se asigna un costo cij a la
  asignación de la persona i para hacer el trabajo
  j de acuerdo a la capacidad de cada uno para
  realizar cada trabajo. Se quiere encontrar la
  asignación que minimice los costos.
• Problema de la mochila (Knapsack problem) Se
  tiene un presupuesto de b pesos disponible para
  invertir en algunos de n posibles proyectos para
  el próximo año. Sea aj la inversión que requiere
  el proyecto j y cj el retorno que produce dicho
  proyecto. Se quiere maximizar las ganancias (sólo
  se puede invertir en el proyecto completo).

120

• Problema de cubrimiento (Set Covering) se
  quieren cubrir un cierto número de regiones con
  centros de emergencia (por ejemplo estaciones de
  bomberos o de ambulancias) con un costo mínimo.
  Se conocen los costos de instalar un centro en
  cada región y que regiones pueden ser servidas
  desde el mismo.
• Problema del viajante de comercio (Traveling
  Salesman Problem, TSP) (es el problema más
  famoso de Optimización Combinatoria y el más
  estudiado.) Un viajante de comercio quiere
  visitar n ciudades y volver al lugar de partida
  en el menor tiempo posible (o al menor costo).

121

• Los problemas que acabamos de ver son problemas
  de optimización combinatoria, donde hay que
  buscar el subconjunto óptimo entre una familia de
  subconjuntos. Uno podría pensar en enumerar todos
  estos conjuntos y elegir el mejor (algoritmo de
  fuerza bruta).
• Sirve este procedimiento?.
• Por ejemplo en el caso del viajante de comercio,
  si suponemos que podemos ir de cualquier ciudad a
  cualquier otra, tendríamos que revisar (n-1)!
  recorridos posibles. Por ejemplo para un problema
  con n 101 ciudades hay 9.33 x 10 157 circuitos
  (recorridos) posibles que habría que revisar.

122

• Vamos a presentar algoritmos mejores que estos
  que permiten resolver problemas bastante grandes.
• Sin embargo muchos problemas de optimización
  combinatoria como por ejemplo el TSP se
  consideran problemas abiertos o no resueltos
  desde el punto de vista de la investigación. A
  pesar de que se resuelven cada vez problemas
  mayores, no conocemos métodos buenos que
  resuelvan estos problemas en un tiempo razonable,
  o sea sólo conocemos algoritmos que requieren un
  número de operaciones que crece en forma
  exponencial cuando aumenta el