A Modelagem Matem

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Ensino Superior
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
3 Transformada de Laplace
Amintas Paiva Afonso
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Sumário

• 3.1 Introdução
• 3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções
  complexas.
• 3.3 Transformada de Laplace.
• 3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.
• 3.5 Transformada inversa de Laplace.

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3.1 Introdução
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
6
3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
f(t) uma função de tempo t em que f(t) 0
para t lt 0
s uma variável complexa
L Operador de Laplace - um símbolo operacional
que indica que a grandeza que ele antecede vai
ser tranformada por meio da integral de Laplace
F(s) transformada de Laplace de f(t)
Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada
por
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
Portanto, o método consiste em resolver equações
diferenciais como se fossem equações
algébricas. Definição Dada uma função f(t)
definida no intervalo 0, ?) definimos a sua
transformada de Laplace, F(s), por
Supondo que a integral convirja pelo menos para
algum valor de s.
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3.2 Definição da Transformada de Laplace

• A transformada de Laplace é um método operacional
  que pode ser usado de maneira proveitosa para
  solucionar equações diferenciais lineares.

• Por meio de sua utilização, podemos converter
  muitas funções comuns, como funções senoidais,
  amortecidas e funções exponenciais, em funções
  algébricas de uma variável complexa s.

• Operações como diferenciação e integração podem
  ser substituídas por operações algébricas no
  plano complexo.

• Assim, a equação diferencial linear pode ser
  transformada em uma equação algébrica em uma
  variável complexa s.

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3.2 Definição da Transformada de Laplace

• Se a equação algébrica em s for solucionada em
  termos da variável dependente, então a solução da
  equação diferencial (a transformada de Laplace
  inversa da variável dependente) poderá ser obtida
  por meio da tabela das transformadas de Laplace.

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3.2 Definição da Transformada de Laplace

• Vantagens da Transformada de Laplace

• Conversão de vários tipos de função em funcões
  algébricas

• Converte uma equação diferencial linear em uma
  equação algébrica, facilitando a sua solução.
  Obtém-se tanto a solução transitória quanto a
  permanente

• Permite o uso de técnicas gráficas para a
  previsão do desempenho do sistema, sem necessitar
  resolver suas equações diferenciais.

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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace

• Aplicando a Definição

Exemplo 1
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 2
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 3
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
Exemplo 4
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3.2 Definição da Transformada de Laplace
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• Transformação Linear

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(No Transcript)
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Transformamos através do operador L funções f(t),
na variável t, em funções F(s), na variável
s. Sabe-se que uma integral definida em um
intervalo ilimitado é chamada de integral
imprópria e é definida como um limite de
integrais definidas em intervalos finitos Assim
Onde A é um real positivo. Se a integral de a até
A existe para todo A gt a e se o limite quando A ?
? existir, então dizemos que a integral
imprópria converge para aquele valor limite. Caso
contrário, diverge.
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Exemplo 1 Seja f(t) 1/t , t ? 1, então
Converge?
Logo, a integral imprópria diverge.
Exemplo 2 Seja f(t) 1/t 2, t ? 2, então a
integral
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Temos que
Logo a integral dada converge para o valor
1/2. Teorema Se f é seccionalmente contínua em t
? a, se f(t) ? g(t) quando t ? M para alguma
constante positiva M e se
também converge. Por outro lado, se f(t) ? g(t)
? 0 para t ? M e se
também diverge.
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Teorema (Existência da transformada de
Laplace). Suponha que 1) f seja seccionalmente
contínua no intervalo 0 ? t ? A para qualquer A
positivo 2) f(t) ? Keat quando t ? M, onde K,
a e M são constantes reais com K e M
necessariamente positivas. Então, a transformada
de Laplace L f(t) F(s), definida pela
equação L f(t) F(s)
Existe para s gt a. Exemplo 3 Seja f(t) 1, t ?
0. Então
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Exemplo 4 Seja f(t) sen(at), t ? 0. Então
Temos integrando por partes
Finalmente, F(s) a / (s 2 a 2), s gt 0 Exemplo
5 Seja f(t) eat, t ? 0, então
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F(s)
f(t)
L
aF(s) bF(s)
af(t) bf(t)
f (t)
sF(s) f(0)
f (t)
s 2F(s) - sf(0) - f(0)
Transformada de Laplace
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Teorema Suponha que f seja contínua e que f
seja seccionalmente contínua em qualquer
intervalo 0 ? t ? A. Suponha, além disso, que
existam constantes k, a e M tais que f(t) ? ke
at para t ? M. Então Lf(t) existe para s gt a
e, além disso, Lf(t) sLf(t) sLf(t)
f(0). Corolário Suponha que as funções f, f,
f, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja
seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 ?
t ? A. Suponha, além disso, que existam
constantes k, a e M tais que f(t) ? ke at ,
f(t) ? ke at ...f(n-1)(t) ? ke at para t ?
M. Então Lf(n)(t) existe para s gt a e é dado
por Lf(n)(t) snLf(t) sn-1f(0) - ... -
sf(n-2)(0) f(n-1)(0).
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Exemplo 6 Determine F(s) se f(x) 3 2x2. Por
definição e tabela de transformada, temos F(s)
L(3 2x2) 3L(1) 2L(x2) 3(1/s) 2(2/s3)
3/s 4/s 3. Exemplo 7 Resolva a equação
diferencial y y 2y 0 com y(0) 1, y(0)
0. Facilmente pode-se encontrar a solução y
2/3e-t 1/3e2t usando equação característica. Usa
ndo transformada de Laplace, temos Ly
Ly 2Ly 0, s2Ly sy(0) y(0)
sLy y(0) 2L(y) 0
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ou (s2 s 2)Y(s) (1 - s)y(0) y(0)
0 Y(s) (s 1) / (s2 s 2) (s 1) / (s
2) (s 1) que acaba chegando à mesma solução.
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Exemplo 8 Usando a transformada de Laplace,
resolva a equação y y - 6 0, y(0) 1,
y(0) -1. Solução Ly Ly 6Ly 0
s2Ly sy(0) y(0) sLy
y(0) 6Ly 0. Como Ly Y(s), temos
s2Y(s) sy(0) y(0) sY(s) y(0) 6Y(s)
0 Y(s)(s2 s 6) 1 s 1 0 Y(s)
(s 2) / (s2 s 6) (s 2) / (s 3)(s
2) Separando em frações, temos Y(s) (1/5)/(s
- 3) (4/5)/(s 2) Consultando a tabela de
Laplace, temos Y(s) (1/5)e3t (4/5)e-2t
(1/5)(e3t 4e -2t)
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Exemplo 9 Resolva por Laplace a equação y y
senx, y(0) 1. Solução sY(s) y(0) Y(s)
1 / (s2 1) sY(s) 1 Y(s) 1 /
(s2 1), Y(s)(s 1) 1 1 / (s2 1)
Y(s) 1/(s 1) 1 / (s 1)(s2
1) Separando em frações, temos
1/(s 1)(s2 1) A/(s 1) (Bs C) / (s2
1) Donde A ½, B - ½ e C ½. Então
Y(s) 1/(s 1) (1/2)/(s 1) (½)s/(s2
1) ½ 1/(s2 1) Logo y (3/2)ex
(1/2)cos(x) (1/2)sen(x) ½ (3ex cos(x)
sen(x))
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Função Degrau A função Degrau unitário,
denotado por ?c, é definida por
A função de Laplace de ?c é determinada por
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(No Transcript)
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Teorema Se F(s) Lf(t) existe para s gt a ? 0
e se c é uma constante positiva, então
Lµc(t) f(t - c) e cs Lf(t) e cs
F(s), s gt a Reciprocamente, se f(t) L 1F(s),
então µc(t) f(t - c) L 1e cs
F(s) Teorema Se F(s) Lf(t) existe para s
gt a ? 0 e se c é uma constante positiva, então
Lectf(t) F(s - c), s gt a c Reciprocamente,
se f(t) L 1 f(t), então ect L 1 f(s-c).
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Exemplo 10 Usando a função
Reescreva a função
Assim podemos escrever f(t) ?a(t) sen(t - a) ou
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Teorema Se f é de ordem exponencial e é de
período p, então
Exemplo 11 Ache a transformada de Laplace da
função cujo gráfico é
Neste caso, f é periódica com período 2, donde
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Exemplo 12 Encontre a transformada de Laplace da
função f(t) t, 0 ? t lt 1, f(t 1) f(t).
Integrando por partes, temos 1 (1 s)e s /
s2 (1 e-s)
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Definição de convolução Sejam f(x) e g(x) ? E?.
A convolução de f(x) e g(x) é dada por
Exemplo Se f(x) e 3x e g(x) e 2x,
então f(t) e 3t e g(t) e 2(x - t) e
Teorema Se Lf(x) F(s) e Lg(x) G(s),
então Lf(x) . g(x) Lf(x) . Lg(x)
F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L
1F(s) . G(s) f(x) . g(x)
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(No Transcript)